第8节 子群的陪集.ppt

1 22 第8节子群的陪集 主要内容 子群的陪集Lagrange定理Lagrange定理的应用正规子群与商群 预备知识 等价关系等价类集合的划分商集 2 22 陪集的定义 定义1设H是群G的子群 a G 令 aH ah h H 称aH是子群H在G中的左陪集 称a为aH的代表元素 令Ha ha h H 称Ha是子群H在G中的右陪集 称a为Ha的代表元素 3 22 陪集的实例 例1设G e a b c 是Klein四元群 H a e a 是G的子群 H所有的左陪集是 eH e a H aH a e H bH b c cH c b 不同的左陪集只有两个 即H和 b c H所有的右陪集 4 22 陪集的实例 例2设S 1 2 3 S3 1 12 13 23 123 132 H所有的左陪集是 1 H 1 12 12 H H 13 H 13 132 132 H 23 H 23 123 123 H不同的左陪集只有3个 即H 13 H 23 H H 1 12 是S3的子群 H所有的右陪集是 H 1 1 12 H 12 HH 13 13 123 H 123 H 23 23 132 H 132 不同的右陪集只有3个 即H H 13 H 23 5 22 左陪集的基本性质 性质1设H是群G的子群 则 1 eH H 2 a G有a aH 性质2设H是群G的子群 则 a b G有 a bH b aH a 1b H aH bH 性质3设H是群G的子群 则 1 a G aH 2 a b G aH bH或aH bH 3 aH G 性质4设H是群G的子群 则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分 6 22 右陪集的基本性质 性质1 设H是群G的子群 则 1 He H 2 a G有a Ha 性质2 设H是群G的子群 则 a b G有 a Hb b Ha ba 1 H Ha Hb 性质3 设H是群G的子群 则 1 a G Ha 2 a b G Ha Hb或Ha Hb 3 Ha G 性质4 设H是群G的子群 则H的所有右陪集构成的集族是G的一个划分 7 22 有关陪集的问题 设H是群G的子群 H的所有左陪集都是G的非空子集 请问 H的左陪集一定是G的子群吗 判别群G的非空子集是其子群的方法 判别群G的非空子集不是其子群的方法 8 22 性质6设H是群G的子群 令Sl为H的所有左陪集构成的集族 Sr为H的所有右陪集构成的集族 则 Sl Sr 陪集的基本性质 性质5设H是群G的子群 则 a b G aH bH H Ha Hb 9 22 Lagrange定理 定理1 Lagrange 设G是有限群 H是G的子群 则 G H G H 其中 G H 是H在G中的不同左陪集 或右陪集 个数 称为H在G中的指数 证设 G H r a1 a2 ar分别是H的r个不同右陪集的代表元素 G Ha1 Ha2 Har G Ha1 Ha2 Har 由 Hai H i 1 2 r 得 G H r H G H 10 22 Lagrange定理的推论 推论1设G是n阶群 则 a G a 是n的因子 且有an e 证任取a G a 是G的子群 a 的阶是n的因子 a 是由a生成的子群 若 a r 则 a a0 e a1 a2 ar 1 即 a 的阶与 a 相等 所以 a 是n的因子 从而an e 11 22 Lagrange定理的推论 推论2对阶为素数的群G 必存在a G使得G a 证设 G p p是素数 由p 2知G中必存在非单位元 任取a G a e 则 a 是G的子群 根据Lagrange定理 a 的阶是p的因子 即 a 的阶是p或1 显然 a 的阶不是1 这就推出G a 12 22 Lagrange定理的应用 命题 如果群G只含1阶和2阶元 则G是Abel群 证设a为G中任意元素 有a 1 a 任取x y G 则xy xy 1 y 1x 1 yx 因此G是Abel群 13 22 Lagrange定理的应用 例3证明6阶群中必含有3阶元 证设G是6阶群 则G中元素只能是1阶 2阶 3阶或6阶 若G中含有6阶元 设为a 则a2是3阶元 若G中不含6阶元 下面证明G中必含有3阶元 如若不然 G中只含1阶和2阶元 即 a G 有a2 e 由命题知G是Abel群 取G中2阶元a和b a b 令H e a b ab 则H是G的子群 但 H 4 G 6 与Lagrange定理矛盾 14 22 例4证明阶小于6的群都是Abel群 Lagrange定理的应用 证1阶群是平凡的 显然是Abel群 2 3和5都是素数 由推论2它们都是单元素生成的循环群 都是Abel群 设G是4阶群 若G中含有4阶元 比如说a 则G a 是循环群 可知G是Abel群 若G中不含4阶元 G中只含1阶和2阶元 由命题可知G也是Abel群 15 22 注意 设G是一个n阶有限群 由Lagrange定理可知 G的子群的阶必是n的一个因子 但反过来 则未必成立 即 对n的任一因子d G未必有一个d阶子群 例如 交代群A4中就没有6阶子群 但在群论中有以下结论 结论 若G是一个有限交换群 则Lagrange定理的逆成立 例如 若G a 是n阶循环群 则对n的每个正因子d G有且仅有一个d阶子群 Lagrange定理的注释 16 22 等价关系与子群的陪集 设H是群G的子群 在G上定义二元关系R a b G a b R a 1b H则R是G上的等价关系 且 a R aH 设R是非空集合X上的等价关系 则 a X a a 等价类的性质 陪集的性质 设H是群G的子群 则 1 eH H 2 a G有a aH 17 22 等价类的性质 陪集的性质 设H是群G的子群 则 a b G有 a bH b aH a 1b H aH bH 设R是非空集合X上的等价关系 则 a b X 有 a b R a b b a a b 等价关系与子群的陪集 18 22 设R是非空集合X上的等价关系 则 1 a X a 2 a b X a b 或 a b 3 a X 等价类的性质 陪集的性质 设H是群G的子群 则 1 a G aH 2 a b G aH bH或aH bH 3 aH G 等价关系与子群的陪集 19 22 左陪集的定义 等价类的定义 a b a b R b G 设H是群G的子群 a G 子群H在G中的左陪集 aH ah h H 由于 a b G a b R a 1b H 所以 子群H在G中的左陪集 aH ah h H b a b R b G a b a 1b H b G 等价关系与子群的陪集 20 22 正规子群与商群 定义1设H是群G的子群 如果 a G有aH Ha 则称H是群G的正规子群或不变子群 记作H G 定理1设H是群G的正规子群 则H的所有左陪集构成的集合对群子集乘法形成一个群 定义2群G的正规子群H的所有左陪集构成的集合对群子集乘法形成一个群称为G对H的商群 记为G H 21 22 正规子群的判别 定理2 正规子群的判别定理 设H是群G的一个子群 则 1 H是群G的正规子群 a G有aHa 1 H 2 H是群G的正规子群 a G有aHa 1 H 3 H是群G的正规子群 a G h H有aha 1 H 注意 1 定理2的前提条件