1.5.3反证法和放缩法.ppt

一数学归纳法 学习目标 1 了解数学归纳法的原理 2 了解数学归纳法的使用范围 3 会用数学归纳法证明一些简单问题 知识链接 1 在用数学归纳法证明数学命题时 只有第一步或只有第二步可以吗 为什么 提示不可以 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 而缺少步骤 就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠步骤 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样 只有步骤 而缺少步骤 时 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 也就没有意义了 2 利用数学归纳法时 第二步为什么必须利用归纳假设 提示第二步实际上是证明一个条件命题 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 其本质是证明一个递推关系 若不用归纳假设 就是没有证明这种递推关系 所以归纳假设是必须要用的 假设是起桥梁作用的 桥梁断了就通不过去了 预习导引 1 由有限多个个别的特殊事例得出 的推理方法 通常称为 2 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当 时命题成立 2 假设当 时命题成立 证明 时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确 这种证明方法称为数学归纳法 一般结论 归纳法 n取初始值n0 n k n k 1 要点一用数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明 1 22 2 32 3 42 4 52 2n 1 2n 2 2n 2n 1 2 n n 1 4n 3 证明 1 当n 1时 左式 1 22 2 32 14 右式 1 2 7 14 等式成立 规律方法利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点 一是要准确表述当n n0时命题的形式 二是要准确把握由n k到n k 1时 命题结构的变化特点 并且一定要记住 在证明当n k 1成立时 必须使用归纳假设 跟踪演练1用数学归纳法证明 12 22 32 42 2n 1 2 2n 2 n 2n 1 规律方法利用数学归纳法证明整除时 关键是整理出除数因式与商数因式积的形式 这往往要涉及 添项 与 减项 因式分解 等变形技巧 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得证 跟踪演练2已知f n 2n 7 3n 9 是否存在自然数m 使得对任意n N 都能使m整除f n 如果存在 求出最大的m值 并证明你的结论 若不存在 说明理由 要点三用数学归纳法证明几何命题例3有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 n N 规律方法对于几何问题的证明 可以从有限情形中归纳出一个变化的过程 或者说体会出是怎样变化的 然后再去证明 也可以用 递推 的办法 比如说本题 n k 1时的结果已知道 f k 1 k 1 2 k 1 2 用f k 1 f x 就可得到增加的部分 然后从有限的情况来理解如何增加的 也就好理解了 1 用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点 一是准确表述n n0时命题的形式 二是准确把握由n k到n k 1时 命题结构的变化特点 2 应用数学归纳法时的注意问题 1 第一步中的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证n 2 n 3 2 对n k 1时式子的项数以及n k与n k 1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 假设n k时命题成立 利用这一假设证明n k 1时命题成立 这是应用数学归纳法证明问题的核心环节 对待这一推导过程决不可含糊不清 推导的步骤要完整 严谨 规范 3 判断利用数学归纳法证明问题是否正确 1 是要看有无归纳基础 2 是证明n k 1时是否应用了归纳假设 4 与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明 其中关键问题是从n k 1时的表达式中分解出n k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式这样才能得结论成立 解析在n k 1时 没用n k时的假设 不是数学归纳法 从n k到n k 1的推理不正确 答案D 解析34 k 1 1 52 k 1 1 34 34k 1 52 52k 1 56 25 34k 1 52 52k 1 56 34k 1 25 34