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矩形的判定教案 202矩形的判定 预习导航学案 激活思维 1请你画一个矩形，并画出它们的对角线观察图形，你能说出它有哪些性质吗?试一试 2_叫做矩形 3矩形的对边_；四个角都是_；对角线_。 4_的平行四边形是矩形对角线_的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是_形 信息鼠标 1(略) 2有一个内角是直角的平行四边形 3相等 直角 相等 4有一个角是直角 相等 矩 互动研学教练 教材研学 一。、矩形的性质回顾 1矩形的性质 （1）矩形具有平行四边形的一切性质； （2）矩形对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点 2矩形性质的图形说明 如图2021，在矩形ABCD中， 从边上看： ABCD，AB=CD；ADBC，AD=BC 从对角线上看： AC=BD 且OA=OB=OC=OD。 从角上看： ABCBCDCDADAB90老师：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质? 小弘：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半如：在RtABC中，O是斜边AC的中点，则AC=2OB二、矩形的判定如图2022 1利用定义判别 平行四边形 矩形 2利用对角线判别对角线相等的平行四边形是矩形；对角线平分且相等的四边形是矩形即：在平行四边形ABCD中，若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形； 在四边形ABCD中，若AC=BD，且OAOC、OB=OD， 则四边形ABCD是矩形 3利用角判别四个角是直角的四边形是矩形即：在四边形ABCD中，若ABCD90，则四边形ABCD是矩形实际证明中，只要证明出三个角为直角即可三、矩形的应用（1）用以证明线段相等或平分或倍数关系； （2）直角三角形两锐角互余； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（4）直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；（5）证明两条直线垂直四、探究活动 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图20一23，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小 分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的“友好矩形”有两个探究：如图20一23，若ABC为直角三角形，且C=90，在图2023中画出ABC的所有“友好矩形”，此时共有2个矩形，如图2024中的BCAD、ABEF；易知，矩形BCAD、ABEF的面积等于ABC面积的2倍， ABC的“友好矩形”的面积相等结论：直角三角形有两个“友好矩形”，且这两个矩形的面积相等 点石成金 例1如图2025所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE BD于E，则（1）图中与BAE相等的角有_；（2）若AOB=60，则AB：BD_。图中DOC 是_三角形（按边分）解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，例如在寻找与 BAE相等的角时，看清BAE的形成，即为过A作AEBD所形成，则BAE+EAD=90，而ADB+EAD=90，故BAE=ADB又因为ADB=DBC= DAC，由此找与BAE相等的角就不难了；至于在第（2）问求AB：BD的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论答案（1）ADB，DBC，ACB，DAC （2）1：2 等边名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉例2如图2026所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 om，BOC=120求：（1） ACB的度数；（2）求AB、BC的长度分析：本题是对矩形性质的考查（1）要求ACB的度数，而已知BOC120， BOC中，由矩形的性质，知OBOC，从 而OBC=ACB由此可求出ACB（2）在RtACB中，对角线 AC=6cm，第（1）问已求出ACB=30，因此AB即可求出然后利用勾股定理求出BC的长解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OB=OC，所以OBCACB，故 ACB （180一120）30（2）矩形ABCD中，ABC=90，又ACB=30，因此30角所对直角边AB等于斜边AC的一半，即AB AC3cm，BC （cm）名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决例3已知 ABCD的对角线AC，BD相交于O，ABO是等边三角形，AB4 cm，求这个平行四边形的面积（图20一271) 分析：（1）先判定 ABCD为矩形。（2）求出RtABC的直角边BC的长。（3）计算SABBC 解：四边形ABCD是平行四边形。ABODCO 又ABO是等边三角形 DCO也是等边三角形，即AOBOCODO ACBD ABCD为矩形。在RtABC中，BAC60，ABC90 BC AB，即BC4 cm S ABCDABAC16 cm2 名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算例4 (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形” (2)若ABC为锐角三角形，且BC AC AB，在图20一28中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 分析：用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角形 的“友好矩形”，根据矩形的边和面积与其三角形的边和面积之间的关系，寻找其周长与面积解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” (2)此时共有3个“友好矩形”， 如图2029中矩形BCDE，CAFG及ABHK，其中矩形ABHK 的周长最小证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为s设矩形BCDE、 CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3，ABC的边长 BCa，CAb，ABc，则L1 2a L2 2b，L3 2c。 2（ab）而ab，L1L20，即L1L2。同理可得L2L3 L3的周长最小，即矩形ABHK的周长最小。名师点金：在阅读理解的基础上，先画出图形，确定好每一种情形，利于进一步求解。 同步升级演练 基础巩固题 1下列命题中错误的是（ ） A有三个角是直角的四边形是矩形 B两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 2如图20210，在矩形ABCD中，E是BC上的点，且AED=90，BAE=30，AE4，则矩形ABCD的周长为 ( ) A8+2 B16+4 C8+4 D16+2 3下列条件：已知矩形的边和一条对角线长；已 知矩形一条对角线长和对角线的夹角；已知矩形一边的长和对角线的夹角；已知矩形的周长能确定矩形的形状和大小的条件是 ( ) A B c D 4矩形的两条对角线所夹的钝角为120，短边长为5cm，则其对角线长为_ 5如图20211，在矩形ABCD中，作AEBD于E， 且DAE：BAE=3：1，求CAE的度数 探究提高题 6把矩形ABCD绕顶点A旋转90后得到矩形AEFG (如图19212)，连接AF、AC、CF，则AFC _。 7现有一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形纸片，要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪拼_张 8如图20213，工人师傅做铝合金窗框分下面j 个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图)使AB=CD、EF=GH； (2)摆放成(如图)的四边形，则这时窗框的形状是_，根据的数学道理是_； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图)，说明窗框合格这时窗框是_，根据的数学道理是：_ 9已知：如图20214，正方形ABCD 的边长8，M在DC上，且DM=2，N 是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为_ 10如图20215a，正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DMMN，交对角线BF于点M 求：(1)线段DM和MN之间的关系，并加以证明； (2)如图b，当M是线段AE延长线上一动点，DM MN，交对角线BF延长线于点N，探究线段DM 和MN之间的关系，直接写出结果不必证明 拓展延伸题 11如图20一216，一张矩形纸片沿对角线剪开，得 到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成 如图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上 (1)求证：ABED； (2)若PBBC，请找出图中与此条件有关的一对 全等三角形，并给予证明 中考模拟题 12（2006黑龙江鸡西）如图20217，在矩形ABCD中。 EF AB，GHBC，EF、GB的交点