选修4-5---不等式选讲.ppt

归纳 知识整合 1 绝对值不等式的解法 1 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 2 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合思想 c ax b c ax b c或ax b c 法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论思想 法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 探究 1 解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么 提示 关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值 2 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b a b 当且仅当时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当时 等号成立 探究 2 绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么 提示 当a b不共线时 a b a b 它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边 ab 0 a b b c 0 自测 牛刀小试 1 求不等式 2x 1 3的解集 解 2x 1 3等价于2x 1 3或2x 1 3 解得x 2或x 1 所以解集为 1 2 2 已知函数f x x 2 x 1 求f x 的值域 4 已知关于x的不等式 x 1 x k无解 求实数k的取值范围 解 x 1 x x 1 x 1 当k 1时 不等式 x 1 x k无解 故k 1 5 如果关于x的不等式 x a x 4 1的解集是全体实数 求实数a的取值范围 解 在数轴上 结合实数绝对值的几何意义可知a 5或a 3 绝对值不等式性质的应用 例1 确定 x a m且 y a m 是 x y 2m x y a m R 的什么条件 自主解答 x y x a y a x a y a m m 2m x a m且 y a m是 x y 2m的充分条件 取x 3 y 1 a 2 m 2 5 则有 x y 2 5 2m 但 x a 5 不满足 x a m 2 5 故 x a m且 y a m不是 x y 2m的必要条件 故为充分不必要条件 两数和与差的绝对值不等式的性质 a b a b a b 1 对绝对值三角不等式定理 a b a b a b 中等号成立的条件要深刻理解 特别是用此定理求函数的最值时 2 该定理可强化为 a b a b a b 它经常用于证明含绝对值的不等式 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的解法 1 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 2 用图象法 数形结合可以求解含有绝对值的不等式 使得代数问题几何化 既通俗易懂 又简洁直观 是一种较好的方法 3 2011 辽宁高考 已知函数f x x 2 x 5 1 证明 3 f x 3 2 求不等式f x x2 8x 15的解集 形如 x a x b c 或 c 型的不等式主要有如下解法 1 零点分段讨论法 利用绝对值号内式子对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此处设ac c 0 的几何意义 数轴上到点x1 a和x2 b的距离之和大于c的点的集合 3 图象法 作出函数y1 x a x b 和y2 c的图象 结合图象求解 创新交汇 含参数的绝对值不等式的恒成立问题 1 含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一 此类问题常与二次函数 对数函数 三角函数结合命题 需要有一定的综合知识的能力 2 解答此类问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后利用数形结合解决 是常用的思想方法 1 本题有以下创新点把绝对值不等式与集合 函数知识 恒成立问题紧密结合起来研究 尽管难度不大 但需要有一定的知识综合能力 2 解决本题的关键点解答本题的关键点 1 先求解不等式 ax 1 3 并将解集与已知解集对照求出a的值 2 利用零点分段讨论去掉绝对值 将问题转化为恒成立问题 3 在解决恒成立问题时应注意C f x 恒成立 C f x max C f x 恒成立 C f x min 1 2012 陕西高考改编 若存在实数x使 x a x 1 3成立 求实数a的取值范围 解 x a x 1 a 1 则只需要 a 1 3 解得 2 a 4 2 2012 苏北四市调研 已知函数f x x 1 x 2 若不等式 a b a b a f x 对a b R 且a 0恒成立 求实数x的范围 演练知能检测 见 限时集训 七十五 归纳 知识整合 1 比较法作差比较法与作商比较法的基本原理 a b 1 2 综合法与分析法 推理论证 充分条件 执果索因 自测 牛刀小试 4 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 故3a3 2b3 3a2b 2ab2成立 比较法证明不等式 作差比较法证明不等式的步骤 1 作差 2 变形 3 判断差的符号 4 下结论 其中 变形 是关键 通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式 再结合不等式的性质判断出差的正负 用分析法和综合法证明不等式 分析综合法分析法与综合法常常结合起来使用 称为分析综合法 其实质是既充分利用已知条件 又时刻瞄准解题目标 即不仅要搞清已知什么 还要明确干什么 通