高一数学函数问题大冲击第一波薛益谦栾雨.doc

高一数学函数问题大冲击第一波 薛益谦 栾雨为什么连答案也给你了，让你学会自学！1（1）若f（x）=在0，1上单调递减，求a的范围（2）若使函数y=b（a2）x和y=都在（1，+）上单调递增，求a的范围解：（1）由题意得y=x2ax+4在0，1上单调递减，且x2ax+40在0，1上恒成立，若y=x2ax+4在0，1上单调递减，则1，即a2，由x2ax+40在0，1上恒成立，则（x2ax+4）min0y=x2ax+4在0，1上单调递减（x2ax+4）min=1a+40，解得a5a的取值范围为：2，5；（2）函数y=b（a2）x在（1，+）上单调递增，a20解得a2，又y=a在（1，+）上单调递增，a0，a的取值范围为：（0，2）2如果函数f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1）的值（2）已知f（3）=1且f（a）f（a1）+2，求a的取值范围（3）证明：f（）=f（x）f（y）解：（1）f（xy）=f（x）+f（y）令x=y=1，得f（11）=f（1）+f（1），可得f（1）=0；（2）f（3）=1，2=1+1=f（3）+f（3）=f（33）=f（9），不等式f（a）f（a1）+2，可化为f（a）f（a1）+f（9）=f9（a1）f（x）是定义在（0，+）上的增函数，解之得1a；（3）x=y，f（x）=f（y）=f（）+f（y），由此可得f（）=f（x）f（y）3设f（x）=ax2+xa，g（x）=2ax+53a（1）若f（x）在x0，1上的最大值是，求a的值；（2）若对于任意x10，1，总存在x00，1，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围解：（1）函数f（x）可能取得最大值为f（0），f（1），f（）当f（0）为最大值时，求得a=1.25，由二次函数的最大值位置x=0，1，与在x=0处取得最大值矛盾，故f（0）为最大值不成立；当f（1）为最大值时，f（1）=11.25，故x=1处，f（x）取不到最大值；当f（）为最大值时，由f（）=4，可得，a=或a=1，当a=时，=2不在0，1内，故舍去综上知，a=1；（2）依题意f（x）g（x），a0时，g（x）53a，5a，f（x）a，1所以，解得，；a=0时，不符题意舍去；a0时，f（x）最小值为f（0）或f（1），其中f（0）=a，而a5a，不符合题意f（1）=15a，也不符合题意综上，4函数f（x）=是定义在（1，1）的奇函数，且f（）=（1）确定f（x）的解析式；（2）判断函数在（1，1）上的单调性；（3）解不等式f（t1）+f（t）0解：（1）函数f（x）=是定义在（1，1）的奇函数f（0）=0，即得b=0f（）=，即得a=1f（x）=（2）设任意x1，x2（0，1），且x1x2则f（x1）f（x2）=0即f（x1）f（x2）函数f（x）在（0，1）上为增函数函数f（x）是定义在（1，1）的奇函数函数f（x）在（1，1）上为增函数（3）不等式f（t1）+f（t）0f（t1）f（t）f（t1）f（t） （根据奇函数的性质） （根据定义域和单调性）0t5定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围6已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且 f（2+x）=f（2x），且f（x）0的解集为（2，c）（）求f（x）的解析式（）求f（x）在区间m，m+1的最大值记为h（m），并求h（m）的最大值（本小题共12分）解：（）f（2+x）=f（2x），函数的对称轴为x=2，二次函数f（x）=ax2+bx+c，又f（x）0的解集为（2，c）ax2+bx+c=0的两个根是2，c；并且a0即4a2b+c=0，ac2+bc+c=0，解，解得a=，b=2，c=6函数的解析式为：（）f（x）在区间m，m+1的最大值记为h（m），当m+12即m1时，在m，m+1上函数是增函数，函数的最大值为f（m+1）=当m2时，在m，m+1上函数是减函数，函数的最大值为当m2m+1即1m2时，在m，m+1上函数的最大值为f（2）=8综上：，函数h（m）的图象为：所以函数h（m）的最大值为87已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（1）=2且对于任意xR，恒有f（x）2x成立（1）求实数a，b的值；（2）不等式f（x）a24a15恒成立，求a的取值范围解：（1）由f（1）=2知，lgblga+1=0，又f（x）2x恒成立，有x2+xlga+lgb0恒成立，故=（lga）24lgb0将式代入式得：（lgb）22lgb+10，即（lgb1）20，故lgb=1，即b=10，代入得，a=100（2）要使f（x）a24a15恒成立，只需a24a15f（x）min，由（1）知f（x）=x2+4x+1=（x+2）233，a24a153，解得2a6，故实数a的取值范围是2，68已知奇函数f（x）对任意x，yR，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=（1）求证：f（x）是R上的减函数（2）求f（x）在3，3上的最大值和最小值（3）若f（x）+f（x3）2，求实数x的取值范围解：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，令y=x则f（x）=f（x），2在R上任意取x1，x2，且x1x2，则x=x2x10，y=f（x2）f（x1）=f（x2）+f（x1）=f（x2x1）4分x2x1，x2x10，又x0时，f（x）0，f（x2x1）0，即f（x2）f（x1）0，有定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数6分（2）f（x）在R上是减函数，f（x）在3，3上也是减函数又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3（）=2，由f（x）=f（x）可得f（3）=f（3）=2，故f（x）在3，3上最大值为2，最小值为210分（3）f（x）+f（x3）2，由（1）、（2）可得f（2x3）f（3）2x33，x3，故实数x的取值范围为3，+）12分9已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（1）=1，f（27）=9，当0x1时，0f（x）1（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，+）上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a+1），求a的取值范围解：（1）令y=1，则f（x）=f（x）f（1），f（1）=1，f（x）=f（x），且xRf（x）为偶函数（2）若x0，则f（x）=20若存在x00，使得f（x0）=0，则，与已知矛盾，当x0时，f（x）0设0x1x2，则01，f（x1）=f（x2），当x0时f（x）0，且当0x1时，0f（x）101，f（x1）f（x2），故函数f（x）在0，+）上是增函数（3）f（27）=9，又f（39）=f（3）f（9）=f（3）f（3）f（3）=f（3）3，9=f（3）3，f（3）=，f（a+1），f（a+1）f（3），a0，（a+1）0，+），30，+），函数在0，+）上是增函数a+13，即a2，又a0，故0a210已知函数f（x）满足对一切x1，x2R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）2，且f（1）=0，当x1时有f（x）0（1）求f（1）的值；（2）判断并证明函数f（x）在R上的单调性；（3）解不等式：f（x22x）2+2f（x22x1）120解：（1）令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0）2，f（0）=2令x1=1，x2=1，则f（0）=f（1）+f（1）2，f（1）=0，f（1）=2+2=4f（1）=4（2）设0x1，则x+11，f（x+1）=f（x）+f（1）2=f（x）200x1时，f（x）2，又当x1时有f（x）0，f（1）=0x0时，f（x）2函数f（x）在R上为单调递减函数，证明如下：证明：设x1x2R，且x2x1=t0则f（x1）f（x2）=f（x1）f（x1+t）=f（x1）f（x1）f（t）+2=2f（t）t0，f（t）2，2f（t）0f（x1）f（x2）函数f（x）在R上为单调递减函数（3）不等式f（x22x）2+2f（x22x1）120f（x22x）2+2f（x22x）+2f（1）4120f（x22x）2+2f（x22x）80设t=f（x22x），则t2+2t80，即4t2原不等式4f（x22x）2f（3）f（x22x）f（0）（注：f（3）=f（2）+f（1）2=3f（1）4=4）3x22x01x0或2x3不等式的解集为（1，0）（2，3）11已知定义在区间0，2上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x22ax+4（a1），（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；（2）若对任意x1、x20，2，f（x2）g（x1）恒成立，求a的取值范围解：（1）由f（x）=x22ax+4=（xa）2+4a2，得（2），当x0，2时，x+11，3，又g（x）在区间0，2上单调递增，故 由题设，得f（x）ming（x）max，故或解得为所求的范围12设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x1时，f（x）0；（3）f（3）=1，（）求f（1）、的值；（）如果不等式f（x）+f（2x）2成立，求x的取值范围（）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2x）2有解，求正数k的取值范围解：（I）令x=y=1易得f（1）=0而f（9）=f（3）+f（3）=11=2 且，得（II）设0x1x2+，由条件（1）可得，因，由（2）知，所以f（x2）f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数由条件（1）及（I）的结果得：其中0x2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：，由此解得x的范围是（III）同上理，不等式f（kx）+f（2x）2可化为且0x2，得，此不等式有解，等价于，在0x2的范围内，易知x（2x）max=1，故即为所求范围13（2007江西）已知函数f（x）=满足f（c2）=（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）解（1）依题意0c1，c2c，f（c2）=，c=（2）由（1）得f（x）=由f（x）得当0x时，当时，综上所述：f（x）的解集为x|14已知函数f（x）=|x1|+|x+2|（1）若不等式f（x）a恒成立，求实数a的取值范围；（2）求不等式f（x）5的解集解：（1）函数f（x）=|x1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到2和1对应点的距离之和，其最小值等于3，故当a3时，不等式f（x）a恒成立故实数a的取值范围为（，3）（2）由于数轴上到2和1距离之和等于5的点对应的实数为3 和2，故f（x）5的解集为x|x3，或 x215已知函数（1）讨论并证明函数f（x）在区间（0，+）的单调性；（2）若对任意的x1，+），f（mx）+mf（x）0恒成立，求实数m的取值范围解：（1）函数f（x）在（0，+）上单调增证明：任取0x1x2，则f（x1）f（x2）=，0x1x2，x1x20，x1x20f（x1）f（x2）所以函数f（x）在（0，+）上单调增（2）原不等式等价于对任意的x1，+）恒成立整理得，对任意的x1，+）恒成立若m0，则左边对应的函数，开口向上，故x1，+）时，必有大于0的函数值m0，且，m0，且m1点评：本题重点考查函数的单调性，考查函数恒成立问题，依据单调性的定义，正确转化是解题的关键16已知二次函数f（x）满足：（1）若f（x+1）=2x+f（x），f（0）=1，求f（x）的解析式；（2）若f（2x）=f（2+x），f（x）最大值为5，f（0）=1，求f（x）的解析式考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）用待定系数法设f（x）=ax2+bx+c（a0）f（0）=1c=1，再利用两方程相等对应项系数相等来求a，b（2）f（2x）=f（2+x）对称轴是x=2，再有f（x）最大值为5，设f（x）=a（x2）2+5利用f（0）=1求出a即可解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a0）（1分）f（0）=1c=1（2分）f（x+1）=2x+f（x）a（x+1）2+b（x+1）+1=2x+ax2+bx+（13分）整理，得2ax+a+b=2x（4分）（5分）（6分）f（x）=x2x+（17分）（2）由f（2x）=f（2+x），得f（x）对称轴是x=2（8分）设f（x）=a（x2）2+5（10分）由f（0）=1，得a（02）2+5=1a=1（12分）f（x）=（x2）2+5（13分）点评：本题考查了二次函数解析式的求法二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起17函数（x0）（1）求f（x）的单调减区间并证明；（2）是否存在正实数m，n（mn），使函数f（x）的定义域为m，n时值域为，？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：（1）按证明一个函数在某个区间上的单调性的基本步骤取点，作差，变形，判断即可（2）有（1）知f（x）在（0，1减，在1，+）上增，所以对m，n分三种情况m，n（0，1，m（0，1，n1，+），m，n1，+），来讨论即可解答：解：（1）f（x）的单调减区间为（0，1（2分）任取x1，x2（0，1且x1x2（3分）则（4分）=（6分）f（x1）f（x2）f（x）在（0，1上为减函数（7分）（2）若m，n（0，1，则f（m）f（n）两式相减，得不可能成立（9分）若m（0，1，n1，+），则f（x）的最小值为0，不合题意（10分）若m，n1，+），则f（m）f（n）；m，n为的不等实根，综上，存在，符合题意（12分）点评：本题综合考查了函数单调性的判断和证明以及对函数单调性的应用，是一道不可多得的好题18二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2x，且f（0）=1（）求f（x）的解析式；（）求f（x）在区间1，1上的值域；（）在区间1，1上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域；二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题：计算题；转化思想分析：（）由函数f（x）为二次函数设出其解析式，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数f（x）的解析式（）通过配方，求得函数的对称轴，确定函数在给定区间上的单调性，可得函数在区间上的值域（）将“y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方”转化为“x2x+12x+m在1，1上恒成立”，移项后转化为“x23x+1m0在1，1上恒成立”，只需该二次函数在1，1上的最小值大于0即可，从而求得m的值解答：解：（）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1f（x+1）f（x）=2x，a（x+1）2+b（x+1）+1（ax2+bx+1）=2x即2ax+a+b=2x，所以，f（x）=x2x+1（）所以当x1，1时，ymin=f（）=，ymax=f（1）=3函数的值域为（）由题意得x2x+12x+m在1，1上恒成立即x23x+1m0在1，1上恒成立设g（x）=x23x+1m，其图象的对称轴为直线x=，所以g（x）在1，1上递减故只需g（1）0，即1231+1m0，解得m1点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，同时考查了二次函数在闭区间上的值域和不等式恒成立问题，注意条件的转化，是个中档题19已知函数f（x）=x|xa|（xR）（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；（2）将函数g（x）=f（x）+2x+1写成分段函数的形式，分别确定各段的单调性，即可建立不等式组，从而可求实数a的取值范围解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，又f（x）=（x）|x|=x|x|=f（x），f（x）是奇函数 （3分）当a0时，f（a）=0，f（a）=a|a|，f（a）f（a），f（x）是非奇非偶函数 （6分）当a=0时，f（x）为奇函数；当a0时，f（x）为非奇非偶函数 （7分）（2）在R上恒为增函数，（8分）y=x2+（2a）x+1在a，+）上是增函数，且y=x2+（2+a）x+1在（，a上是增函数，（10分），（14分）2a2 （15分）点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号20（2005安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）2x的解集为（1，3）（）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）2x变形为f（x）+2x0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x1）（x3）且a0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=和a0联立组成不等式组，求出解集即可解答：解：（）f（x）+2x0的解集为（1，3）f（x）+2x=a（x1）（x3），且a0因而f（x）=a（x1）（x3）2x=ax2（2+4a）x+3a由方程f（x）+6a=0得ax2（2+4a）x+9a=0因为方程有两个相等的根，所以=（2+4a）24a9a=0，即5a24a1=0解得a=1或a=由于a0，舍去a=1将a=代入得f（x）的解析式（）由及a0，可得f（x）的最大值为就由解得a2或2+a0故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是点评：考查学生函数与方程的综合运用能力21已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，yR，都有f（xy）=f（x）+f（y）；当x1时，f（x）0（1）求证：f（1）=0；（2）求证：对任意的xR，都有f（）=f（x）；（3）判断f（x）在（，0）上的单调性考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；（2）令y=（x0），由f（xy）=f（x）+f（y）及f（1）=0即可证得结论；（3）任取x1x20，则x1x20，作差f（x1）f（x2）=f（），易证f（）0，从而可判断f（x）在（，0）上的单调性解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），f（1）=0（2）证明：令y=（x0），则f（x）=f（x）+f（）=f（1）=0，f（）=f（x）；（3）任取x1x20，则x1x20，=1，由题意，f（）0，又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），f（xy）f（y）=f（x），f（x1）f（x2）=f（）0，f（x1）f（x2），函数f（x）在（，0）上是减函数点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查函数单调性的判断与证明，属于中档题22函数y=f（x）的定义域为（，0）（0，+），且f（x）在（0，+）上是减函数，对任意非零实数m、n，都有f（mn）=f（m）+f（n）（1）求证：f（1）=f（1）=0；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x1）2考点：抽象函数及其应用菁优网版权所有分析：（1）根据抽象函数“凑”的原则，结f（mn）=f（m）+f（n）分别令m=n=1，m=n=1即可得到答案；（2）先利用条件求出f（4）=2，不等式转化为 f（x+3）（x1）f（4），再利用函数的奇偶性和单调性来解，即可得到不等式的解集解答：解：（1）令m=n=1f（mn）=f（m）+f（n）f（1）=2f（1）f（1）=0（2分）令m=1，n=1f（1）=f（1）+f（1）=02f（1）=0，f（1）=0；（2分）f（1）=f（1）=0；（2）f（x）在其定义域（0，+）上为减函数，f（2）=1，f（4）=2， 又f（mn）=f（m）+f（n）不等式f（x+3）+f（x1）2即 f（x+3）（x1）f（4），因为f（x）=f（1）+f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数，在（，0）上是增函数（x+3）（x1）=（x+1）244，当（x+3）（x1）为负数时，有f（x+3）（x1）f（4）=2，不成立原不等式化为（x+3）（x1）4，解之得x12或x1+2，因此，不等式的解集是 x|x12或x1+2点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明及抽象函数值，抽象函数及其应用，利用题中的两个条件把不等式进行转化，再利用定义域及单调性来解23对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b2（a0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点（1）当a=2，b=2时，求f（x）的不动点（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围考点：二次函数的性质菁优网版权所有专题：计算题；综合题；新定义分析：（1）设x为不动点，则有2x2x4=x，变形为2x22x4=0，解方程即可（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b2=0由已知，此方程有相异二实根，则有x0恒成立求解；解答：解f（x）=ax2+（b+1）x+b2（a0），（1）当a=2，b=2时，f（x）=2x2x4设x为其不动点，即2x2x4=x则2x22x4=0x1=1，x2=2即f（x）的不动点是1，2（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b2=0由已知，此方程有相异二实根，x0恒成立，即b24a（b2）0即b24ab+8a0对任意bR恒成立b0，16a232a0，0a2点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键24已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22x（1）求f（1），f（2）的值；（2）求f（x）的解析式并画出简图；（3）根据图象写出函数f（x）的单调区间及值域考点：函数图象的作法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用函数的奇偶性，直接代入 即可求值，利用二次函数的图象和性质确定二次函数的单调性和值域解答：解：（1）y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22xf（1）=12=1，f（2）=f（2）=2222=44=0（2）设x0，则x0，y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22xf（x）=x2+2x=f（x），即f（x）=x2+2x，x0即f（x）的解析式为f（x）=对应的图象为（3）由图象可知函数的递增区间为1，0，1，+），递减区间为（，1），（0，1）值域为1，+）点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的图象和性质，比较基础25已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0（）若方程有两根，其中一根在区间（1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围（）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（）把问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，解不等式组 求出m的取值范 （）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有，由此求得m的取值范围解答：解：（）设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，则 ，可得 解得，m 的取值范围为 （）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有，即 ，解得，故m的取值范围为 点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题26求二次函数f（x）=x24x1在区间t，t+2上的最小值g（t），其中tR考点：二次函数的性质菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过对称轴是否的区间内，讨论求函数的最小值解答：解：函数f（x）=（x2）25的图象的对称轴方程为x=2，开口向上当2t，t+2，即t2t+2，也就是0t2时，g（t）=f（2）=5；当2t，t+2时，当t2时，f（x）在t，t+2上为增函数，故g（t）=f（t）=t24t1当t+22，即t0时，f（x）在t，t+2上为减函数，故g（t）=f（t+2）=（t+2）24（t+2）1=t25故g（t）的解析式为g（t）=点评：本题考查二次函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力27已知函数（1）若aN*，且函数f（x）在区间（2，+）上是减函数，求a的值；（2）若aR，且关于x的方程f（x）=x有且只有一根落在区间（2，1）内，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若对于区间3，4上的每一个x的值，不等式f（x）mx3恒成立，求实数m的取值范围考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先将函数变形，利用函数在（2，+）上递减，可得2a0，借助于aN*，可确定a的值；（2）利用零点存在定理，可得不等式（a2）（a6）0，从而可确定a的取值范围；（3）不等式f（x）mx3，对3x4恒成立，等价于F（x）=+x3m对3x4恒成立，只需要求出F（x）的最小值，就可以得到实数m的取值范围解答：解：（1），由于函数在（2，+）上递减，所以2a0，即a2，又aN*，所以a=1；a=1时，（4分）（2）令F（x）=f（x）+x=，当时，即（a2）（a6）0，2a6时关于x的方程f（x）=x有且只有一根落在区间（2，1）内（若用根与系数的关系求解，参照给分） （9分）（3）由（1）a=1时，不等式f（x）mx3，即F（x）=+x3m对3x4恒成立，容易证明F（x）=+x3在区间3，4上是减函数，x=4时F（x）取最小值，所以m点评：本题考查了函数的单调性，考查根的分布及恒成立问题的处理，有一定的综合性28已知函数f（x）=x2+2（a1）x+2，其中aR，a0（1）求证：函数f（x）在区间（，1）上是减函数；（2）若函数f（x）在区间1，5上的最小值为f（5），求实数a的取值范围考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）在（，1）上任取x1，x2，且x1x2，利用定义法得到f（x1）f（x2）0，故函数f（x）在区间（，1）上是减函数（2）函数f（x）的对称轴是x=1a，由f（x）在区间1，5上的最小值是f（5），得a4，由此能求出a的取值范围解答：（1）证明：在（，1）上任取x1，x2，且x1x2，=（x1x2）x1+x2+2（a1），a0，x1x211a，x1x20，x1+x2+2（a1）0，f（x1）f（x2）0，故函数f（x）在区间（，1）上是减函数（2）解：函数f（x）的对称轴是x=1a，f（x）在区间1，5上的最小值是f（5），1a5，得a4，a0，a的取值范围是a（，4点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意定义法在证明函数单调性上的灵活运用和抛物线对称轴及二次函数最小值的合理运用29已知函数f（x）=在探究a=1时，函数f（x）在区间0，+）上的最大值问题为此，我们列表如下y00.10.20.50.811.21.51.8246y00.3960.7691.61.95121.9671.8461.6981.60.9410.649请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题（1）写出函数f（x）在0，+）（a=1）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明（2）写出函数f（x）（a=1）的定义域，并求f（x）值域考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（1）结合题中所给的表格可得函数f