点、线对称问题

点 线对称问题 对称问题 中心对称问题 点关于点的对称 线关于点的对称 轴对称问题 点关于线的对称 线关于线的对称 例1 已知点A 5 8 B 4 1 试求A点关于B点的对称点C的坐标 一 点关于点对称 解题要点 中点公式的运用 A x0 y0 P a b 一般地 点A x0 y0 关于点P a b 的对称点是 2a x0 2b y0 练1 点A 6 3 关于点P 1 2 的对称点A 的坐标是 4 1 练2 过点P 1 3 与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程 分析 用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为 即3x y 6 0 例2 求直线l1 3x y 4 0关于点P 2 1 对称的直线l2的方程 二 直线关于点对称 法一 在l1上找两个特殊点 求出各点关于P的对称点 再求出l2方程 l2 M P m n M l1 N N 法二 l2上的任意一点的对称点在l1上 f x y 0 M x y P m n M 2m x 2n y f 2m x 2n y 0 法三 l1 l2且P到两直线等距 P m n l2 l1 d2 d1 例3 已知点M的坐标为 4 4 直线l的方程为3x y 2 0 求点M关于直线l的对称点M 的坐标 三 点关于直线对称 M x1 y1 M x y l P 练习4 求点A 1 3 关于直线l x y 1 0的对称点B 几种特殊的对称 点P x y 关于下列点或线的对称点分别为 关于直线x m p x y p x y p x y p y x p y x p 2m x y P x y 关于原点 关于x轴 关于y轴 关于直线y x 关于直线y x 关于直线y n p x 2n y 练习5 已知点A 4 6 则 1 A关于x轴的对称点A 坐标是 2 A关于y轴的对称点A 坐标是 3 A关于直线y x轴的对称点A 坐标是 6 4 4 6 4 6 例4 试求直线l1 x y 2 0关于直线l2 3x y 3 0对称的直线l的方程 四 直线关于直线对称 解题要点 由线关于线对称转化为点关于线对称 思考 若l1 l2 如何求l1关于l2的对称直线方程 C1 l C2 M x y 设直线则l关于原点对称的直线是 l关于x轴对称的直线是 l关于y轴对称的直线是 l关于y x对称的直线是 l关于y x对称的直线是 l关于x a对称的直线是 直线f x y 0关于下列点或直线对称的直线方程分别为 几种特殊的对称 五 角分线问题 例 已知 ABC的顶点A 4 1 B 4 5 角B的内角平分线BE所在直线的方程为 求BC边所在直线方程 B 4 5 A 4 1 M 0 3 x y O E 变式 ABC的一个顶点是A 3 1 B C的内角平分线所在的直线方程分别为x 0和y x 求顶点B C坐标 x y O A 3 1 A1 3 1 A2 1 3 B 0 5 C 5 5 例2 一条光线经过点P 2 3 射到直线x y 1 0上 反射后 穿过点Q 1 1 求光线的入射线和反射线的方程 x y O 六 光线的问题 例3 光线从点P 3 4 射出 到达x轴上的点Q后 被x轴反射到y轴上的点M 又被y轴反射 这时反射光线恰好经过点D 1 6 求QM所在直线方程 x O y 练习6 例4 已知x y满足x y 0 求的最小值 七 解决求最值的有关问题 3 在x轴上找点P 使它到点A 1 3 B 3 1 的距离最小 并求最小距离 一 点关于点对称