由数列递推公式求其通项公式历来是高考的重点和热点题型.docx

由数列递推公式求其通项公式历来是高考的重点和热点题型，自然成为师生研究的重点，各种求解方法也多见于各种杂志和书籍，但仍没摆脱“类型 + 方法”的桎梏，致使学生面对具体问题仍束手无策那么，在新课程全面实施，数学课程应该返璞归真，淡化问题类型，注重解决问题最本质的方法的今天，本类问题的求解思路是什么？哪些方法是通法？一、迭代法与累加法、累乘法是最基本的方法，是通法之一例1 已知数列a n中，a 0，且，求a n的通项公式解法1 （迭代法）= = 2n-1从而，a n的通项公式a n= a 2 n-1解法2 （累乘法）（n = 2, 3）a n = a= 2n-2 =1 + 2 + 4 + + 2 n-2 = a 2 n-1例2 已知数列a n中，a n+1 = kan + f (n)（其中k0，k1），求数列a n的通项公式解 方法1（迭代法） a n+1 = kan + f (n)， a n = k a n-1 + f (n1) = k ka n-2 + f (n2) + f (n1)= k 2 a n-2 + kf (n2) + f (n1)= k 2 ka n-3 + f (n3) + kf (n2) + f (n1)= k 3 a n-3 + k 2 f (n3) + kf (n2) + f (n1)= = k n-1 a 1 + k n-2 f (1) + k n-3 f (2) + +kf (n2) + f (n1)方法2（累加法） a n+1 = kan + f (n)， a n = k a n-1 + f (n1)， a nk a n-1 = f (n1)，k a n-1k 2 a n-2= kf (n2)，k 2 a n-2k 3 a n-3= k2 f (n3)，k n-3a 3k n-2a 2= k n-3f (2)，k n-2a 2k n-1a 1= k n-2f (1)故a n= k n-1 a 1 + k n-2 f (1) + k n-3 f (2) + kf (n2) + f (n1)点评 事实上，等差或等比数列的通项公式均可用上述三种方法推证得到，这也是三种方法的教材背景它们的求解过程就是把递推关系式像“链条”一样，按n, n1, n2，3, 2, 1，把a n逐次“拉开”，层层迭代这种方法我们称为迭代法这种解题方法的基础是递推的思想方法普通高中数学课程标准第85页指出：“迭代法是解决问题的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代法的意义至此，形如a n+1 = an + f (n) 的数列，可用迭代法、累加法求通项；形如a n+1 = an f (n) 的数列，也可用迭代法、累乘法求通项二、转换与化归的思想方法是高考考查重点，也是递推数列求通项公式的通法之二例3 设p、q为实数，、是方程x2px + q = 0的两个实根，数列x n满足x1 = p，x2 = p2q，x n = px n-1qx n-2 (n = 3, 4, )（1）证明： + = p， = q；（2）求数列x n的通项公式解 （1）易知 + = p， = q；（2）从而x n = px n-1qx n-2 可写成x n = ( + ) x n-1 x n-2 (n = 3, 4, ) x nx n-1 = (x n-1x n-2) (n = 3, 4, ) 令y n = x nx n-1 (n = 2, 3, )，则由得y n = y n-1 (n = 3, 4, ) 又y 2 = x 2x1 = p2qp = 2， 数列y n是以y 2 = 2为首项，为公比的等比数列， y n = y 2 n-2 = 2 n-2 = n (n3).故当n3时，x n = x n-1 + y n = x n-1 + n = (x n-2 + n-1 ) + n = 2 x n-2 + n-1+ n = = n-2 x 2 + ( n-3 3 + n- 4 4 + + n-1 + n).而x 1 = + ，x 2 = ( + )2 = 2 + + 2，所以，当n3时，x n = n + n-1 + n-2 2 + + n-1 + n，故当n1时，都有x n = n + n-1 + n-2 2 + + n-1 + n，故x n = ( ) ( n + 1) n ( = )点评 本解法经历了以下几个转化：通过拆分 式转化为 ，运用换元 转化为 ，求得y n又转化为 ，运用 式用迭代法通过等比数列求和，求得数列x n的通项公式，从中可以领会和揣摸命题人的真正意图是以数列知识为载体，考查学生的化归能力，即用最基本的等比数列知识解决复杂的数列问题可能，老师们会问：学生想不到由 转化为 式，更看不出 式表明数列x nax n-1是等比数列？笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈的目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法如，与等比数列递推关系 = q“类似结构”的有：（1）a n+1 = (1) (a n+2)a n+1 = (1) (a n) +a n+1= (1) (a n)a n是等比数列；（2）a n=a n = a n-1 +1a n =（1a n-1) 1a n 是等比数列；（3）a n+1 =a n +1a n+1+=(a n +) a n +是等比数列；（4）a n= 4a n-1 + 2na n+2n = 4 (a n-1+ 2 n-1) a n + 2n 是等比数列；（5）a n+2 = 3a n+12a na n+2a n+1 = 2 (a n+1a n)=2 a n+1a n是等比数列a n+1a n= (a2a 1) 2 n-1再用迭代法或累加法求解（6）例3中， 式当n3时，x n= x n-1 + y n = x n-1 +n=+ a n = a n-1 + f (n) 再用迭代法或累加法求解与等差数列递推关系n+1n = d“类似结构”的有：（1）2a n = a n-1 + () n-12n an = 2 n-1a n-1 + 1b n = b n-1 +1 b n 是等差数列（2）a n+1 = a n+n+1+ (2) 2 n =+1() n+1=() n +1() n 是等差数列；（3）a n+1 + 2an a n+1a n= 0an= a n+1(1+2an)a n+1=+1= 2是等差数列等；特别地，构造常数列的训练也应引起高度重视近几年全国及各省市的高考数列题（递推数列求通项公式），若能巧妙构造出常数数列，可大大简化解题进程（1）a n+1 = (1+) a n + =+ +=+ +是常数列+=+（2）a n+2 =a n+2 +a n+1 = a n+1 +a n a n+1 +a n 是常数列a n+1 +a n= a2 +a 1；（3）a n+1 = an +2 na n+12 n+1= an2 n an2 n 是常数列 an2 n = an2 1；（4）a n+1 = pan+ q ( p 0, 1 ) a n+1+ = p (a n+) = 为常数列= ；（其中 =）（5）a n+1 = pan+ f (n) ( p 0)=+，如果= b n+1b n，则b n+1=b nb n 是常数列等等可见，这里的转化化归有两个方向：一是向等差（比）数列转化；二是向简单的递推关系转化；如a n = a n-1 + f (n)等普通高中数学课程标准第35页指出“能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”可见，让学生运用已有的等差、等比数列知识去解决新的数列问题是课程标准的要求，也是高考“能力立意”的要求，应引起师生的重视三、观察归纳猜想证明是递推数列求通项公式的最朴素的方法，是通法之三例4 设a n是首项为1的正项数列，且 (n + 1)n + a n+1 a n = 0，（n = 1, 2, 3,），则它的通项公式a n = 思路1 （转化1）将关系式分解因式得：(n+1) a n+1nan (a n+1 + an) = 0，a n+1 + an 0(n+1) a n+1 = nan ( * )即数列nan是常数数列，又a1 = 1，nan = 1，故所求通项公式为an