大学物理授课教案第十二章机械振动.doc

第四篇 振动与波动第十二章 机械振动12-1简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使m速率减小，直至物体静止于B（瞬时静止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图12-12、简谐振动运动方程由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）： (12-1)式中： 当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x（相对O点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，加速度为 （为物体质量） 、均大于0，可令 可有： (12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 (12-3)或 (12-4)式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移：速度： (12-5)加速度： (12-6)可知：、曲线如下图12-2图12-3说明：（1）是谐振动的动力学特征；（2）是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。12-2 谐振动的振幅 角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程，现在来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。由上可知： 或 为周期，从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，（余弦函数周期为） 可见：表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率） 对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是时的位相，称为初相。4、的确定对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出、。初始条件：时 由、表达式有 即即 （12-6） （12-7）值所在象限：1），：在第象限2），：在第象限3），：在第象限4），：在第象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4任意时刻二者位相差为：2的位相比1超前：2、1同位相：2的位相比1落后例12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，试求下列情况下的振动方程。（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。解：（1）的运动方程为由题意知：初始条件：时，可得： 图12-5 ， 2） 初始条件：时， 可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由转动定律： 有 图12-6 即 很小。 这是谐振动的微分方程（或与正比反向）小球在做谐振动。（2）（注意做谐振动时条件，即很小）12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自ox轴的原点o作一矢量，其模为简谐振动的振幅，并使在图面内绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率，矢量称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图12-7（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动曲线的对应关系（设） 图12-8三、旋转矢量法应用举例例12-3： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为由题意知 方法一用数学公式求, 方法二用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果 图12-9由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求由题意有： （） 或 此时 设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，有： 或 （） 方法二用旋转矢量法求由题意知，有左图所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻 末端位置。从内转角为 显然方法二简单。 图12-10例12-4：图为某质点做谐振动的曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为由图知： 图12-11用旋转矢量法（见上页图）可知， （或 ） 例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。 图12-1212-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）已知： 物体位移 物体速度 （11-8）说明：（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2）与互相转化。当时，。在处，。例12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。试求的位置。解：设弹簧的倔强系数为，系统总能量为在时，有 例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为（此时）不致从上滑落时，须有 图12-13极限情况 即 12-5 同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。是两振动的角频率。由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即为简单起见，用旋转矢量法求分振动。 图12-14 图12-15如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。、以相同角速度转动，转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。任意时刻，矢端在x轴上的投影为：因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，为合振动振幅，为合振动初相。合振动方程为：（仍为谐振动）由图中三角形知： （12-9） 由图中三角形知： （12-10）讨论：（1） 时（称为位相相同） （2） 时（称为位相