陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷.doc

陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|（）x1，B=x|x2，ARB=( )AC（1，2）D（1，22若复数z满足（1+i）z=2i，则|z+i|=( )ABC2D3若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )ABCD4已知命题p：x2+2x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是( )A（，1B（，3C20如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kADkAE=2（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由21已知函数（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m=1，且1ab0时，证明：选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，PAB的平分线AC交O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q（）求证：QCBC=QC2QA2；（）若 AQ=6，AC=5求弦AB的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值【选修4-5：不等式选讲】24已知f（x）=|x+l|+|x2|，g（x）=|x+1|xa|+a（aR）（）解不等式f（x）5；（）若不等式f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围陕西省咸阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|（）x1，B=x|x2，ARB=( )AC（1，2）D（1，2考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可解答：解：由A中的不等式变形得：（）x1=（）0，得到x0，A=B（，3C点评：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题7阅读如图所示的程序框图，则输出的S=( )A14B30C20D55考点：循环结构 专题：计算题；算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i4，计算输出S的值即可解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i4，终止程序，输出S=30，故选：B点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法8在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，则所有数的和为( )A18B17C19D21考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由每列的3个数依次成等差数列及a22=2，可得a12+a22+a32=3a22=6，根据各行成等差数列及等差数列的性质可求得答案解答：解：数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22=2，a12+a22+a32=3a22=6，又每行的3个数依次成等差数列，a11+a12+a13=3a12，a21+a22+a23=3a22，a31+a32+a33=3a32，a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=3a12+3a22+3a32=33a22=18，故选：A点评：本题借助矩阵的形式，实际考查数列的求和、等差数列的运算性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力9如图所示为函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）=0，则f（1）=( )AB2CD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：根据A、B两点之间的距离为5，求得T的值，可得的值，根据f（1）=0，结合的范围求得的值从而求得函数的解析式，从而求得f（1）的值解答：解：A，B两点之间的距离为5，则有：=5，求得T=6，=，f（x）=2sin（x+），f（1）=2sin（+）=0，+=k，kZ，可解得：=k，kZ，=，f（1）=2sin（+）=2=，故选：A点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于基础题10函数f（x）=ln（x）的图象大致是( )ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论解答：解：由x0 得，1x0或x1，即函数的定义域为x|1x0或x1，故A，D错误当x1时，y=x为增函数，f（x）=ln（x）也为增函数，排除C，故选：B点评：本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键11已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为( )AB4CD考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积 专题：球分析：设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积解答：解：设球的半径为R，AH：HB=1：2，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，R2=球的表面积S=4R2=故选：C点评：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理12弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有( )颗A11B4C5D0考点：进行简单的演绎推理 专题：综合题；推理和证明分析：正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，求出前k层的个数，即可得出结论解答：解：依题设第k层正四面体为1+2+k=，则前k层共有（12+22+k2）+（1+2+k）=60k最大为6，剩4，故选B点评：本题考查进行简单的演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，则在方向上的投影为考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：根据向量投影的定义，计算在方向上的投影即可解答：解：向量，在方向上的投影为|cos，=|=故答案为：点评：本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题目14若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为11考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大由得，即A（2，3），此时z=x+3y=2+33=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键15=+考点：微积分基本定理 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出原函数，即可求得定积分解答：解：=+=+故答案为：+点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题16设f（x）=，x=f（x）有唯一解，f（x0）=，f（xn1）=xn，n=1，2，3，则x2015=考点：进行简单的演绎推理 专题：综合题；推理和证明分析：由已知得f（x）=，从而xn=f（xn1）=，=，由此能求出数列是首项为1008，公差等于的等差数列由此能求出结果解答：解：f（x）=，f（x）=x有唯一解，x=，解得x=0或x=2，由题意知2=0，a=，f（x）=，xn=f（xn1）=，=，又x1=f（x0）=，=1008，数列是首项为1008，公差等于的等差数列=1008+=2015，x2015=故答案为：点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积为S=accosB（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且A，求边c的取值范围考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论解答：解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB， 化简得sinB=cosB，即tanB=，又0B，B=（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又A+B=，sin（A）=2sinA，化简可得tanA=，而0A，A=，C=解法2：由余弦定理得，b2=a2+c22accosB=a2+4a22a2=3a2，b=，a：b：c=1：，知A=，C=（2）由正弦定理得，即c=，由C=A，得=+1又由A，知1tanA，故c点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理18已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑色球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列 分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的（3）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B事件A，B相互独立，且取出的4个球均为黑球的概率为P（AB）=P（A）P（B）=（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D事件C，D互斥，且取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=（III）可能的取值为0，1，2，3由（I），（II）得，又，从而P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=的分布列为0123P的数学期望点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力19如图，正方形 ACD E所在的平面与平面 A BC垂直，M是C E和 AD的交点，ACBC，且 AC=BC（）求证：A M平面 E BC；（）求二面角 AE BC的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：几何法：（）由已知得AMEC，ACBC，由此能证明AM平面EBC（）过A作AHEB于H，连结HM，由已知得AHM是二面角AEBC的平面角，由此能求出二面角AEBC的大小向量法：（）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证明AM平面EBC（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角AEBC的大小解答：（本小题满分12分）几何法：（）证明：四边形ACDE是正方形，AMEC，又平面ACDE平面ABC，ACBC，BC平面EAC，BC平面EAC，BCAM，又ECBC=C，AM平面EBC（）解：过A作AHEB于H，连结HM，AM平面EBC，AMEB，EB平面AHM，AHM是二面角AEBC的平面角，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC，EAAB，在RtEAB中，AHEB，有AEAB=EBAH，设EA=AC=BC=2a，得，AB=2a，EB=2a，=，sin=，AHM=60二面角AEBC等于60向量法：（）证明：四边形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），=（0，1，1），=（0，2，2），AMEC，AMBC，又ECBC=C，AM平面EBC（2）设平面EAB的法向量为，则，取y=1，则x=1，则=（1，1，0），又为平面EBC的一个法向量，cos=，设二面角AEBC的平面角为，则cos=|cos|=，=60，二面角AEBC等于60点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kADkAE=2（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p0），由抛物线定义及|AF|=2即可求得p值；（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m0），直线DE方程与抛物线方程联立消x得y的方程，由韦达定理及kADkAE=2可得关于m，n的关系式，从而直线DE方程可用m表示，由直线方程的点斜式即可求得定点解答：解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p0），由其定义知，又|AF|=2，所以p=2，y2=4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x=my+n（m0），把DE方程代入C，并整理得y24my4n=0，=16（m2+n）0，y1+y2=4m，y1y2=4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即4n+24m=4，所以n=2m1，代入DE方程得：x=my+2m1，即（y+2）m=x+1，故直线DE过定点（1，2）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查直线方程的点斜式，考查学生分析解决问题的能力21已知函数（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m=1，且1ab0时，证明：考点：函数的单调性与导数的关系 专题：计算题；证明题分析：（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导，根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论（II）当m=1时，构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x），同理得到函数在上递减，得到递减的条件，得到结论解答：解：（I）， 对，故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m对恒成立而0，故m0经检验，当m0时，对恒成立当m0时，f（x）为定义域上的单调递增函数 （II）证明：当m=1时，令，在上总有g（x）0，即g（x）在上递增当1ab0时，g（a）g（b），即 令，由（2）知它在上递减，h（a）h（b）即综上所述，当m=1，且1ab0时，点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力，是一个中档题选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，PAB的平分线AC交O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q（）求证：QCBC=QC2QA2；（）若 AQ=6，AC=5求弦AB的长考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：（1）由已知得BAC=CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QCBC=QC2QA2（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得QAB=ACQ，从而QABQCA，由此能求出AB的长解答：（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 1证明：（1）PQ与O相切于点A，PAC=CBA，PAC=BAC，BAC=CBA，AC=BC=5，由切割线定理得：QA2=QBQC=（QCBC）QC，QCBC=QC2QA2（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，QAB=ACQ，又Q=Q，QABQCA，=，AB=点评：本题考查等式的证明，考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：（）先利用两方程相加，消去参数t即可