复变函数与积分变换结业论文.doc

精品文档基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内 容 摘 要：复变函数与积分变量这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。关键字：复变函数 积分变量 matlab语句 运算结果目 录1 matlab在复常数中的应用31.1 Matlab中对单个复常数的简单运算31.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算41.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算62.利用matlab对函数进行泰勒级数展开73 matlab在留数和积分中的应用73.1利用matlab计算复变函数的留数73.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分84 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换94.1 利用matlab对信号做傅里叶变换94.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换105 利用matlab绘制复变函数111 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。【1】例如生成复常数3+4i,和2e4i,具体语句如下:A=3+4*i,2*exp(i*4)。此外，还可以对单个复常数进行取模、去幅角、求共轭复数运算，调用形式如下，取模：abs（x），取幅角：angle（x），求共轭：conj(x)。举例，计算复数z=11+i的模、幅角和共轭复数。解：a=1/(1+i), abs(a), angle(a), conj(a)。1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算在matlab中可以利用一些语句完成对于单个复常数进行幂运算，指数、对数运算，三角运算。对复数进行幂运算的语句为xn，结果便返回x的n次幂；对复数进行指数运算、对数运算的语句为exp(x),log(x)，结果便返回x以e为底的指数和对数。并且，利用语句sin(x),cos(x)可以直接得出x的正弦、余弦值（求解其他三角函数值的公式见表一）。举例如下：已知复数a=1+i1-i，求a13、ea、loga、cos a。 解：a=(1+i)/(1-i) a(1/3) exp(a) log(a) cos(a)。表一函数名函 数 功 能函数名函 数 功 能返回复数的正弦函数值返回复数的反正弦值返回复数的余弦函数值返回复数的反余弦值返回复数的正切函数值返回复数的反正切值返回复数的余切函数值返回复数的反余切值返回复数的正割函数值返回复数的反正割值返回复数的余割函数值返回复数的反余割值返回复数的双曲正弦值返回复数的双曲余切值返回复数的双曲余弦值返回复数的双曲正割值返回复数的双曲正切值返回复数的双曲余割值1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算在matlab中，两个复数之间的乘法、除法可以通过“*”、“/”来实现。举例如下：已知a=1+3i ，b=22e4i ，计算 a*b , ab 。解：a=1+sqrt(3)*i b=2*sqrt(2)*exp(pi/4*i) a*b a/b。但需要注意的是，（）/5i相当于（）/(5*i)，但不等于（）/5*i。2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开设函数f(z)在区域D内解析，z0为D内一点，R为z0到D的边界上各点的最短距离，则当|z-z0|R时，f(z)可展开为幂级数f(z)=n=0Cn(z-z0)n,其中Cn=1n!fn(z0),n=0,1,2,.研究函数的泰勒级数对于模拟信号与数字信号之间的转化有着非常重要的作用。在平时求解时，利用常见函数的泰勒展开来推导，或者利用逐项积分与逐项求导来展开一般函数为最常见的方法，但这种方法能展开的函数有限，而且需要一定记忆的基础，因此还是存在一些缺点。但是在matlab中，对任意函数做泰勒展开就变得非常容易，需要用到taylor函数，其中taylor(f,z,n)表示返回n-1次幂多项式，taylor(f,z,a)表示返回a点附近的幂多项式近似，taylor(r,x)表示使用独立变量代替函数findsym(f)。3举例，求f(z)=11-z-z2在z=0的邻域内的泰勒展开。解：syms z f=1/(1-z-z2) taylor(f,z,0)3 matlab在留数和积分中的应用3.1利用matlab计算复变函数的留数 根据留数的定义，设Z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在Z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C-1称为f(z)在Z0出的留数，记作Resf(z),z，即Resf(z),z=C-1。【2】 在matlab中利用residue（）函数可以求出任意复变函数的孤立奇点以及在该点处的留数值。格式如下：r,p,k=residueb,a。其中r代表返回函数的留数，p代表返回函数的孤立奇点，k代表返回复变函数中两个多项式比值的部分分式展开的直接项，如果没有重根，则向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R、极点在向量P的位置，直接项返回到向量K。极点的数目。如果，则直接项系数为空；否则。如果存在M重极点即有则展开项包括以下形式有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B和A的多项式比的形式。【4】b代表所要研究的复变函数的分子函数，在输入时可以按照降幂顺序只键入每一项的系数，a代表所要研究的复变函数的分母函数，输入方法与b相同。举例：求下面函数的留数 f(z)=z+2z2-z 。解：r,p,k=residue(1,2,1,-1,0)因此Resf(z),1= 3 Resf(z),0=-2 。3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分根据留数定理，设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,z3,zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么cfzdz=2ik=1nResfz,z 。【2】我们知道，当求得一个复变函数的留数之后，可以利用公式很容易得出复变函数的积分，在matlab中实现过程如下，试计算z=2dzz(z+1)r,p,k=residue(1,1,1,0)可见，在积分区域内函数有两个留数-1和1，因此结果为2*（1-1）=0 。4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换人们在研究问题的时候，为了使问题的性质更清楚，更便于分析问题或者使问题的求解更方便，更便于解决问题，常常采用某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是变换。而对于傅里叶变换，是一种对连续时间函数的积分变换，即通过某种积分运算，把一个函数化为另一个函数，同时还具有对称形式的逆变换，它既能简化计算，如求解微分方程、化卷积为乘积等等，又具有非常特殊的物理意义，因而在许多领域被广泛地应用，而在此基础上发展起来的离散傅里叶变换，在当今数学时代更是显得尤为重要。【2】在matlab中，F=fourier(f)返回以默认独立变量x对符号函数f的Fourier变换，默认返回 的函数。如果 ，则fourier函数返回t的函数F=F(t)。定义F()int(f(x)e-ix,-inf,inf)为对x的积分，F=fourier(f,v)以v代替默认值的Fourier变换，且有fourier(f,v)等价于F(v)=int(f(x)e-ix,-inf,inf)。【5】举例：求函数f(t)=sin t在-到的傅里叶变换。解：t=-pi:0.01:pi;a=sin(t);b=fft(a);subplot(211);plot(t,a);subplot(212);plot(b);4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换傅里叶变换在对信号进行分析时存在局限性，因而人们针对这些不足进行了改进，大体上分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；其二是扩大它本身的适用范围。我们知道，傅里叶变换是建立在傅里叶积分基础上的，一个函数除要满足狄氏条件外，一般说来还要在(-,+)上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶变换，而绝对可积是一个相当强的条件，即使是一些简单的函数（如线性函数、正弦与余弦函数等）都不满足此条件，引入函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅里叶变换，但对于以指数级增长的函数仍无能为力。另外，进行傅里叶变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中，许多以实际那t作为自变量的函数在t0时是无意义的，或者是不需要考虑的，因此在使用傅里叶变换处理问题时，具有一定的局限性。因此，人们定义了拉普拉斯变化：设函数f(t)是定义在0,+上的实值函数，如果对于参数s=+j，积分F(s)=0+f(t)e-stdt在复平面s的某一域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。【2】在matlab中，利用Laplace函数可以很方便的求解一个信号的拉普拉斯变换。定义变量t后，定义关于t的时间函数f(t),利用语句laplace(f)，可以得出所求函数的拉普拉斯变换。举例：试求函数f(t)=sin t *et的拉普拉斯变换。解：syms t;f =sin(t)*exp(t);laplace(f)ans =5 利用matlab绘制复变函数Matlab软件很重要的一个功能便是绘制函数图象，那么复变函数作为一种抽象的函数，能否利用matlab绘制出来呢？我们以函数y=ix2+1为例绘制一下这个函数的图象。解：a=i;b=0;c=1;ymin=input(ymin: );ymax=input(ymax: );x1=0;x2=0;y=0;z1=0;z2=0;r1=0;r2=0;cp=c;for q=ymin:.01:ymaxc=cp-q;if q=yminy(1)=q;r1=(-b+(b2-4*a*c).5)/2/a;r2=(-b-(b2-4*a*c).5)/2/a;x1(1)=real(r1);x2(1)=real(r2);z1(1)=imag(r1);z2(1)=imag(r2);elsey(length(y)+1)=q;r1=(-b+(b2-4*a*c).5)/2/a;r2=(-b-(b2-4*a*c).5)/2/a;x1(length(x1)+1)=real(r1);x2(length(x2)+1)=real(r2);z1(length(z1)+1)=imag(r1);z2(length(z2)+1)=imag(r2);endendplot3(x1,z1,y,b:,LineWidth,2);hold on;plot3(x2,z2,y,b:,LineWidth,2);hold off;xlabel(x);ylabel(z);zlabel(y);grid;【5】总结：复变函数与积分变换这门课程对于后续学习信号处理时具有非同寻常的意义，matlab作为一款强大的数学处理软件，可将复杂的数学问题利用程序语句简单化。将matlab与复变函数与积分变换结合起来，可以更加方便、快捷地解决更多实际中的问题。因此，在今后的研究中，我们要学会更好地利用这两种工具并将它们很好的结合起