西南交大高等数学II 期中试卷(2011-2012).doc

高等数学II 期中试卷 一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、 函数在（0，0）点 。 ()连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都不存在； ()连续，偏导函数都不存在。2、 二重积分（其中D：）的值为 。()；()；()；()。3、 设为可微函数，则 。 ()1； ()； ()； ()。4、 设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则 = 。 ()； ()； ()； ()。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。 二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设，则 ，在点处的梯度 。2、设，则 。3、由曲线所围成的闭区域，则 。4、函数在点处沿从点到点所确定方向的方向导数是 。5、曲线在点处的切线方程为 ，法平面方程为 。6、改变积分次序 。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求。2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。4、可微，求。5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。6、求二元函数在区域的最大值、最小值。7、设区域，证明：。四、每小题6分，共计12分1、设，用方向导数的定义证明：函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。2、设，若是连续可微的函数，求。高等数学II期中考试解答 一、选择题（每小题3分，共计 15 分）5、 函数在（0，0）点 B 。 ()连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都不存在； ()连续，偏导函数都不存在。6、 二重积分（其中D：）的值为 B 。()；()；()；()7、 设为可微函数，则。 ()1； ()； ()； ()。8、 设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。 ()； ()； ()； ()。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。 二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设，则，在点处的梯度。2、设，则 1 。3、由曲线所围成的闭区域，则=。4、函数在点处从点到点的方向导数是。 ， 5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。 注意：，点；法平面方矢。6、改变积分次序。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求。解：先交换积分次序2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。解：设切点为，则，过切点的法向量为：，得，代入，得，切点为或，故切平面方程为：或。 3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。解： ， 。， ，所以 时，应满足一元二次方程且。解得，取其任一值，且ab时，方程化为。4、可微，求 解：设，由公式5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。解：设过点的平面截距式方程为，点P满足方程 即 平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为 由拉格朗日乘数法，设 由，及得最值点的坐标 所求平面为即。6、求二元函数在区域的最大值、最小值。解：。令 解得驻点：（0，0）在区域内在边界上代入 求出导数为0的点y = 0 这时z(2,0)=13, z(-2,0)=13,z(0,-2)=z(0,2)=25比较得最大值：z(0,-2)=z(0,2)=25，最小值：z(0,0)=97、设区域，证明：。 解：在区域内，。，所以。四、每小题6分，共计12分1、设，用方向导数的定义证明：函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。证明：因为， 所以。由于式中为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的方向导数都存在。2、设，若是连续可微的函数，求。 解：时， 求导得。所以满足微分方程。解得 ，亦可表示为： 其它1函数在(0, 0)点 .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。2设为可微函数，则 。 () ()； () ； ()。 3设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。4 设函数，则函数的全微分 。5 函数在点处沿方向的方向导数为 ，其中O为坐标原点。6曲面在点（1，2，0）处的切平面