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函数的极值与导数 宁国中学高莹 f x 0 f x 0 1 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内f x 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 一 知识回顾 如果在某个区间内恒有 则为常数 三 例题选讲 例1 求y x3 3 4x 4的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 四 探索思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 一般地 求函数y f x 的极值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 解方程f x 0 当f x 0时 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 例3 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 2 若 函数f x 图象上的任意一点的切线斜率为k 试讨论k 1成立的充要条件 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 2 等价于当时 3x2 2ax 1恒成立 即g x 3x2 2ax 1 0对一切恒成立 由于g 0 1 0 故只需g 1 2 2a 0 即a 1 反之 当a 1时 g x 0对一切恒成立 所以 a 1是k 1成立的充要条件 练习1 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1
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