辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学模拟试卷(理科)含解析.doc

2015年辽宁高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015沈阳模拟）已知全集U=R，A=x|x|2，B=x|x24x+30，则A（UB）等于（） A x|1x3 B x|2x1 C x|1x2 D x|2x3【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可【解析】： 解：由A中不等式解得：2x2，即A=x|2x2，由B中不等式变形得：（x1）（x3）0，解得：x1或x3，即B=x|x1或x3，UB=x|1x3，则A（UB）=x|1x2，故选：C【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）（2015沈阳模拟）设a，b为实数，则“ab0是”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 推理和证明【分析】： 根据：若则=0，ab0或0ab；由充分必要条件的定义可判断【解析】： 解：若ab0，则=0，即出成立若则=0，ab0或0ab所以“ab0是”的充分不必要条件故选：A【点评】： 本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法3（5分）（2015沈阳模拟）函数f（x）=lnx+x39的零点所在的区间为（） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【考点】： 函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数f（x）在（0，+）上是增函数，f（2）0，f（3）0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点【解析】： 解：由于函数f（x）=lnx+x39在（0，+）上是增函数，f（2）=ln210，f（3）=ln30，故函数f（x）=lnx+x39在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C【点评】： 本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题4（5分）（2009辽宁）设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=（） A 2 B C D 3【考点】： 等比数列的前n项和【分析】： 首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解析】： 解：设公比为q，则=1+q3=3，所以q3=2，所以=故选B【点评】： 本题考查等比数列前n项和公式5（5分）（2012山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当3x1时，f（x）=（x+2）2，当1x3时，f（x）=x则f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（） A 335 B 338 C 1678 D 2012【考点】： 函数的周期性；函数的值【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案【解析】： 解：f（x+6）=f（x），f（x）是以6为周期的函数，又当1x3时，f（x）=x，f（1）+f（2）=1+2=3，f（1）=1=f（5），f（0）=0=f（6）；当3x1时，f（x）=（x+2）2，f（3）=f（3）=（3+2）2=1，f（4）=f（2）=（2+2）2=0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+21+0+（1）+0=1，f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=f（1）+f（2）+f（3）+f（2010）+f（2011）+f（2012）=3351+f（1）+f（2）=338故选：B【点评】： 本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题6（5分）（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=在区间（，+）上是增函数，则常数a的取值范围是（） A （1，2） B （，12，+） C 1，2 D （，1）（2，+）【考点】： 函数单调性的性质【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R上递增，则有0203+a23a+2，解得即可【解析】： 解：由于f（x）=，且f（x）在区间（，+）上是增函数，则当x0时，y=x2显然递增；当x0时，y=x3+a23a+2的导数为y=3x20，则递增；由f（x）在R上单调递增，则0203+a23a+2，即为a23a+20，解得，1a2故选C【点评】： 本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的解法，属于基础题和易错题7（5分）（2015沈阳模拟）已知函数，则不等式f（x2）+f（x24）0的解集为（） A （1，6） B （6，1） C （2，3） D （3，2）【考点】： 其他不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式【解析】： 解：由题意可知f（x）的定义域为Rf（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数又f（x）=，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，f（x2）+f（x24）0可化为f（x2）f（x24）即f（x2）f（4x2），可得x24x2，即x2+x60，解得3x2，故选D【点评】： 本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题8（5分）（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（） A 关于点（，0）对称 B 关于直线x=对称 C 关于点（，0）对称 D 关于直线x=对称【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由周期求出=2，故函数f（x）=sin（2x+），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x+是奇函数，可得=，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性【解析】： 解：由题意可得=，解得=2，故函数f（x）=sin（2x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x）+=sin（2x+是奇函数，又|，故=，故函数f（x）=sin（2x），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x） 关于直线x=对称，故选：D【点评】： 本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题9（5分）（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2014的值为（） A B C D 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 可得f（1）=2+b=3，解得b=1，进而可得f（x），然后由裂项相消法求和可得【解析】： 解：函数的导数f（x）=2x+b，点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，f（1）=2+b=3，解得b=1f（x）=x2+x=x（x+1），=，S2014=（1）+（）+（）+（）=1=故选C【点评】： 本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题10（5分）（2015沈阳模拟）下列四个图中，函数y=的图象可能是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项【解析】： 解：当x0时，y0，排除A、B两项；当2x1时，y0，排除D项故选：C【点评】： 本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项11（5分）（2015日照一模）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（） A acb B bca C abc D cab【考点】： 导数的运算；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解析】： 解：设h（x）=xf（x），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=2f（2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（ln2）=h（ln2），又2ln2，bca故选：A【点评】： 本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题12（5分）（2015沈阳模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是（） A （0，） B （0，） C （0，） D （0，）【考点】： 函数零点的判定定理【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由题意可得函数f（x）的周期为2，当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）f（2），求得a的取值范围【解析】： 解：f（x+2）=f（x）f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=1可得f（1+2）=f（1）f（1），又f（1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的偶函数当x2，3时，f（x）=2x2+12x18=2（x3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点作出函数的图象，如图所示，f（x）0，g（x）0，可得0a1要使函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则有g（2）f（2），即 loga（2+1）f（2）=2，loga32，3，解得a又a0，0a，故选：B【点评】： 本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）（2015沈阳模拟）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则的最小值为【考点】： 简单线性规划；基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a0，b0）得y=，则直线的斜率k=0，截距最大时，z也最大平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，6），此时z=4a+6b=6，即，=（）（）=，当且仅当，即a=时取等号，此时b=，a=3时取等号故答案为：【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点14（5分）（2008江苏）f（x）=ax33x+1对于x1，1总有f（x）0成立，则a=4【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：x=0，x0，x0等三种情形当x=0时，不论a取何值，f（x）0都成立；当x0时有a，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使ag（x）max，同理可得x0时的a的范围，从而可得a的值【解析】： 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）0都成立；当x0，即x（0，1时，f（x）=ax33x+10可化为：a设g（x）=，则g（x）=，所以g（x）在区间（0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a4；当x0，即x1，0）时，f（x）=ax33x+10可化为：a，g（x）=在区间1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（1）=4，从而a4，综上a=4答案为：4【点评】： 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答15（5分）（2015沈阳模拟）在AOB中，G为AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且AOB=60若=6，则|的最小值是2【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】： 设AB的中点为C，则点G在OC上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值【解析】： 解：设AB的中点为C，则点G在OC上，且=（+），=|cos60=6，|=12则|=（|+|=2，当且仅当|=|时，等号成立，故|的最小值是2，故答案为：2【点评】： 本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题16（5分）（2015沈阳模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心”请你根据这一发现，函数f（x）=x33x2+3x+1对称中心为（1，2）【考点】： 导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x33x2+3x+1对称中心【解析】： 解：（1）函数f（x）=x33x2+3x+1，f（x）=3x2 6x+3，f（x）=6x6令 f（x）=6x6=0，解得 x=1，且f（1）=2，故函数f（x）=x33x2+3x对称中心为（1，2），故答案为 （1，2）【点评】： 本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题三解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx+sin2x（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；（2）写出f（x）的单调区间【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （1）化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值和此时x的值；（2）由和分别可解得函数的单调递增和单调递减区间【解析】： 解：（1）化简可得=sin2x+cos2x+2=f（x）的最大值为，此时2x+=2k+，解得；（2）由可解得；f（x）单调增区间为：；由可解得f（x）单调减区间为：【点评】： 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题18（12分）（2015沈阳模拟）已知f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x（0）的最小正周期为T=（1）求f（）的值；（2）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2ac）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【专题】： 三角函数的求值【分析】： （1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=，求的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（）的值（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A的范围，继而求出f（A）的范围【解析】： 解：（1）f（x）=sin（+x）sin（x）cos2x，=sinxcosxcos2x，=sin2xcos2x，=sin（2x）函数f（x）的最小正周期为T=即：=，得=1，f（x）=sin（2x），f（）=sin（2）=sin=1， （2）（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理可得：（2sinAsinC）cosB=sinBsinC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosB=，B（0，），B=，A+C=B=，A（0，），2A（，），sin（2A）（，1，f（A）=sin（2A）（1，【点评】： 本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围19（12分）（2015沈阳模拟）数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足b1+S4=0，b9=a1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若cn=，求数列cn的前n项和Wn【考点】： 数列的求和；等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： （1）由an是Sn和1的等差中项，可得Sn=2an1，再写一式，可得数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列an的通项公式，求出等差数列bn的首项与公差，可得bn的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列cn的前n项和Wn【解析】： 解：（1）an是Sn和1的等差中项，Sn=2an1，当n2时，an=SnSn1=（2an1）（2an11）=2an2an1，an=2an1，当n=1时，a1=1，（2分）数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an=2n1（6分）Sn=2n1；设bn的公差为d，b1=S4=15，b9=a1=15+8d=1，d=2，bn=2n17；（8分）（2）cn=（），Wn=（1）+（）+（）=（1）=（14分）【点评】： 本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等20（12分）（2015沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围【考点】： 函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义【专题】： 计算题【分析】： （1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函数的单调递增区间，据题意知m，m+1（，20，+），列出端点的大小，求出m的范围【解析】： 解：（1）f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），a+b=4式 （1分）f（x）=3ax2+2bx，则f（1）=3a+2b（3分）由条件式（5分）由式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f（x）=3x2+6x，令f（x）=3x2+6x0得x0或x2，（8分）函数f（x）在区间m，m+1上单调递增m，m+1（，20，+）m0或m+12m0或m3【点评】： 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为121（12分）（2015沈阳模拟）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若bn=an+logan，Sn=b1+b2+bn，求Sn【考点】： 数列的求和；等比数列的性质【专题】： 综合题；等差数列与等比数列【分析】： （I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列bn的通项公式，然后分组求和，即可得出结论【解析】： 解：（I）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3+2是a2，a4的等差中项2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3