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三多面体和旋转体的体积 2 7体积的概念与公理 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 同读量长度 面积一样 要度量一个几何体的体积 首先要选取一个单位体积作为标准 然后求出几何体的体积的体积是单位体积的多少倍 这个倍数就是这个几何体的体积的数值 公理5长方体的体积等于它的长 宽 高的积 推论1长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 推论1正方体的体积等于它的棱长的立方 从公理5 可以直接得到下面的推论 注 ab s h s 注 a b c 公理6夹在两个平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 夹在平行平面 之间的两个形状不同的几何体 被平行于平面 的任意一个平面所截 如果截面P和Q的面积相等 那么它们的体积一定相等 例如 取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上 将它如图那样改变一下形状 这时高度没有改变 每页纸的面积也没有改变 因而这摞书或纸的体积与变形前相等 Back 2 8棱柱 圆柱的体积 设有底面积都等于S 高都等于h的任意一个棱柱和一个圆柱 取一个与它们底面积相等 高也相等的长方体 使它们的下底面在同一个平面 上 因为它们的上底面和下底面平行 并且高都相等 所以它们的上底面都在和平面 平行的同一个平面内 用和平面 平行的任意平面去截它们时 所得的截面都和它们的底面分别全等 故这些截面的面积都等于S 根据定理6 它们的体积相等 由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积 于是我们得到下面的定理 定理柱体 棱体 圆体 的体积等于它的面积S和高h的积 例1有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5 8kg 已知底面六边形的边长是12mm 高是10mm 内孔直径是10mm 问约有毛坯多少个 铁的比重是7 8g cm3 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差 毛坯的体积 答 这堆毛坯约有250个 Back 2 9棱锥 圆锥的体积 C 取任意两个锥体 设它们的底面面积都是S 高都是H 把这两个锥体放在同一个平面 上 这时它们的顶点都在和平面 平行的同一个平面内 用平行于平面 的任意平面去截它们 截面分别与底面相似 设截面与顶点的距离是h1 截面面积分别是S1 S2 那么 根据公理6 这两的锥体的体积相等 及三棱锥的体积公式 由此我们可以得到下面的定理 定理等面积等高的两的锥体的体积相等 定理如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积S 高是h 那么它的体积是 Back 1 用棱长为1的正方体的体积作为体积单位右图长方体的体积的数值为36 假如将体积单位改用棱长为2的正方体的体积 这个长方体的体积变为多少 为什么 解 原来以1为一个单位 现在以2为一个单位 故 这个长方体的体积是4 5 2 已知长方体形的铜块长 宽 高分别是2cm 4cm 8cm 将它们融化后铸成一个正方体形的铜块 求铸成的铜块的棱长 不计损耗 解 由柱体体积公式有 不计损耗 所
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