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第四讲曲线运动解题技巧 第一部分基础知识 回顾 第二部分解题技巧 例析 曲线运动 知识结构 一 曲线运动相关概念 1 曲线运动的速度方向在曲线运动中 运动质点在某一点的瞬时速度的方向 就是通过这一点的曲线的切线方向 2 物体做曲线运动的条件物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上 注意 合力的方向一定指向曲线的内侧 v v 3 曲线运动一定是变速运动 关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动 下述说法中正确的是 C D A 一定是直线运动B 一定是曲线运动C 一定是匀变速运动D 可能是直线运动 也可能是曲线运动 二 运动的合成与分解 1 运动合成与分解的目的把复杂的 曲线 运动看成是两个简单的运动合成的 以方便解决问题 2 合运动 分运动的概念 图5 9 注意 实际观测到的运动是合运动 红蜡块在竖直方向的分运动和水平方向的分运动与它由A到C的合运动是同时发生的 红腊块在竖直方向分运动的运动规律 如速度 到达玻璃管顶部的时间等 并不因它存在随玻璃管在水平方向的分运动而改变 3 运动合成与分解遵循平行四边形定则 合成 与 分解 什么呢 在运动的合成与分解中 根据实际需要 分别对描述运动的物理量 位移 速度 加速度进行合成或分解 位移 速度 加速度都是矢量 所以运动合成与分解是按照平行四边形定则来进行的 思考题 如何判断合运动轨迹的 曲 或 直 看合速度的方向是否变化 物体作曲线运动的条件 根据两个分运动的情况 应用力与运动的关系 我们可以判断出物体所受的合外力方向 再应用平行四边形定则判断出初始时刻合速度方向 如果合外力方向与初速度方向在同一直线上 物体就做直线运动 如果合外力方向与初速度方向不在同一直线上 物体就做曲线运动 船身与河岸垂直时 渡河时间最短 4 渡河 问题 1 渡河的最短时间t v2 v v1 2 渡河的最短路程s 当v1 v2时 船身与河岸 角 使船的合速度垂直河岸 当v1 v2时 船身与河岸 角 使船的合速度垂直船身 此时船的合速度与河岸的夹角 最大 例题2 一只小船在静水中速度为u 若水流速度为v 要使之渡过宽度为L的河 试分析为使渡河时间最短 应如何行驶 解题过程 依据合运动与分运动的等时性 设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA 则设船头垂直河岸渡河 如图5 2 B 所示 所需的时间为tB 则比较上面两式易得知 tA tB 又由于从A点到达对岸的所有路径中AB最短 故 三 平抛运动 1 定义 将物体以一定的初速度沿水平方向抛出 物体只在重力作用下所做的运动 叫平抛运动 思考题 发射洲际导弹 火箭停止工作后 导弹获得很大的水平速度 此后导弹的运动规律是否满足平抛运动的运动规律 4 适用条件 初速不太大 抛出点的高度不太高 在平抛物体运动范围内 地面可看成平面 1 水平抛出一物 其速度方向由与水平方向成45 角变为60 角所经历的时间为t 求平抛物体的初速度 gt 2 如图所示 A B C为平抛物体运动轨迹上的三点 已知A B间与B C间的水平距离均为x 而竖直方向间的距离分别为y1 y2 试根据上述条件求平抛物体的初速度及B点瞬时速度的大小 v0 x vB 3 如图所示 一光滑斜面与竖直方向成 角 一小球有两种方式释放 第一种方式是在A点以速度v0平抛落至B点 第二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑 求 1 AB的长度多大 2 两种方式到B点 平抛的运动时间为t1 下滑的时间为t2 t1 t2等于多少 3 两种方式到B点的水平速度之比v1x v2x和竖直分速度之比v1y v2y各是多少 答案 1 2v02cos gsin2 2 cos 3 四 匀速圆周运动 1 定义 质点沿圆周运动 如果在相等时间里通过的圆弧长度相等 这种运动就叫做匀速圆周运动 2 描述匀速圆周运动的物理量 请想一想 匀速圆周运动与匀速转动有何不同 两者关系 1 线速度 2 角速度 3 向心力和向心加速度的概念 1 向心力 质点做圆周运动时受到的始终指向圆心的力 按效果命名的 向心力作用效果 只改变物体速度的方向 不改变速度的大小 2 向心加速度 向心力产生的加速度叫向心加速度 它描述速度方向改变的快慢 或 或 根据牛顿第二定律可得 概念辩析 向心力与合力 从作用效果看 加速度 向心加速度 当物体做匀速圆周运动时 向心力 合力 1 圆锥摆 4 匀速圆周运动实例分析 细线一端系一小球 另一端固定于悬点 让小球在水平面内做匀速圆周运动 细线的运动轨迹是圆锥面 所以这个运动装置叫圆锥摆 试推导圆锥摆的周期公式 什么力提供向心力呢 圆心位置在哪里 与单摆的周期公式很象 g l T q p cos 2 火车转弯 火车转弯时是什么力提供向心力呢 实际在修筑铁路时 要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v 适当选择内外轨的高度差 使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供 如图 所示 此时圆心在哪里呢 通常倾角 不太大 可近似取tg h d 则 思考题 汽车在水平的圆弧路面上做匀速圆周运动时 如图甲所示 是什么力作为向心力的呢 甲 如果不考虑汽车行驶时受到的阻力 则汽车所受的地面对它的静摩擦力就是向心力 如果考虑汽车行驶时受到的阻力Ff 则静摩擦力沿圆周切线方向的分力Ft 通常叫做牵引力 与阻力Ff平衡 而静摩擦力指向圆心的分力Fn就是向心力 如图丙所示 这时静摩擦力指向圆心的分力Fn也就是汽车所受的合力 汽车过拱桥 图1 3 汽车过拱桥和凹桥 汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力 大小相等 由上式可以看出这个压力小于汽车的重力G 速度v越大 压力就越小 当速度压力为零 汽车过凹桥 图2 汽车对桥面的压力大于汽车的重力G 速度v越大 压力就越大 速度v等于零时 压力就等于汽车的重力 一 如何对运动进行合成或分解 需要是出发点 认清合运动是关键 第二部分解题技巧 例析 二 解决圆周运动问题的三个要点 1 确定向心力和圆心位置 2 掌握脱离圆轨道的临界条件 3 会灵活运用能量关系求速度 一 如何对运动进行合成或分解 需要是出发点 认清合运动是关键 什么是合运动 你实际观察到的运动就是合运动 运动的分解通常有两种方式 1 结合受力情况 根据力的独立作用原理和运动独立性原理来分解 如前述平抛运动 2 仅根据运动的效果进行分解 如 渡河问题 例1 如图4 6所示 汽车以速度v0匀速向左运动 当绳子与水平面的夹角为 时 求重物上升的速度 并讨论重物的运动性质 解 将v0分解成沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2 重物上升的速度即为v1 易得 v1 v0cos 当汽车向左匀速运动时 角将逐渐变小 v1逐渐变大 即重物向上做加速运动 不是匀加速 例2 如图所示 一条小船位于200m宽的河正中A点处 从这里向下游100m处有一危险区 当水流速度为4m s时 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸 小船在静水中的速度至少是m s 解 例3 如图所示 某人从高出水平地面h高的坡上水平击出一个高尔夫球 由于恒定的水平风力的作用 高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴 该球被击出时初速度的大小为 m s 解 二 解决圆周运动问题的三个要点 2 掌握脱离圆轨道的临界条件 1 确定向心力和圆心位置 3 会灵活运用能量关系求速度 向心力并不是一种特殊的 做匀速圆周运动的物体另外受到的力 它是按效果命名的力 任何一个或几个力的合力只要它的作用效果是物体产生向心加速度 它就是物体所受的向心力 拉力或弹力等于零 例4 某地有一试车场 其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道 其试车道呈碗状 如图所示 有一质量为m 1t的小汽车在极限状态下在A车道上飞驰 使汽车在某一水平面内作匀速圆周运动 已知该车道转弯半径R为150m 路面倾斜角 45 与水平面夹角 路面与车胎摩擦因数 0 25 求汽车所能允许的最大车速 g取10m s2 V 50m s 解 例5 如图所示 质量均为m的两小球A B套在转盘的水平杆CD上 并用轻质细绳连接 A距盘心为R B距盘心为2R A B与CD杆的最大静摩擦力均为Fm 为保持A B两球距盘心的距离不变 转盘的角速度不得超过多少 例题 如图为一空间探测器的示意图 P1 P2 P3 P4四个喷气发动机 P1 P3的连钱与空间一固定坐标系的x轴平行 P2 P4的连线与y轴平行 每台发动机开动时 都能向探测器提供推力 但不会使探测器转动 开始时 探测器以恒定的速率v0向正x方向平动 要使探测器改为向正x偏负y60 的方向以原来的速率v0平动 则可 A 先开动P1适当时间 再开动P4适当时间B 先开动P3适当时间 再开动P2适当时间C 开动P4适当时间D 先开动P3适当时间 再开动P4适当时间 解析 选A 在运动的合成 分解中 真实运动为合运动 即 向正x偏y60 的方向以原来的速率v0平动 为合运动 x轴 y轴方向上的运动为分运动 据平行四边形定则 由右图可得 ux v0 vy v0 又因为 开始时 探测器以恒定的速率v0向正x方向平动 所以在x轴方向上探测器做的是沿正x方向的减速运动 其加速度沿负x方向 由牛顿第二定律 沿x轴方向的合外力必沿负x方向 所以P1发动机开动 在y抽方向上探测器做的是沿负y方向的加速运动 加速度方向沿负y方向 由牛顿第二定律 沿y轴方向的合外力必沿负y方向 所以P4发动机打开 本题正确答案为A 例题 如图所示 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B 可视为质点 将其放在一个直角形光滑槽中 已知当轻杆与槽左壁成 角时 A球沿槽下滑的速度为VA 求此时B球的速度VB 解析 A球以VA的速度沿斜槽滑下时 可分解为 一个使杆压缩的分运动 设其速度为VA1 一个使杆绕B点转动的分运动 设其速度为VA2 而B球沿斜槽上滑的运动为合运动 设其速度为VB 可分解为 一个使杆伸长的分运动 设其速度为VB1 VB1 VA1 一个使杆摆动的分运动设其速度为VB2 求相互接触物体的速度关联问题时 首先要明确两接触物体的速度 分析弹力的方向 然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解 令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出 例题 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动 在半圆柱体上搁置一根竖直杆 此杆只能沿竖直方向运动 如图所示 当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为 求竖直杆运动的速度 解析 设竖直杆运动的速度为V1 方向竖直向上 由于弹力方向沿OP方向 所以V0 V1在OP方向的投影相等 即有 解得V1 V0tan 例题 一根长为L的杆OA O端用铰链固定 另一端固定着一个小球A 靠在一个质量为M 高为h的物块上 如图所示 若物块与地面摩擦不计 试求当物块以速度v向右运动时 小球A的线速度vA 此时杆与水平方向夹角为 解析 解题方法与技巧 选取物与棒接触点B为连结点 不直接选A点 因为A点与物块速度的v的关系不明显 因为B点在物块上 该点运动方向不变且与物块运动方向一致 故B点的合速度 实际速度 也就是物块速度v B点又在棒上 参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2 因此 将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解 由速度矢量分解图得 v2 vsin 设此时OB长度为a 则a h sin 令棒绕O点转动角速度为 则 v2 a vsin2 h 故A的线速度vA L vLsin2 h 气象测量仪量雨器被认为是最古老的气象仪器 它实际上是一个盛雨的圆筒 如果筒里盛了1mm水 这表明已降了1mm的雨 就是如此简单 大多数标准的量雨器都有一个宽漏斗引入圆筒玻璃量杯 而且都有刻度 该仪器可测量低至0 25mm的降水 图A 4 14 13显示了该标准量雨器 假定雨相对地面以速率v垂直落下 那么用桶盛雨水 在不刮风或有平行于地面的风两种情况下 哪一种能较快地盛满雨水 解析 桶中盛的雨水量和桶口面积S 雨水速率v以及时间有关 雨水垂直于地面的速度一定时 刮平行于地面的风时使雨相对于地面的速度 V合 增大 v合 v cos 为V合和竖直方向间的夹角 而桶口相对于雨的垂直面积变小了 S Scos 因此盛满水的时间决定于V合和S 的乘积 V合S VS 两种情况下 如果盛雨水时间相同 所盛雨水量相同 如图所示 M N是两个共轴圆筒的横截面 外筒半径为R 内筒半径比R小很多 可以忽略不计 简的两端是封闭的 两筒之间抽成真空 两筒以相同角速度 转其中心轴线 图中垂直于纸面 作匀速转动 设从M筒内部可以通过窄缝S 与M筒的轴线平行 不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒 从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向 微粒到达N筒后就附着在N筒上 如果R v1和v2都不变 而 取某一合适的值 则 A 有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条与S缝平行的窄条上B 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上C 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上D 只要时间足够长 N筒上将到处落有微粒 解 微粒从M到N运动时间t R v 对应N筒转过角度 t R v 即 1 t R v1 2 t R v2 只要 1 2不是相差2 的整数倍 则落在两处 C项正确 若相差2 的整数倍 则落在一处 可能是a处 也可能是b处 A B正确 故正确选项为ABC 若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内 且均为正圆 又知这两种转动同向 如图所示 月相变化的周期为29 5天 图示是相继两次满月时 月 地 日相对位置的示意图 求 月球绕地球转一周所用的时间T 因月球总是一面朝向地球 故T恰是月球自转周期 提示 可借鉴恒星日 太阳日的解释方法 我国发射的 嫦娥一号 探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行 为了获得月球表面全貌的信息 让卫星轨道平面缓慢变化 卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球 设地球和月球的质量分别为M和m 地球和月球的半径分别为R和R1 月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1 月球绕地球转动的周期为T 假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面 求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 用M m R R1 r r1和T表示 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响 例题 一位同学将一足球从楼梯顶部以的速度踢出 忽略空气阻力 若所有台阶都是高0 2m 宽0 25m 问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上 例题 求平抛物体的落点 如图 斜面上有a b c d四个点 ab bc cd 从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球 它落在斜面上b点 若小球从O点以速度2v0水平抛出 不计空气阻力 则它落在斜面上的 A b与c之间某一点B c点C c与d之间某一点D d点 例题 位移比值问题 如图所示 在斜面上O点先后以 0和2 0的速度水平抛出A B两小球 则从抛出至第一次着地 两小球的水平位移大小之比可能为 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 5 竖直方向上的圆周运动 O R 圆锥摆 l March21 2020 轮胎问题 2r r 大轮带动小轮 速度为v 试讨论两轮的角速度 线速度 向心加速度 周期间的关系 March21 2020 圆周运动 综合性问题 质量为m的小球 用绳系在边长为a 横截面为正方形的木柱的顶角A处 如图所示 细绳长为4a 所能承受的最大拉力为T 7mg 开始时细绳拉直并处于水平状态 问此时应以多大的初速度竖直下抛小球才能使绳绕在木柱上且小球在各段均作圆周运动最后击中A点 不计空气阻力 圆周运动 综合性问题 离心管 万有引力定律 万有引力 向心力 March21 2020 开普勒三定律 1 轨道定律 2 面积定律 3 周期定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的焦点上 对于每一行星而言 太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等 行星在近日点比远日点快 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 双星模型 双星模型 o m1 m2 m3 三星模型 March21 2020 关于全球通信 关于全球通信 通讯卫星可以实现全球的电视转播 从图可知 如果能发射三颗相对地面静止的卫星 即同步卫星 并相互联网 即可覆盖全球的每个角落 由于通讯卫星都必须位于赤道上空3 6 107m处 各卫星之间又不能相距太近 所以 通讯卫星的总数是有限的 设想在赤道所在平面内 以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星 全球通讯卫星的总数应为72个 同步卫星 人造卫星的发射 约7R 同步轨道 近地轨道 加速 March21 2020 同样质量的卫星 轨道半径越大 即离地面越高 卫星具有的机械能越大 发射越困难 重力 关于同步卫星的参数 万有引力定律 我们银河系的恒星中大约四分之一是双星 某双星由质量不等的星体S1和S2构成 两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点c做匀速圆周运动 由天文观察测得其运动周期为T s1到C点的距离为r1 Sl和S2的距离为r 已知引力常量为G 由此可求出Sl的质量为A 2003年8月29日 火星 地球和太阳处于三点一线上 上演 火星冲日 的天象奇观 这是6万年来火星距地球最近的一次 与地球之间的距离只有5576万公里 为人类研究火星提供了最佳时机 如图所示为美国宇航局最新公布的 火星大冲 虚拟图 则 A 2003年8月29日 火星的线速度大于地球的线速度B 2003年8月29日 火星的加速度小于地球的加速度C 2004年8月29日 必将产生下一个 火星大冲日 D 下一个 火星大冲日 必在2004年8月29日之后的某日 答案 BD March21 2020 欧盟和我国合作的 伽利略 全球卫星定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成 每个轨道平面上有10颗卫星 从而实现高精度的导航定位 现假设 伽利略 系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动 轨道半径为r 一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如图所示 相邻卫星之间的距离相等 卫星1和卫星3分别位于轨道上的A B两位置 卫星按顺时针运行 地球表面重力加速度为g 地球的半径为R 不计卫星间的相互作用力 求卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间 March21 2020 D 例 我国发射的 嫦娥一号 探月卫星简化后的路线示意图如图所示 卫星由地面发射后 经过发射轨道进入停泊轨道 然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道 再次调速后进入工作轨道 卫星在工作轨道上对月球进行探测 已知地球的半径比月球的半径大 地球表的重力加速度比月球表面的重力加速度大 且卫星在停泊轨道和工作轨道上的运动均可视为匀速圆周运动 则 A 卫星要从停泊轨道到转移轨道 卫星必须减速B 卫星要从转移轨道到工作轨道 卫星必须加速C 卫星在停泊轨道上运行的速率大于地球的第一宇宙速度D 卫星在工作轨道上运行的速率小于地球的第一宇宙速度 连续群 与 卫星群 例 土星的外层有一个环 为了判断它是土星的一部分 即土星的 连续群 还是土星的 卫星群 可以通过测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断 A 若v R 则该层是土星的连续群B 若v2 R 则该层是土星的卫星群C 若 则该层是土星的连续群D 若 则该层是土星的卫星群 连续物与分离物的特点与规律 AD 宇宙速度 第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度 March21 2020 2009全国卷2 高考中天体问题的探究 俯视图 2004广东 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星 试问 春分那天 太阳光直射赤道 在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星 已知地球半径为R 地球表面处的重力加速度为g 地球自转周期为T 不考虑大气对光的折射 04全国卷 23 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段 着陆器降落到火星的表面上 再经多次弹跳才停下来 假设第一次落到火星弹起后最大高度为h 同时还具有水平速度v0 求第二次到火星表面的