流体力学基本方程.ppt

高等流体力学 3流体力学基本方程 3流体力学基本方程 流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律 即 质量守恒定律 动量守恒定律和能量守恒定律 流体动力学基本方程组就是这三大定律对流体运动的数学描述 但是 流体力学基本方程组是不封闭的 要使其封闭还需增加辅助的物性关系 如 密度 比热 粘性系数和热传导系数随温度 压强的变化关系等 目前尚不能求得这一方程组的解析解 但研究这一方程组的性质却具有极其重要的意义 因为实际流体的流动过程遵循这一基本方程组 3 1系统和控制体的概念 3 1 1系统包含着确定不变的物质的任何集合 称之为系统 系统以外的一切 统称为外界 系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面 在流体力学中 系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团 3 1 1系统 流体系统的边界有如下特点 系统的边界随着流体一起运动 系统的体积边界面的形状和大小可以随时间变化 在系统的边界处没有质量交换 即没有流体进入或跑出系统的边界 在系统的边界上 受到外界作用在系统上的表面力 在系统边界上可以有能量交换 即可以有能量 热或功 通过边界进入或离开系统 3 1 1系统 如果我们使用系统来研究连续介质的流动 那就意味着采用拉格朗日观点 即以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象 但是对大多数实际的流体力学问题来说 采用欧拉观点更为方便 与此相应 必须引进控制体的概念 3 1系统和控制体的概念 3 1 2控制体被流体所流过的相对于某个坐标系来说是固定不变的任何体积称之为控制体 控制体的边界面 称之为控制面 它总是封闭表面 占据控制体的诸流体质点是随着时间而改变的 3 1 2控制体 控制面有如下待点 控制体的边界 控制面 相对于坐标系是固定的 在控制面上可以有质量交换 即有流体跑进或跑出控制面 在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力 在控制面上可以有能量交换 即可以有能量 内能 动能 热或功 跑进或跑出控制面 3 2连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式 连续性方程是运动学方程 它与力无关 所以既适用于理想流体也适用于粘性流体 在流动空间中 考察一微元控制体 其体积为dxdydz 对某一固定参考系统 它是固定在空间中的 如下图所示 3 2连续性方程 质量守恒定律可表述如下 控制体内流体质量的减少量应等于从控制体净流出的流体质量 3 2连续性方程 1 控制体内流体质量的变化dt时间中控制体内流体密度的变化为dt时间中控制体内流体质量的减少量为 3 2连续性方程 2 通过控制面净流出控制体的流体质量dt时间内在x方向通过左右两个侧面 控制面 净流出的流体质量为同理 dt时间中在y z方向通过相应控制面净流出的流体质量分别为 3 2连续性方程 3 流体流动的连续性方程根据质量守恒定律 由上述分析可得出对于单位时间单位体积空间而言这就是直角坐标系中的连续性方程式 将之写成向量形式即得 3 2连续性方程 按求和约定 连续性方程可表示成使用恒等式 连续性方程可写成其中 3 2连续性方程 对于定常流动 连续性方程变成按求和约定 上式表示成它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于流入该体积空间的质量 也可以说微元控制体内的流体密度不随时间而改变 3 2连续性方程 对于不可压缩流体的流动问题 不可压缩流体流动的连续性方程为按求和约定 上式表示成上式说明 由于流体微团的密度和质量在流动过程中都不变 所以流体微团的体积在运动中也不会改变 3 2连续性方程 在圆柱坐标系 r z 中 流体流动的连续性方程为在球坐标系 r 中 流体流动的连续性方程为 3 3本构方程 一般而言 所谓本构方程是指描述物质对所受力的力学响应的方程 对运动的粘性流体而言 应力与变形速度之间的关系称为本构方程 3 3 1流体的表面应力张量为了建立流体动力学方程 需要分析流体微团上所受到的各种作用力 流体微团受到的作用力可以分为两大类 一类是质量力 它是作用在流体所有质点上的非接触力 如重力 惯性力 电磁力等 另一类是表面力 它是作用在流体微团界面上的接触力 如压力 摩擦力等 现只考虑表面力 3 3 1流体的表面应力张量 如右图所示的正六面体流体微团 在垂直于x轴的左右两个侧表面上 分别作用有合应力px和 3 3 1流体的表面应力张量 此处的下标x表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面上 由此可得到作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合力为同理 作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的合力分别为 3 3 1流体的表面应力张量 综和上述结果 可得到作用于单位体积流体的表面力的合力上式中px py和pz都是向量 可以将它们沿三个坐标方向分解 即分解成垂直于各微元面的正应力和平行于各微元面的切应力 例如上面图中作用于与x轴垂直的微元面上的应力px可分解成同理 3 3 1流体的表面应力张量 下标规定 第一个下标代表应力所在平面的外法线方向 第二个下标代表应力的方向 例如 xy表示作用在与x轴垂直的平面上沿y方向的切应力 由上述分析可见 要完全描述微元体上的应力 则需要九个分量 这九个分量就组成了应力张量 应力张量可表示成 3 3 1流体的表面应力张量 可以证明 应力张量是二阶对称张量 正应力的正方向为作用面外法线方向 对于切应力 当作用面的外法线沿坐标轴的正方向时 取沿坐标轴正方向的切应力为正 当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时 取沿坐标轴负方向的切应力为正 这样 单位体积流体的表面力可写成 3 3 2牛顿流体的本构方程 物质所受到的应力与运动学参数之间存在着一定的关系 在弹性力学中 这种关系是由虎克定律表示的 即弹性固体中应力与应变成正比 在流体力学中 不同性质的流体这种关系有不同的类型 对于水 空气和润滑油等化学结构比较简单的低分子流体 应力与变形速率成正比 也就是说 应力与变形速率之间存在着线性关系 服从这种线性关系的流体称为牛顿流体 3 3 2牛顿流体的本构方程 牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时 两流体层间的切应力的假设 认为切应力与层间速度梯度成正比 即 为动力粘性系数 其值取决于流体的物理性质 通常称上式为牛顿内摩擦定律 3 3 2牛顿流体的本构方程 根据变形率张量和应力张量 上式左边对应于平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分量 右边的导数项对应于变形率张量的一个分量 因此 可以理解为 yx与 yx成正比例 3 3 2牛顿流体的本构方程 斯托克斯将牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的任意流动情形中去 假设 1 流体是连续的 其应力张量是变形率张量的线性函数 2 流体是各向同性的 即它的性质与方向无关 因此 无论坐标系如何选取 它的应力与变形率的关系是相同的 3 当流体静止 即变形率为零时 流体中的应力就是流体静压力 3 3 2牛顿流体的本构方程 或者式中的负号表示压力的方向总是与微元体表面外法线方向相反 I为单位张量实验证明 对大多数常见的液体和气体 上述假设是对的 3 3 2牛顿流体的本构方程 根据应力张量与变形率张量是线性关系以及流体是各向同性的假设 可以将应力张量 与变形率张量 的线性关系式写成式中的系数a和b应该是标量 由于关系式是线性的 因此系数a不可能与张量 和 中的分量有关 而应该与流体运动形态无关 它是取决于流体的物理属性的系数 参照牛顿内摩擦定律 令 3 3 2牛顿流体的本构方程 至于系数b 由于在应力张量与变形率张量线性关系式中右边第二项是b与单位张量I的乘积 要保持该式的线性关系 b只能由张量 与 的分量线性地组成 又由于b是标量 因此它应该由张量 与 的分量中 那些当坐标系转换时其值不变的分量组合来构成 对二阶张量而言 主对角线上三个分量的和为它的线性不变量 即第一不变量 3 3 2牛顿流体的本构方程 对于应力张量的线性不变量为对于变形率张量的线性不变量为通过上述分析 可以写出标量b的一般关系式式中的b1 b2 b3为待定常数 3 3 2牛顿流体的本构方程 将标量b的表达式代入应力张量与变形率张量线性关系式中 得取等式两边主对角线上三个分量之和 可得归并同类项后 得在静止状态下 而且 因此 上式可以写成 3 3 2牛顿流体的本构方程 由于b1 b3均为常数 而且要求在静压力p0值为任意情况下均成立 则只有而这三个系数确定以后 就可得出应力张量与变形率张量之间的一般线性关系式 3 3 2牛顿流体的本构方程 对于非粘性流体 一点的压强在各个方向是相等的 此处引入平均压强的概念 即对于粘性流体来讲 类似地采用这样的平均法向应力 有如果待定常数b2记为 则通常称上式为广义牛顿内摩擦定律 称为膨胀粘性系数 3 3 2牛顿流体的本构方程 如以ui和xi i 1 2 3 分别代替ux uy uz和x y z 则可以写出在直角坐标系中应力张量与变形率张量各分量之间的关系式 3 3 2牛顿流体的本构方程 对于不可压缩流体 则 3 3 2牛顿流体的本构方程 广义牛顿内摩擦定律建立了在一般情况下应力张量与变形率张量之间的关系 它是粘性流体力学的 个理论基础 虽然在推广的过程中采用了一些无法用实验验证的不很严格的假定 但是根据这一关系所得出的粘性流体力学方程组对许多问题的解 均被实验所证实 因此间接地证明了这些推广的可靠性 3 4粘性流体运动方程 运动方程 动量方程 是动量守恒定律对于运动流体的表达式 在充满运动流体的空间中 任取一控制闭曲面A 其所包围的流体体积为V 根据动量守恒定律 该体积流体的动量变化率等于作用在该体积流体上的质量力和表面力之和 设单位质量流体的质量力为f 当质量力仅为重力时 f g 单位面积上的表面力为 n 对粘性流体来讲可以有切向分量与法向分量 作用在该流体上的质量力和表面力之和为而动量的变化率为 3 4粘性流体运动方程 根据动量定理有根据张量运算的高斯公式 体积积分与面积积分的关系 上式右边可改写成式中为应力张量的散度 再根据随体导数的关系式这样 就有 3 4粘性流体运动方程 由于被积函数连续 且体积V是任意选取的 因此此即为粘性流体的运动微分方程式 在直角坐标系中可写成 3 4粘性流体运动方程 在质量力已知的情况下 对于不可压缩流体有12个未知量 3个速度分量及9个应力分量 而仅有4个方程 3个分量的动量方程和连续性方程 不足以解12个未知数 至于可压缩流体虽然又多了一个未知量密度 但可以多一个热力学方程 不影响上述分析 因此 需要运用广义牛顿内摩擦定律 将应力张量用变形率张量来表示 3 4粘性流体运动方程 广义牛顿内摩擦定律为所以这就是向量形式的运动微分方程式 在此方程式中则仅包括四个未知数 三个速度分量及一个压强p 由此也可以进一步体会到广义牛顿内摩擦定律在粘性流体力学中的重要意义 3 4粘性流体运动方程 根据变形率张量的表达式 可以将上式等号右边的最后一项加以变换 为简单起见 限在直角坐标系中讨论 对于的第一分量为对于第三 第三个分量 也可以得到类似的结果 即 3 4粘性流体运动方程 因此 在直角坐标系中 粘性流体的运动微分方程式可写成 3 4粘性流体运动方程 对于不可压缩流体 而且粘性系数 可以近似地看作常数 因此向量形式的运动微分方程式可简化为方程右端最后一项的三个分量分别为 3 4粘性流体运动方程 考虑到不可压缩流体的连续性方程 则不可压缩流体的动量方程可写成不可压缩实际流体的动量微分方程式 通常称之为纳维尔 斯托克斯 Navier Stokes 方程 简称N S方程 3 4粘性流体运动方程 在直角坐标系中 不可压缩流体的动量方程可以写成 3 4粘性流体运动方程 在圆柱坐标系 r z 中 不可压缩流体的动量方程可以写成 3 5能量方程 能量方程是能量守恒定律对于运动流体的表达式 在充满运动流体的空间中 任取一闭曲面A 控制面 其所包围的流体体积为V 控制体 根据能量守恒定律 该体积内流体动能的变化率等于单位时间内质量力和表面力所做的功与单位时间内系统所增加的热量之和 3 5能量方程 该体积内流体的动能包括 宏观流体运动的动能和微观分子运动的动能 内能 对于单位质量流体而言分别为 u u 2 u2 2 和e 因此 总能量的变化率为而单位时间内质量力和表面力所做的功为 3 5能量方程 单位时间内系统所增加的热量包括两部分 一部分是热传导 另一部分是热辐射以及化学反应 燃烧或其它物理原因等传入的热量 单位时间内通过控制面A传入控制体V的且由于热传导所增加的热量 可以根据傅里叶定律求得如以q表示由于热幅射或其它原因在单位时间内传入单位质量流体的热量 则传入体积为V的控制体的热量为 3 5能量方程 于是 根据能量守恒定律可以写出根据随体导数的恒等关系式 有 3 5能量方程 利用高斯公式 可得能量守恒关系可写成 3 5能量方程 由于控制体体积V是任意选取的 而且被积函数连续 因此这就是流体流动的能量微分方程式 下面将它改写成另一种形式 根据张量与向量分析 可以获得如下等式式中为应力张量与变形率张量的标量乘积 结果是二阶张量 3 5能量方程 对于实际流体运动微分方程可以看成单位体积流体所受力的平衡关系 现将其等式两边各点乘以速度向量u 得到的是功的平衡关系 或者因而有 3 5能量方程 将上式代入流体流动的能量微分方程式 得上式简化后 得这就是用内能表示的流体运动能量微分方程式 它的物理意义是 在单位时间内 单位体积流体内能的增加等于单位体积内由于流体变形运动时表面力所做的功 也可以说是应力张量所做的功 加上热传导及由于热辐射等其它原因传入控制体内流体的热量 3 6流体力学基本方程组及其定解条件 3 6 1基本方程组及其封闭性为了讨论和分析方便 将流体力学基本方程写在一起 构成基本方程组 为简单起见 只在直角坐标系下探讨不可压缩流体的流动问题 3 6 1基本方程组及其封闭性 流体力学基本方程的分量形式 3 6 1基本方程组及其封闭性 方程组独立的未知物理量有ux uy uz p T e共六个 方程的个数为五个 为使方程组封闭 须补充内能表达式 cv为定容比热 需要指出的是 因连续性方程 运动方程与能量方程不耦合 可以由连续性方程与运动方程联立求出ux uy uz p 然后再由能量方程解出T 3 6 1基本方程组及其封闭性 上述不可压缩流体流动的基本方程组 是二阶非线性偏微分方程组 从数学角度看 在得到反映物理现象的微分方程组后 就要分析它是否正确 即所谓的适定问题 符合下列三个条件的微分方程组才是适定的 适定三条件 存在解 解必须唯一 解必须稳定 3 6 1基本方程组及其封闭性 关于流体力学基本方程组解的存在性与唯一性问题 特别是存在性问题 至今尚未能从理论上予以论证 但是 对于解决工程实际问题而言 人们并不过份追究其数学上的严格性 因而往往可以不考虑这两个问题 也就是说认为方程组的解是存在的 而且在定解条件下解是唯一的 不过解的稳定性问题需要给予重视 3 6 2定解条件 仅由封闭的流体力学基本方程组还不能确定具体的流动形态 流动问题还与流动的初始情况和边界情况密切相关 也就是说 一个封闭的微分方程组 加上恰当规定的初始条件和边界条件 才可能确定具体的解 才构成一个定解问题 初始条件和边界条件统称为定解条件 在流体流动问题中 只有非定常流才需要初始条件 3 6 2定解条件 所需边界条件的数目取决于基本方程的类型和偏微分方程的阶数 如果过多地给出边界条件和初始条件 将会导致方程无解 如果给出的边界条件和初始条件不足 则将导致方程的解不唯一 3 6 2定解条件 根据偏微分方程理论 可按方程组的数学性质将其分为不同的类型 以下为拟线性二阶偏微分方程的一般形式式中的系数A B C和D可能是x y x和 y的非线性函数 但不包含 的二阶偏导数 3 6 2定解条件 上述方程在某一点及其邻近区域的性质由系数判别式B2 4AC在该点的符号决定 3 6 2定解条件 对于椭圆型方程 以Laplace方程为代表的椭圆型方程 只能给定边界条件 这就是所谓的边值问题 3 6 2定解条件 对于抛物型方程 以扩散方程 热传导方程 为代表的抛物型方程 应给定一个初始条件和边界条件 这就是所谓的边值混合问题 3 6 2定解条件 对于双曲型方程 以波动方程为代表的双曲型方程 除给定边界条件外 还应给定两个初始条件 这就是所谓的初值问题 3 6 2定解条件 由于N S方程组比上述拟线性二阶偏微分方程复杂得多 其定解条件的提法问题并没有完全解决 也没有处理这一问题的完整的理论 这与至今未能完全认识N S方程组的数学性质有关 为了规定N S方程组的定解条件 只能依赖物理方面的理由 并依靠已知的数学结果 以及对物理问题的正确判断来综合解决 3 6 2定解条件 1 初始条件所谓初始条件 就是在初始时刻 封闭方程组的解应等于该时刻给定的函数值 在数学上可以表示为t t0时式中的u0 p T为t0时刻的已知函数 3 6 2定解条件 2 边界条件在运动流体的边界上 封闭方程组的解所应满足的条件称为边界条件 边界条件随具体问题而定 一般来讲可能有以下三种情况 边界为固体壁面 包括可渗透壁面 不同流体的分界面 包括自由液面 气液界面 液液界面 流动的入口和出口断面 3 6 2定解条件 流体与固体接触面上的边界条件a 运动学边界条件当固体壁面不可渗透时 粘性流体质点将粘附于固体壁面上 即满足所谓无滑移条件 此时uf与uw是在固体壁面处流体的速度与固体壁面运动的速度 对于静止固体壁面 则当固体壁面可渗透时 应根据渗透速度来确定其边界条件 一般可假定uft 0 ufn 0 3 6 2定解条件 b 动力学边界条件当固体壁面不可渗透时 流体作用在固体壁面上任意一点处 该处壁面的法线方向为n 的应力 与固体壁面在同一点处对流体作用的应力大小相等 方向相反 具体表示为或者当固体壁面可渗透时 流体边界上的应力也应具有这样的条件 不过此时的情况要比不可渗透壁面时复杂 3 6 2定解条件 c 热力学边界条件当固体壁面不可渗透时 通常采用无温度突跃边界条件 即式中Tf与Tw是在固体壁面处流体的温度与固体壁面的温度 也可给出固体壁面处的温度梯度作为边界条件式中qw为通过单位面积传导的热量 壁面热流量 T n是壁面外法线方向上的温度梯度 通常定义从固体壁面向流体传导的热量为正 3 6 2定解条件 不同流体分界面上的边界条件一般包括两种不同液体的分界面 液体与蒸汽的分界面 液体与大气的分界面 即所谓自由液面 不同流体分界面上可能出现质量 动量及热量的交换 其情形较为复杂 a 不同液体的分界面根据分子运动论与实验证实 在一般情况下 两种液体的分界面上的速度 压强和温度都是连续的 即 3 6 2定解条件 b 液体与蒸汽的分界面如果不考虑液面上饱和蒸汽区中的动量 热量和质量交换 则可以将汽液分界面上的边界条件写为 3 6 2定解条件 b 液体与蒸汽的分界面其中unl是液体在平均液面的垂直方向上的速度 h是液面在垂直于平均液面方向的高度 这一边界条件表示 在液面上 液体在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波动速度 此外 可以近似认为 当液面上为大气压时 是上述情况的特例 实际上 应该注意到 对于汽液分界面来讲 有时必须考虑到汽液的动量 热量及质量的交换 3 6 2定解条件 流道入口和出口断面上的边界条件流动入口和出口断面上的物理参数 如速度 压强 温度等的分布 就是边界条件 这里所指的流动入口和出口断面 可以是固体通道的截面 也可以是平直流线所形成的流道断面 前者是内流情况 后者是外流 绕流 的情况 3 7实际流体流动的相似律 实际流体流动基本方程是一组非线性偏微分方程式 在某些简单情况下才可以求出准确解 但这类问题是为数不多的 非线性方程式是没有通用解法的 为了工程上和实用上的需要 要从力学性质上考虑来简化这些方程 以便求出解 为了简化基本方程 必须将基本方程式无量纲化 对每一项进行量级分析和比较 据此来确定方程式中每一项的取舍 基本方程式的无量纲化 同时也便于在数学上求解与应用 3 7实际流体流动的相似律 另外 有了无量纲基本方程 可以简单明了地确定两个流体运动的相似条件 建立相似理论 这对于模型化实验 推广实验数据的应用范围 是非常有用的 因为基本方程式中的物理变量是有量纲的 如果将这些变量除以相应某些特征参数 它们是常数 重新来定义新的无量纲变量 就可以将基本方程无量纲化 例如 特征参数可以是 平均速度作为特征速度 圆管直径作为特征长度等 3 7实际流体流动的相似律 对实