第43讲 协方差及相关系数 (II)

四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 3 4 3 4 3 协方差及相关系数协方差及相关系数协方差及相关系数协方差及相关系数 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 4 四川大学四川大学 第第第第4343讲讲讲讲 协方差及相关系数协方差及相关系数协方差及相关系数协方差及相关系数 IIII 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 5 二维正态随机变量的相关系数二维正态随机变量的相关系数 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 6 则则 X Y 的概率密度为的概率密度为 1212 其中其中是常数是常数 且且 12 0 11 设设 X Y 服从参数为服从参数为的的二维正态二维正态 分布分布 记作记作 1212 1 X YN 22 122 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 22 1122 222 12 12 1 2 2 1 2 12 1 21 xxyy f x ye 回忆回忆 第三章第第三章第2节节 第第28讲讲 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 7 我们得到了我们得到了 X Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe x 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye y 2 11 XN 2 22 YN 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 8 2 11 XN 2 22 YN 2 11 E XD X 2 22 E YD Y 现在来求现在来求X和和Y的相关系数的相关系数 Cov XY X Y D XDY 先求先求X和和Y的协方差的协方差 Cov X Y E X E XY EY 12 E XY 12 f x y dxxdyy 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 9 四川大学四川大学 12 Cov X Yf x y dxdyxy 22 1122 222 1 2 12 1 2 2 1 2 12 12 1 21 xxyy xy edxdy 2 2221 22 1 1 21 1 1 2 1 12 2 12 1 21 xyx xy dxedy 22 1122 222 1 2 12 1 2 2 1 2 12 12 1 21 xxyy y ey x dxd 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 10 221 2 2 1 1 2 1 1 21 2 1 2 1 2 2 1 1 21 xxy x dxed y ey 21 2 21 1 1 yx t 令 2 2 1dydt 2 21 21 1 yx t 2 2221 22 1 1 21 1 1 2 1 12 2 12 1 21 xyx xy dxedy 1 2 2 1 2 1 1 2 22 1 2 2 11 1 21 11 x t xx extdedt Cov XY 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 11 2 21 1 1 2 1 2 1 2 2 11 2 1 21 1 x t xx eddtxe 2 2 0 t dtte 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x t ee dt x dx 21 1 1 22 21 1 2 2 x x edx 2 2 1 1 2 x edx Cov X Y 2 1 2 1 1 222 11 2 2 11 2 1 1 1 21 t x te xx edxdt 标准正态分布的概率密度的积分 奇函数 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 12 21 1 1 1 1 22 2 2 2 x e x dx 1 1 x u 2 2 2 2 1 2 u u edu 2 12 2 2 u ude 22 12 22 2 uu ueedu 12 0 02 2 12 2 2 1 1 2 x edx Cov XY 标准正态分布的概率密度的积分 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 1 dxdu 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 13 2 11 XN 2 22 YN 2 11 D XD X 2 22 D YD Y Cov XY X Y D XDY Cov X Y 12 12 12 1 X YN 22 122 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 14 XY 即二维正态分布中的参数即二维正态分布中的参数 就是就是X和和Y的相关的相关 系数系数 于是二维正态分布由于是二维正态分布由X和和Y各自的数学期望各自的数学期望 和方差和方差 以及它们的相关系数确定以及它们的相关系数确定 1 X YN 22 122 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 15 在第三章第在第三章第4节节 第第32讲讲 证明了证明了 若若 则则 X与与Y 相互独立当且仅当相互独立当且仅当 0 而而 0 表示表示 X 和和 Y 不相关不相关 因此因此 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量 X Y 来说来说 X 和和 Y 不相关与不相关与 X 和和 Y 相互独立是等价的相互独立是等价的 1 X YN 22 122 四川大学四川大学 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 16 考研题评讲考研题评讲 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 17 2002年数学三年数学三 第一第一 4 题题 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的联合概率分布为的联合概率分布为 则则 X2 和和 Y2 的协方差的协方差 Cov X2 Y2 101 00 07 0 18 0 15 10 08 0 32 0 20 Y X 四川大学四川大学 详见视频详见视频 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 18 2003年数学三年数学三 第一第一 5 题题 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的相关系数为的相关系数为 0 9 若若 Z X 0 4 则则 Y 与与 Z 的相关系数为的相关系数为 0 9 详见视频详见视频 四川大学四川大学第43讲 协方差及相关系数 II 19 2004年数学一年数学一 第一第一 14 题题 设随机变量设随机变量 X1 X2 Xn n 1 独立同分布独立同分布 其方差其方差 2 0 0 令令 则则 2 1 A Cov X Y n 1 1 n i i YX n 2 1 B Cov X Y 2 1 2 C n DXY n 2 1 1 D n DXY