追及与相遇问题.ppt

追及与相遇问题 1 追及与相遇问题的实质 2 理清三大关系 两者速度相等 它往往是物体间能否追上或 两者 距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题 位移关系 速度关系 时间关系 3 巧用一个条件 1 速度小者追速度大者 2 速度大者追速度小者 说明 表中的 x是开始追及以后 后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移 x0是开始追及以前两物体之间的距离 t2 t0 t0 t1 v1是前面物体的速度 v2是后面物体的速度 1 在解决追及相遇类问题时 要紧抓 一图三式 即 过程示意图 时间关系式 速度关系式和位移关系式 另外还要注意最后对解的讨论分析 2 分析追及 相遇类问题时 要注意抓住题目中的关键字眼 充分挖掘题目中的隐含条件 如 刚好 恰好 最多 至少 等 往往对应一个临界状态 满足相应的临界条件 解题思路 分析两物体运动过程 画运动示意图 找两物体的关系式 列方程求解 例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 试求 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 分析 汽车追上自行车之前 v汽v自时 x变小 解法一物理分析法 两者速度相等时 两车相距最远 速度关系 v汽 at v自 t v自 a 6 3 2s x v自t at2 2 6 2 3 22 2 6m 解法二用图象求解 1 自行车和汽车的v t图象如图 由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小 所以由图上可以看出 在相遇之前 在t时刻两车速度相等时 自行车的位移 矩形面积 与汽车位移 三角形面积 之差 即斜线部分 达最大 所以 t v自 a 6 3 2s 2 由图可看出 在t时刻以后 由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时 两车的位移相等 即相遇 所以由图得相遇时 t 2t 4sv 2v自 12m s 2 什么时候汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少 解 汽车追上自行车时 二车位移相等 位移关系 则vt at 2 2 6 t at 2 2 t 4s v at 3 4 12m s 思考 若自行车超过汽车2s后 汽车才开始加速 那么 前面的1 2两问如何 例2 A火车以v1 20m s速度匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2 10m s速度与A火车同方向匀速行驶 A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动 要使两车不相撞 a应满足什么条件 两车恰不相撞的条件是 两车速度相同时相遇 由A B速度关系 由A B位移关系 方法一 物理分析法 方法二 图象法 以B车为参照物 A车的初速度为v0 10m s 以加速度大小a减速 行驶x 100m后 停下 末速度为vt 0 以B为参照物 公式中的各个量都应是相对于B的物理量 注意物理量的正负号 方法三 相对运动法 例3 一车从静止开始以1m s2的加速度前进 车后相距x0为25m处 某人同时开始以6m s的速度匀速追车 能否追上 如追不上 求人 车间的最小距离 一 数学分析法 依题意 人与车运动的时间相等 设为t 当人追上车时 两者之间的位移关系为 x车 x0 x人 即 at2 2 x0 v人t 由此方程求解t 若有解 则可追上 若无解 则不能追上 代入数据并整理得 t2 12t 50 0 b2 4ac 122 4 50 1 56 0 所以 人追不上车 二 物理分析法在刚开始追车时 由于人的速度大于车的速度 因此人车间的距离逐渐减小 当车速大于人的速度时 人车间的距离逐渐增大 因此 当人车速度相等时 两者间距离最小 at v人t 6s 在这段时间里 人 车的位移分别为 x人 v人t 6 6 36m x车 at 2 2 1 62 2 18m x x0 x车 x人 25 18 36 7m 二 数学分析法 s 1 2 1 t2 25 6t 1 2 1 t2 6t 25 14 0 s t 例4 在平直公路上有两辆汽车A B平行同向行驶 A车以vA 4m s的速度做匀速直线运动 B车以vB 10m s的速度做匀速直线运动 当B车行驶到A车前x 7m处时关闭发动机以2m s2的加速度做匀减速直线运动 则从此时开始A车经多长时间可追上B车 分析 画出运动的示意图如图所示 A车追上B车可能有两种不同情况 B车停止前被追及和B车停止后被追及 究竟是哪一种情况 应根据解答结果 由实际情况判断 解答 设经时间t追上 依题意 vBt at2 2 x vAt 10t t2 7 4t t 7st 1s 舍去 B车刹车的时间t vB a 5s 显然 B车停止后A再追上B B车刹车的位移xB vB2 2a 102 4 25m A车的总位移xA xB x 32m t xA vA 32 4 8s 思考 若将题中的7m改为3m 结果如何 答 甲车停止前被追及 错解 4t 7 10t 2t2 t 1 舍 t 7 例5 汽车正以10m s的速度在平直公路上做匀速直线运动 突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m s的速度同方向做匀速直线运动 汽车立即关闭油门 做加速度为6m s2的匀减速运动 问 汽车能否撞上自行车 若汽车不能撞上自行车 汽车与自行车间的最近距离为多少 汽车在关闭油门减速后的一段时间内 其速度大于自行车速度 因此 汽车和自行车之间的距离在不断的缩小 当这距离缩小到零时 若汽车的速度减至与自行车相同 则能满足汽车恰好不碰上自行车 分析 画出运动的示意图如图所示 物理分析法解 1 汽车速度减到4m s时运动的时间和发生的位移分别为t v自 v汽 a 4 10 6 s 1sx汽 v自2 v汽2 2a 16 100 12 7m这段时间内自行车发生的位移x自 v自t 4m因为x0 x自 x汽所以 汽车不能撞上自行车 汽车与自行车间的最近距离为 x x0 x自 x汽 10 4 7 m 7m 数学分析法 x x0 x自 x汽 10 4t 10t 1 2 6t2 3t2 6t 10 84 0 无解不相遇 s t 典例二 追及类问题 例2 摩托车先由静止开始以25 16m s2的加速度做匀加速运动 后以最大行驶速度25m s匀速运动 追赶前方以15m s的速度同向匀速行驶的卡车 已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000m 则 1 追上卡车前二者相隔的最大距离是多少 2 摩托车经过多少时间才能追上卡车 解析 1 对摩托车由静止开始匀加速至vm 25m s 用时t1 vm a 16s 发生位移x1 vm2 2a 200m 显然未追上卡车 则追上卡车前二者共速时 间距最大 如图所示 即x x0 x卡 x摩 x摩 v2 2a x卡 v v a 由 联立得x 1072m 1 通过运动的分析 找隐含条件2 利用二次函数求极值的方法3 因追及相遇问题至少涉及两个物体的运动问题 对描述它们的物理量必须选同一参考系 基本思路是 分别对两物体研究 画出运动过程示意图 列出方程 找出时间关系 解出结果 必要时进行讨论 2 追上时 由运动情景图 如图所示 分析可知 x摩 x卡 x0vm2 2a vm t t1 x0 vt解得t 120s 答案 1 1072m 2 120s A B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶 当B车在A车前84m处时 B车速度为4m s 且正以2m s2的加速度做匀加速运动 经过一段时间后 B车加速度突然变为零 A车一直以20m s的速度做匀速运动 经过12s后两车相遇 问B车加速行驶的时间是多少 答案 6s 典例三 用图象求解追及问题 例3 甲 乙两车在公路上沿同一方向做直线运动 它们的v t图象如图所示 两图象在t t1时相交于P点 P在横轴上的投影为Q OPQ的 面积 为S 在t 0时刻 乙车在甲车前面 相距为d 已知此后两车相遇两次 且第一次相遇的时刻为t 则下面四组t 和d的组合可能是 A t t1 d SB t 1 2 t1 d 1 4 SC t 1 2 t1 d 1 2 SD t 1 2 t1 d 3 4 S D 解析 甲做匀速运动 乙做匀加速运动 速度越来越大 甲 乙同时异地运动 当t t1时 乙的位移为S 甲的位移为2S且v甲 v乙 若两者第一次相遇在t t1时 则由d S 2S可得d S 不过不会出现第二次相遇 所以A错误 若两者第一次相遇在t 1 2 t1时 乙的位移为 1 4 S 甲的位移为S 由d 1 4 S S可得d 3 4 S 所以D正确 B C错误 1 v t图象中 由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的 面积 表示 因此可以根据 面积 判断物体是否相遇 还可以根据 面积 差判断物体间距离的变化 2 用图象法求解运动学问题形象 直观 利用运动