吴赣昌编 概率论与数理统计 第5章最新版ppt课件.ppt

第五章数理统计的基本概念 总体和样本几个常用的分布和抽样分布 概率论中 随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计规律 概率分布已知 数理统计 数理统计中 概率分布未知或不完全知道 通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察 采集数据 分析数据 从而对变量的分布做出估计或推断 5 1总体和样本 从本质上讲 总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布 即一个具有确定概率分布的随机变量 一 总体在数理统计中 把所研究的对象的全体称为总体 通常指研究对象的某项数量指标 一般记为X 把总体的每一个基本单位称为个体 如全体在校生的身高X 某批灯泡的寿命Y 对不同的个体 X的取值是不同的 X是一个随机变量或随机向量 X或Y的分布也就完全描述了我们所关心的指标 即总体的分布 为方便起见 我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体 或直接称X为总体 X的分布也就是总体的分布 二 随机样本从总体X中抽出若干个个体称为样本 一般记为 X1 X2 Xn n称为样本容量 而对这n个个体的一次具体的观察结果 x1 x2 xn 是完全确定的一组数值 但它又随着每次抽样观察而改变 x1 x2 xn 称为样本观察值 如果样本 X1 X2 Xn 满足 1 代表性 样本的每个分量Xi与X有相同的分布 2 独立性 X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 则称样本 X1 X2 Xn 为简单随机样本 总体 样本 样本观察值的关系 总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料 样本观察值 去推断总体的情况 总体分布 样本是联系两者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律 也就是样本取到样本观察值的规律 因而可以用样本观察值去推断总体 设总体X的分布为F x 则样本 X1 X2 Xn 的联合分布为 样本的联合分布律为 当总体X是连续型时 X f x 则样本的联合密度为 当总体X是离散型时 其分布律为 例5 1设 X1 X2 Xn 为X的一个样本 求 X1 X2 Xn 的密度 解 X1 X2 Xn 为X的一个样本 故 例5 2设某电子产品的寿命X服从指数分布 密度函数 X1 X2 Xn 为X的一个样本 求其密度函数 解因为 X1 X2 Xn 为X的一个样本 例5 3某商场每天客流量X服从参数为 的泊松分布 求其样本 X1 X2 Xn 的联合分布律 解 三 统计量 样本是我们进行分析和推断的起点 但实际上我们并不直接用样本进行推断 而需对样本进行 加工 和 提炼 将分散于样本中的信息集中起来 为此引入统计量的概念 X1 X2 Xn g X1 X2 Xn 其中g x1 x2 xn 是 x1 x2 xn 的连续函数 如果g X1 X2 Xn 中不含有未知参数 称g X1 X2 Xn 为统计量 不含未知参数的样本的函数 如 未知 X1 X2 Xn 为X的一个样本 均为统计量 不是统计量 若 已知 2未知 X1 X2 X5 为X的一个样本 几个常用的统计量 P131 样本均值 样本方差 样本均方差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 与总体矩比较P111 样本均值的期望和方差 样本方差的期望 是X的样本 设 5 3几个常用的分布和抽样分布 一 2 分布1 定义 设n个相互独立的X1 X2 Xn Xi N 0 1 i 1 2 n则 一 常用分布 2 分布 t 分布和F 分布 称为自由度为n的 2分布 n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从 2 n 2 分布的密度函数f y 曲线 2 性质 1 2 2分布的可加性 X1 X2相互独立 则X1 X2 2 n1 n2 例5 4 X1 X2 X3 为X的一个样本 求 的分布 解因为 X1 X2 X3 为X的一个样本 i 1 2 3 则 i 1 2 3 3 2分布表及有关计算 1 构成P 2 n p 已知n p可查表 P298 求得 2 有关计算 水平为的上侧分位数分位点 p eg1 求解 1 定义若X N 0 1 Y 2 n X与Y独立 则 t n 称为自由度为n的t 分布 二 t 分布 例5 5 X1 X2 X3 为X的一个样本 求 的分布 i 1 2 3 t n 的概率密度为 2 基本性质 1 f t 关于t 0 纵轴 对称 2 f t 的极限为N 0 1 的密度函数 即 3 t分布表 P296 及有关计算 1 构成 P t n p 2 有关计算P t n tp n p tp n 为水平p的上侧分位数 p 注 三 F 分布 1 定义若X 2 n1 Y 2 n2 X Y独立 则 称为第一自由度为n1 第二自由度为n2的F 分布 其概率密度为 例5 6 X1 X2 X5 为取自正态总体X N 0 2 的样本求统计量 的分布 解 2 F分布表 P294 及有关计算 1 构成 P F n1 n2 p 2 有关计算P F n1 n2 p Fp n1 n2 性质 p 抽样分布 总体分布类型已知 但含有未知参数 对总体的未知参数或总体的数字特征进行统计推断 称为参数统计推断 抽样分布 构造合适的统计量 使其服从或渐近服从已知分布 泛称统计量分布为抽样分布 小样本统计推断和大样本统计推断 二 正态总体的抽样分布定理 证明 组合 故服从正态分布 1 若 则 是n个独立的正态随机变量的线性 2 设 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则 1 2 3 与S2独立 P143 144定理1 2 例5 7 设X1 X10是取自N 2 16 的样本 求a及样本方差的期望与方差解 例5 8 设X1 X2 X8是取自N 1 9 的样本 求样本方差S2的期望与方差 解 3 设 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则 证明 X1 X2 Xn 是正态总体N 2 的样本 则由分布定理1 2可知 与S2独立 且 所以由t分布的定义 可知 4 双正态总体的抽样分布 设 X1 X2 Xn1 是N 1 12 的样本 Y1 Y2 Yn2 是N 2 22 的样本 且相互独立 S12 S22是样本方差 则 1 2 称为混合样本方差 例5 9设总体X N 10 32 X1 X2 X6 是