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第六章优化设计方法 优化设计概述 2学时 优化方法的数学基础 4学时 一维搜索方法 2学时 无约束优化方法 4学时 约束优化方法 4学时 参考书 机械优化设计 哈尔滨工业大学孙靖民 1 6 1优化设计概述 优化 优化设计和机械优化设计的含义优化设计问题示例优化设计问题的数学模型优化设计的几何解释优化设计的一般步骤 2 优化是万物演化的自然选择和必然趋势 优化的原理和方法在科学的 工程的和社会的实际问题中的应用便是优化设计 优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术 是根据最优化原理和方法 以人机配合方式或 自动探索 方式 在计算机上进行的半自动或自动设计 以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法 6 1优化设计概述 一 优化 优化设计和机械优化设计的含义 3 机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合 借助电子计算机 自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数 优化设计流程 常规设计流程 4 1 建立优化设计问题的数学模型 2 选择恰当的优化方法和程序进行设计计算 借助最优化数值计算方法与计算机技术 求取工程问题的最优设计方案 优化设计的任务 5 二 优化设计问题的示例 箱盒的优化设计 最大产值生产资源分配问题 直齿圆柱齿轮副的优化设计 6 已知 制造一体积为100m3 长度不小于5m 不带上盖的箱盒 试确定箱盒的长x1 宽x2 高x3 使箱盒用料最省 分析 1 设计参数确定 长x1 宽x2 高x3 2 设计约束条件 a 体积要求 b 长度要求 3 箱盒的表面积的表达式 箱盒的优化设计 7 数学模型 设计参数 设计目标 约束条件 8 某工厂生产A和B两种产品 A产品单位价格为PA万元 B产品单位价格为PB万元 每生产一个单位的A产品需消耗aC吨煤 aE度电 aL个工时 每生产一个单位的B产品需消耗bC吨煤 bE度电 bL个工时 现有可用生产资源 煤C吨 电E度 劳动力L个工时 欲找出其最优分配方案 使工厂的产值最大 分析 1 设计参数确定 A产品产量xA B产品产量xB 2 产值的表达式 3 设计约束条件 a 生产资源煤约束 b 生产资源电约束 c 生产资源劳动力约束 最大产值生产资源分配问题 9 数学模型 设计参数 设计目标 约束条件 10 已知 传动比i 转速n 传动功率P 大小齿轮的材料 设计该齿轮副 使其重量最轻 分析 1 圆柱齿轮的体积 v 与重量 w 的表达 2 设计参数确定 模数 m 齿宽 b 齿数 z1 3 设计约束条件 a 大齿轮满足弯曲强度要求 b 小齿轮满足弯曲强度要求 c 齿轮副满足接触疲劳强度要求 d 齿宽系数要求 e 最小齿数要求 直齿圆柱齿轮副的优化设计 11 数学模型 设计参数 设计目标 约束条件 12 三 优化设计的数学模型 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容 变量关系 有关设计条件和意图的数学表达式 它反映了物理现象各主要因素的内在联系 是进行优化设计的基础 1 设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示 这些基本参数可以是构件尺寸等几何量 也可以是质量等物理量 还可以是应力 变形等表示工作性能的导出量 在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数 称作设计变量 又叫做优化参数 13 设计变量的全体实际上是一组变量 可用一个列向量表示 设计变量的数目称为优化设计的维数 如n个设计变量 则称为n维设计问题 由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间 一个 设计 可用设计空间中的一点表示 设计变量的数目称为优化设计的维数 如n个设计变量 则称为n维设计问题 按照产品设计变量的取值特点 设计变量可分为连续变量 例如轴径 轮廓尺寸等 和离散变量 例如各种标准规格 14 设计空间的维数表征设计的自由度 设计变量愈多 则设计的自由度愈大 可供选择的方案愈多 设计愈灵活 但难度亦愈大 求解亦愈复杂 小型设计问题 一般含有2 10个设计变量 中型设计问题 10 50个设计变量 大型设计问题 50个以上的设计变量 目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题 15 2 约束条件 设计空间是所有设计方案的集合 但这些设计方案有些是工程上所不能接受的 如一个设计满足所有对它提出的要求 就称为可行设计 一个可行设计必须满足某些设计限制条件 这些限制条件称作约束条件 简称约束 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型 1 等式约束 2 不等式约束 16 显式约束 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式 即反映设计变量之间明显的函数关系 有的只能表示成隐式形式 如例中的复杂结构的性能约束函数 变形 应力 频率等 需要通过有限元等方法计算求得 根据约束的性质可以把它们区分成 性能约束 针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束 例如 选择某些结构必须满足受力的强度 刚度或稳定性等要求 边界约束 只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束 例如 允许机床主轴选择的尺寸范围 对轴段长度的限定范围就属于边界约束 17 图1 2设计空间中的约束面 或约束线 a 二变量设计空间中的约束线 b 三变量设计空间中的约束面 18 如图1 3上画出了满足两项约束条件g1 x x12 x22 16 O和g2 x 2 x2 0的二维设计问题的可行域D 它位于x2 2的上面和圆x12 x22 16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内 图1 3约束条件规定的可行域D 可行域 在设计空间中 满足所有约束条件的所构成的空间 19 3 目标函数 在优化过程中 通过设计变量的不断向F x 值改善的方向自动调整 最后求得F x 值最好或最满意的x值 在构造目标函数时 应注意目标函数必须包含全部设计变量 所有的设计变量必须包含在约束函数中 在机械设计中 可作为参考目标函数的有 体积最小 重量最轻 效率最高 承载能力最大 结构运动精度最高 振幅或噪声最小 成本最低 耗能最小 动负荷最小等等 为了对设计进行定量评价 必须构造包含设计变量的评价函数 它是优化的目标 称为目标函数 以F x 表示 20 在最优化设计问题中 可以只有一个目标函数 称为单目标函数 当在同一设计中要提出多个目标函数时 这种问题称为多目标函数的最优化问题 在一般的机械最优化设计中 多目标函数的情况较多 目标函数愈多 设计的综合效果愈好 但问题的求解亦愈复杂 在实际工程设计问题中 常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况 这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系 21 目标函数等值 线 面 目标函数是n维变量的函数 它的函数图像只能在n 1维空间中描述出来 为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况 常采用目标函数等值面的方法 目标函数的等值面 线 数学表达式为 c为一系列常数 代表一族n维超曲面 如在二维设计空间中 F x1 x2 c代表x1 x2设计平面上的一族曲线 对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面 22 图1 4等值线 图1 4表示目标函数f x 与两个设计变量x1 x2所构成的关系曲面上的等值线 它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线 当给目标函数以不同值时 可得到一系列的等值线 它们构成目标函数的等值线族 在极值处目标函数的等值线聚成一点 并位于等值线族的中心 当目标函数值的变化范围一定时 等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓 利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律 23 从等值线上 可以清楚地看到函数值的变化情况 其中f 40的等值线就是使f x1 x2 40的各点 x1 x2 T所组成的连线 如图函数的等值线图 图1 5等值线 24 4 优化设计问题一般数学形式 满足约束条件 求设计变量向量 使目标函数 其数学形式为 25 对于复杂的问题 要建立能反映客观工程实际的 完善的数学模型往往会遇到很多困难 有时甚至比求解更为复杂 这时要抓住关键因素 适当忽略不重要的成分 使问题合理简化 以易于列出数学模型 这样不仅可节省时间 有时也会改善优化结果 最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值 若目标函数的最优点为可行域中的最大值时 则可看成是求 F x 的最小值 因为min F x 与maxF x 是等价的 当然 也可看成是求1 F x 的极小值 26 例1 如下二维非线性规划问题 四 优化问题的几何解释 通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想 27 目标函数等值线是以点 2 0 为圆心的一组同心圆 如不考虑约束 本例的无约束最优解是 约束方程所围成的可行域是D 图1 9 28 由图易见约束直线与等值线的切点是最优点 利用解析几何的方法得该切点为 对应的最优值为 见图 用图解法求解 例2 解 先画出目标函数等值线 再画出约束曲线 本处约束曲线是一条直线 这条直线就是容许集 而最优点就是容