解析函数在平面向量场的应用.doc

CHINA UNIVERSITY OF PETROLEUM复变函数与积分变换研讨报告解析函数在平面向量场的应用所在院系： 考生姓名： 学 号：指导教师： 所在班级： 完成日期：2014年 04月 15日解析函数在平面向量场的应用摘要：本文通过研究平面向量场的通量、散度、环量和旋度的物理意义及数学表达式，由柯西黎曼方程找出解析函数和平面向量场的关系，并举例说明解析函数的运算法则在平面向量场实际问题的应用。关键词：平面向量场 无源 无旋 解析函数 应用 发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数，其中物理量是失量的称为矢量场，比如力场，电磁场等。能用一个二维向量充分表示的场叫二维向量场，又称为平面向量场。在平面向量场中，取定一个直角坐标系xOy，场中每一个向量都可以用A=Ax（x,y）i+Ay(x,y)j来表示，Ax(x,y)与Ay(x,y)是向量在x轴与y轴上的分量。由于平面中所有的点都可以用复数z=x+iy来表示，所以平面矢量场A就可以由复变函数A(z)= Ax（x,y）+Ay(x,y)i来表示。以流速场为例，在流动中，垂直于某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与指定平面平行成为流体的平面流动，而个质点的速度仅与位置有关而不随时间变化称为平面稳定流动。在平面稳定流动中取平面z，如果在Z上某一区域D内的每一点都有一个大小和方向都不随时间变化的向量与它对应，则在D内确定了一个稳定平面向量场。在D内任取一条简单曲线C，以C为准线，做一个高为1的柱面，则单位时间内通过这个柱面流向它某一侧的流量，即流体的质量，称为通过C流向这一侧的流量。既是流量的物理意义。设流体的密度为1，故流量可以用流体在D上覆盖的面积来表示。取曲线C上的弧元素AB=ds，取定法线方向总指向C的右侧。设在A处的速度向量为v，而vn为v在法线方向上的投影。如果C是一条简单闭曲线，在单位时间内通过ds流向法线侧的流量为Q=CVnds在复平面上，对应的设v的实部为Vx=Vx(x,y)以及虚部为Vy=Vy(x,y)，于是v可以表示为v=Vx(x,y)+Vy(x,y)i。于是流过C的流量为Qc = CVxdy-Vydx 当沿C正向Qc=0时，流出与流入相等净流量为0，则称流速场V无源。同时由格林公式，可将Qc整理为 Qc = CVxdy-Vydx = CVxx+Vyydxdy如果我们取定Vxx与Vyy均连续,设z0(x0,y0)为D内一定点,Cr是以p0为中心,r为半径的小圆周,而Qr为通过Cr的流量,可以证得Qrr2在z0点的极限值与Vxx+Vyy 在p0点的值相等，这时Vxx+Vyy 称之为流速场在z0=x0+iy0点的散度。散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以散度是通量的体密度。流量是散度的积分，环量为0是场无源。记为divV=Vxx+Vyy即当散度为0时，称这个流量场为无源场。 而在复变函数中，可以看出，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，上述条件即可表示为对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程之一的Vxx=-Vyy 成立，则流体的流动是无源的。再定义流体通过曲线AB的环量,这时在AB上取一点P,流速在切线上分量为Vt,它沿AB积分,就得到曲线AB的速度环量记为。而对D内任一条简单闭曲线C，称CVtds 为流体在单位时间内沿曲线C的环量。若沿D内的任一简单必曲线的环量是0，则称这个流体的流动是无旋的。在区域D内，由格林公式可知，=CVxdx+Vydy= CVyx-Vxydxdy 与散度同理，将数值 Vyx-Vxy 在z0=x0+iy0处的值称为在这一点的旋度，记为rotV= Vyx-Vxy 。旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度。当rotV=0，即 Vyx-Vxy=0 时，将流量场称为无旋场。故在复变函数中，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程另一个条件的 Vyx=Vxy 成立，则流体的流动无旋。由上述分析，我们就可以看出，流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D满足柯西-黎曼方程，那么这个平面流体流动是即无源又无旋的。可以说当一个函数能用无源无旋的二维向量场表示时,它是一个单连通域内的解析函数，反之，解析函数也可以表示二维向量场。我们将这个解析函数记为=f(z)=(x,y)+i(x,y)则这个解析函数称为能表示它的平面流速场的复势，而(x,y) 是向量场的势函数，(x,y) 是向量场的流函数。在应用中，我们可以根据解析函数与平面向量场的对应关系解决实际问题。在流体力学中，设想有一与z平面平行且距离为1的另一平面，并考虑通过C上各点而与两平面垂直的直线所形成的柱面。我们要计算气流作用于这一柱面上的压力，简称作用在曲线C上的压力。对于不可压缩的平面稳定流动，考虑在每一点与刘东平面向垂直的任一具有单位面积的矩形。这种矩形所受到的压力的大小p为P=A - 2|w|2这里w是在这点流动的速度向量，是流体的密度，A是一个实常数。在C上，压力的方向沿着法线向内，所以作用在弧长元素ds=|dz|上的压力向量的模是p|dz|。于是所求压力向量是Pdzeiz2=Aidz-i2 |w|2 dz作用在曲线C上的压力向量P是作用在各弧长元素上的压力向量的向量和，即P=Cpidz=-i2C|w|2 dz于是将平面向量场化为了复变函数，对复变函数进行积分既可以将计算化简。同时，解析函数在平面向量场中还可以用来求解静电场。以下题为例，设有两同心金属圆柱与z平面的截线为|z|=r1及|z|=r2（0r1r2+）。设两柱间的电势差为2V0，求所产生的静电场。设圆柱较长，我们只需求咦解析函数，使其虚部在|z|=r1上取值-V0。我们知道多值解析函数(z)=iaLnz+ib的虚部在|z|=r上的值不变，这里a、b是任意实数，r是任意整数，根据已给条件决定a和b，既得复势(z)=iV0lnr2-lnr1 2Lnz-lnr2+lnr1故由平面场与解析函数的对应关系，所求静电场即f(z)=V0lnr2-lnr1 2Lnz-lnr2+l