1讲 复数、复变函数及其导数

数学物理方法 绪论 物理学进展及其重要性数学与物理的关系如何学好 数学物理方法 参考书目 主要内容 一 物理学进展及其重要性 1 发展史 包括 经典与量子 2 量子物理学 Plank Heisenberg Dirac Einstein为代表 图1 黑体辐射能量密度曲线 背景 二十世纪初出现的几朵乌云 比如黑体辐射 光电效应等 光电效应 只有光照大于临界频率时 光路才导通 光路是否导通与光强无关 光照能量 下图光路导通 图2 光电效应光路 2 物理学的发展方向 深度和广度 1 深度 方向细化 2 广度 学科交叉 3 物理学推动的三次技术革命 Watt蒸汽机代替手工Maxwell为代表的电气化 扩大了生产规模 提高了效率自动化和新能源革命 纳米科技及量子计算机 自然能与氢能 原子能 二 数学与物理 相辅相成 物理推动数学 Dirac引出的算符发展为数学中的算符学 热力学中的熵发展为数学中熵函数 数学也推动物理 格林函数在物理学中的应用 霍 金从数学推断出 宇宙是由无限高密的奇点经大爆炸形成的 并给出守恒方程 Fermi把物理研究总结为两类 把问题简化为物理模型问题有严谨的数学过程 三 如何学好 数学物理方法 与实变函数联系把物理规律翻译成数学公式通过习题练习 掌握数 理互译过程广泛阅读 掌握多种技能 如 计算软件Matlab 物理实验等 提高综合能力 参考书 不同体系 郭敦仁编 数学物理方法 高教社吴崇试编 数学物理方法 北大出版社潘忠诚编 数学物理方法 南开大学胡嗣柱编 数学物理方法 高教社邵惠民编 数学物理方法 科学出版社姚端正编 数学物理方法 科学出版社王竹溪编 特殊函数 北大出版社季孝达编 数学物理方程 科学出版社 第一章复变函数 复数的引入复数的表示复数运算复变函数复数的导数及求导规则柯西 黎曼方程 C R条件 本节内容 1 1复数及其运算 2 三种表示及关系 3 共轭复数z 或记为 定义 z x iy 与z关于X轴对称 二 无限远点 定义 复平面上模为无限大的复数归并成的一点 可以用复数球的北极点来表示 如图 复平面上A点与球面上的唯一点A 点对应 复平面上模为无限大的点与球的北极点N对应 O为复平面原点 复数球的南极点 三 复数运算 1 和差 2 积 3 商 4 幂 5 根式 四 复运算结果的解释 1 和满足平行四边形法则 差满足三角形法则 2 根式结果的多值性 令 其中可取k 0 1 n 1共n个值 五 共轭运算 1 2 3 4 5 证明 1 令 得证 共同证明 2 其余作为练习 举例 例1 倍角关系 1 求cos3j和sin3j的单角表示形式 解 由cos3j isin3j ei3j eij 3 cosj isinj 3 cos3j 3cosjsin2j i 3cos2jsinj sin3j 比较实部和虚部得 例1 2 求cos4j和sin4j的单角表示形式 自作 解 由cos4j isin4j ei4j eij 4 cosj isinj 4 cos4j 6cos2jsin2j sin4j i 4cos3jsinj 4cosjsin3j 得 例2 几何意义1 解释 z i 2代表的几何意义 解 令z x iy 则 z i 2 代表以 0 1 为圆心 以2为半径的圆及其内部 例2 2 解释 z i z 2 代表的几何意义 解 令z x iy 则 z i z 2 代表斜率为2截距为 1 5的直线 即 0 1 2 0 线段的垂直平分线 推广 z a z b 例3 复数化简 下面a b为实数 1 化简cos a ib 解法一 解法二 三角函数的和差角公式对复数仍成立 见下节 2 化简ia ib 解 作业 P5 1 3 8 2 4 6 3 1 3 7 例 二维矩阵运算 略 1 2复变函数 一 定义 w f z z E 二 概念1 z0点的邻域 2 内点z1 外点z2和境界点z3 见图1 3 区域二要素 内点组成 具有连通性 图2 4 闭区域 含境界线 单连通复连通非区域图2 三 基本复变函数 指数 ez ex iy ex cosy isiny ez i2p 多对一 对数 lnz ln z eiArgz ln z iArgz 一对多 三角 sinz eiz e iz 2i cosz eiz e iz 2双曲 sinhz ez e z 2 coshz ez e z 2 说明 1 三角函数具有实周期2p 其模可大于1 证明 cosz eiz e iz 2 cosx e y ey i e y ey sinx 从而 cosz e 2y e2y 2 cos2x sin2x 1 2可大于1 2 指数和双曲函数具有纯虚数周期2pi 3 对数复变函数值不唯一 多值函数 4 令z iz 则siniz e z ez 2i isinhz cosiz e z ez 2 coshz 四 初等函数例题 例 上节例3 2 化简ia ib 解 利用指数函数的换底公式得 结果同前 五 复变函数与实变函数的联系 补充实变函数性质 复变函数可归结为一对实变函数记为f z u x y iv x y 因此实变函数的许多结论可移植到复变函数 极限 limz z0f z A定义 当0 z z0 d时 总有 f z A e 点连续 f z 在z0邻域内有定义 且存在极限limz z0f z f z0 4 区域连续 当f z 在区域B中的每一点都连续 作业 P9 2 1 3 5 9 3 1 3复数导数 一 可导定义 若单值函数f z w在定义域B上某点z处存在极限lim z 0 f z z f z z 且极限与 z 0的方式无关 则称f z 在z点可导 极限记为f z 或df dz 可微定义 若 w f z z f z 可写成 w A z z z 其中lim z 0 z z为0 则称f z 在z点可微 其微分dw A z dz 其中规定dz z 二 C R方程 1 证明 因f z 可导 则 z沿任何方向趋于0时极限都相等 即当 z i y 0时 沿y轴方向 其极限 f z z i y f i y lim y 0 u x y y iv x y y u x y iv x y i y v y i u y 而 当 z x 0时 沿x轴方向 极限 f z z x f x u x i v x 沿两个方向的极限应相等 即得此二式便称为Cauchy Riemann方程 也叫C R条件 重要说明 C R条件是可导的必要但不充分条件 例如 函数 在z 0处 同样 令 f z在一 三象限极限为 即z 0处C R条件成立 在一 三象限 在二 四象限 三 可导的充要条件 在