求解微分方程.ppt

第七章微分方程 1微分方程的基本概念 例一曲线通过点 1 2 且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍 求这曲线的方程 例列车在平直线路上以20m s的速度行驶 制动时列车获得加速度 0 4m s2 问开始制动到停止需多少时间 这段时间列车又走了多远 微分方程的定义 定义含有未知函数的导数 或微分 偏导数 的函数方程叫做微分方程 未知函数是一元函数叫做常微分方程 未知函数是多元函数叫做偏微分方程 其中出现的未知函数的导数 或微分 偏导数 的最高阶数叫做该微分方程的阶 n阶微分方程的一般形式 2 n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解 通解中确定了任意常数的解称为特解 微分方程的解 定义 1 对于微分方程设函数y x 在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上满足 则称y x 是方程在区间I上的一个解 其图形称为积分曲线 说明 1 n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数 2 微分方程的通解不一定包含它的全部解 如方程 不包含特解y 0 3 y x0 y0 y x0 y1 称为初始条件 或初值 带有初始条件的微分方程问题称为初值问题 微分方程解决实际问题的步骤 1 分析问题 建立微分方程并提出定解条件 2 求微分方程的通解 3 由定解条件定出任意常数 即求出特解 4 讨论所得解的性质和意义 例证明x C1coskt C2sinkt是方程 的通解 k 0 并求满足初始条件 的特解 求曲线所满足的微分方程 例 已知曲线上点P x y 处的法线与x轴交点为Q 解 如图所示 令Y 0 得Q点的横坐标 即 点P x y 处的法线方程为 且线段PQ被y轴平分 作业 P298 3 2 5 2 6 2可分离变量的微分方程 一阶微分方程的一般形式 F x y y 0 或y f x y 或写成对称形式 P x y dx Q x y dy 一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程 如果能把它写成形式g y dy f x dx 若G y F x 分别是g y f x 的原函数 得 例求微分方程的通解 例解方程 例已知铀的衰变速度与含量M成正比 比例系数 若t 0时铀的含量为M0 求时刻t时铀的含量M t 解由题设条件得微分方程 由条件M 0 M0得C M0 所以 铀的衰变规律 例 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 练习 P304 1 1 5 7 10 2 2 4 6 作业 3齐次方程 在一阶微分方程y f x y 中 如果f x y 可以化为 则该方程称为齐次方程 如何求解 例解方程 例 解微分方程 例 解微分方程 作业 P309 1 1 6 2 3 3 4一阶线性微分方程 本节讨论一阶线性微分方程 1 2 叫做对应于非齐次线性方程 1 的齐次线性方程 Q x 0时称为一阶齐次线性微分方程 分离变量法 这里表示P x 的任一原函数 3 一阶齐次线性方程 2 的解法 得方程 2 的通解 注 通解 3 包含了方程 2 的全部解 常数变易法 令 一阶非齐次线性方程 1 的解法 用常数变易法解非齐次方程的步骤 1 求出相应的齐次方程的通解 2 将通解中的任意常数C变为函数C x 然后代入非齐次方程求出C x 3 非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和 例解方程 习题 315 1 3 9 2 5 6 7 3 作业 5可降阶的高阶微分方程 三种可降阶的高阶微分方程 y n f x 型 积分一次 再积分一次 共积分n次 便得到含n个任意常数的通解 可逐次积分求得通解 例求y e2x cosx的通解 解 y f x y 型 令y p 方程变为p f x p 设其通解为p x C1 不显含y 即y x C1 说明 对于方程y n f x y n 1 可令y n 1 p而化为一阶微分方程p f x p 例求微分方程 1 x2 y 2xy 的通解及满足初始条件y 0 1 y 0 3的特解 y x3 3x 1 例解方程 这时仍令y p作为新未知函数 方程变为 设其通解为p y C1 则 y f y y 型 不显含x 例解方程 例 解初值问题 习题 P323 1 2 6 10 2 2 4 5 3 作业 6高阶线性微分方程 一 二阶线性微分方程举例 例1求弹簧振子的运动规律x t x 自由振动的微分方程 强迫振动的微分方程 这就是串联电路的振荡方程 其中 例2设由电阻R 电感L 电容C和电源E Emsin t串联组成的电路中 电容C两极板间的电压为uC 则有 二 函数的线性相关与线性无关 定义设y1 y2 yn是定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使在I上 就称这n个函数在I上线性相关 否则称为线性无关 例如 1 cos2x sin2x在 线性相关 1 x x2在任何区间上线性无关 说明 1 线性相关 其中至少有一个函数可由其它函数线性表出 2 y1 y2 yn线性无关 若k1y1 k2y2 knyn 0 则k1 k2 kn 0 3 y1与y2线性相关 常数 n阶线性微分方程的一般形式 证直接将y C1y1 C2y2代入 2 得 定理如果y1 y2是齐次方程的两个解 那么 y C1y1 C2y2也是解 其中C1 C2是任意常数 三 齐次线性方程解的结构 定理设y1 y2是齐次方程 2 的两个线性无关的特解 称为 2 的一个基本解组 则y C1y1 C2y2 C1 C2是任意常数 是它的通解 且此通解含有全部解 例y1 x y2 ex是齐次线性方程 的一个基本解组 故其通解是 定理 解的叠加原理 设y1 x y2 x 分别是方程 的解 则y y1 x y2 x 是如下方程的解 证 非齐次线性方程解的结构 定理设y x 是非齐次方程 1 的一个特解 Y x 是对应的齐次方程 2 的通解 则y Y x y x 是方程 1 的通解 且此通解含有全部解 证由定理3 y Y x y x C1y1 C2y2 y x 是 1 的解 又它含有两个独立的任意常数 故是通解 设y0 x 是 1 的任一解 则y0 x y x 是齐次方程 2 的解 故存在常数C10与C20 使得 y0 x y x C10y1 C20y2 于是y0 x C10y1 C20y2 y x 例y x2是方程 的一个特解 故其通解是 n阶线性微分方程 上面关于二阶线性方程的结论可推广到n阶线性方程 1 线性微分方程解的叠加原理 设y1 x y2 x 分别是方程L y f1 x 与L y f2 x 的解 则y y1 x y2 x 是方程L y f1 x f2 x 的解 L y f x 其中 2 齐次线性方程解的结构 设y1 y2 yn是齐次线性方程L y 0的n个线性无关的解 称为它的一个基本解组 则y C1y1 C2y2 Cnyn C1 C2 Cn是任意常数 是它的通解 且此通解含有全部解 常数 则该方程的通解是 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解 是任意 例 提示 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 89考研 解 故原方程通解为 非齐次线性方程解的结构 设y x 是非齐次方程L y f x 的特解 Y x 是对应的齐次方程L y 0的通解 则y Y x y x 是非齐次方程L y f x 的通解 且此通解含有全部解 作业 习题 P331 1 3 7 3 4 1 7常系数齐次线性微分方程 一 特征方程与特征根 二阶常系数齐次线性方程y py qy 0 定义称代数方程r2 pr q 0 为微分方程的特征方程 它的根叫做微分方程的特征根 1 p2 4q 0 r1 r2是两个不相等的实根 则 是方程 1 的两个线性无关的解 方程的通解是 微分方程的通解 取u x 得 这时方程 1 的通解为 代入得 2 p2 4q 0 得到方程的一个解 设另一个线性无关的解 得到两个线性无关的实解 所以通解是 根据解的叠加原理 3 p2 4q 0 得到一对共轭复根r1 i r2 i 这样得到两个线性无关的复数形式的解 r1 r2是不等二实根 r1 r2是相等二实根 其中 r1 r2是一对共轭复根 求二阶常系数齐次线性方程 1 的通解的步骤如下 1 写出特征方程r2 pr q 0 2 求出特征方程的两个根r1 r2 3 根据r1 r2的不同情况写出通解 例求y 2y 3y 0的通解 例求方程y 2y 5y 0的通解 n阶常系数齐次线性方程 求解步骤如下 1 写出特征方程 2 求出特征方程的n个根 特征根 3 根据特征根写出n个线性无关的解 基本解组 4 写出微分方程的通解 一对单共轭复根 i k重实根r 一对k重共轭复根 i 单实根r 说明 n次方程共有n个根 对应每个特征根可写出一个基本解组中的解 方法如下 特征根是r1 r2 0 r3 4 1 2i 因此微分方程的通解为 y C1 C2x ex C3cos2x C4sin2x 例求方程的通解 解特征方程 特征根是r1 r2 1 r3 4 微分方程的通解为 例解方程 解特征方程r4 2r3 3r2 4r 2 0 r4 2r3 3r2 4r 2 r 1 r3 r2 2r 2 r 1 2 r2 2 解整系数高次代数方程 一般用分解因式法和试根法 应注意以下特殊情形 1 系数之和为零时 有根x 1 2 奇偶项系数之和相等时 有根x 1 3 如果方程有有理根 则p是a0的因数 q是an的因数 习题 P340 1 3 6 10 2 2 5 8常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式 求方程 1 的通解 归结为求对应的齐次方程 本节只介绍当方程 1 中的f x 取两种常见形式时用待定系数法求出特解y 的方法 y py qy f x p q是常数 1 y py qy 0 的通解和 1 的一个特解 f x 是多项式Pm x 与指数函数e x的乘积 其导数仍然是同一类型 因此我们推测 特解具有形式y e xQ x 其中Q x 是待定的多项式 将y e xQ x y e x Q x Q x y e x 2Q x 2 Q x Q x 代入方程 1 并消去e x得 Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 2 一 f x e xPm x 其中 是常数 Pm x 是一个m次多项式 Qm x b0 xm b1xm 1 bm 1x bm 代入 2 式 比较同次幂系数 得到一个以b0 b1 bm为未知数的m 1个方程的方程组 从而可求出特解y Qm x e x 2 是特征方程r2 pr q 0的单根 即 2 p q 0 但2 p 0 2 式变为Q x 2 p Q x Pm x 可见Q x 应是m次多项式且Q x 的常数项可任取 不妨取为零 令Q x xQm x 用同样的方法可求出Qm x 的系数b0 b1 bm 1 不是特征方程r2 pr q 0的根 2 p q 0 要使 2 式两端相等 Q x 必须是m次多项式 3 是特征方程r2 pr q 0的重根 即 2 p q 0 且2 p 0 2 式变为Q x Pm x 可见Q x 应是m次多项式且Q x 的常数项和一次项系数可任取 因而可令Q x x2Qm x 然后用同样的方法求出Qm x 的系数b0 b1 bm 结论 f x e xPm x 时方程 1 有y xkQm x e x形式的特解 当 不是特征根时取k 0 当 是单特征根时取k 1 当 是重特征根时取k 2 例求微分方程y 2y 3y 3x 1的通解 解特征方程r2 2r 3 0有不等二实根 1 3 令y b0 x b1 代入方程得 3b0 x 2b0 3b1 3x 1 0不是特征根 Pm x 3x 1 m 1 比较系数得b0 1 b1 特解y x 方程的通解是 2是单特征根 Pm x x m 1 比较系数得 特解y 通解 例求的通解 解特征方程r2 5r 6 0有不等二实根2 3 令y 代入方程得 2b0 x 2b0 b1 x 齐次方程的通解为Y C1 C2x ex 1是重特征根 Pm x 1 m 0 令y bx2ex 代入方程得 例解方程 解特征方程r2 2r 1 0有重根r 1 特解y 通解y 二 这里 是常数 Pl x