对一道数学趣题的解答的剖析与思考.doc

对一道数学趣题的解答的剖析与思考潘建辉 陈继林 张晓斌（1.重庆重庆邮电大学数理学院，4000652.重庆重庆市天星桥中学4000303.重庆重庆市教育科学研究院，400015）摘要：首先，通过列举并剖析人们对一道数学趣题的几种常见解答，发现结论为有解的解答存在逻辑漏洞，而结论为无解的解答却又丝毫未解决分牛纠纷接着，在将抽象问题与情景问题的解加以区别，并在“逐层分析，退求其次”解题策略下，通过求近似解，才使问题得到解决最后，根据网民、大一新生和期刊论文作者对本趣题解答情况的统计分析，发现了我国数学教育中存在的几个问题关键词：趣题解答；退求其次；统计分析；数学教育；质疑精神1 一道数学趣题及其常见解答有一道数学趣题，流传着许多种版本，大量出现在小学教材和课外读物里现以上海版六年级数学课本中的一道习题为例展开讨论古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把11头牛分给三个儿子，老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的.按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分三兄弟为此一筹莫展，你能帮助他们解决问题吗？ 据说，在场的一位智叟巧妙地解决了这个难题.他先借给他们1头牛，使牛的总数变成12，然后三兄弟按遗嘱中的比例各分得6头、3头和2头；最后，剩下1头，又还给智叟从而，问题得到解决，且各方皆大欢喜 在此方案启发下，人们想出了许多种解答方法常见的有：（1）借一法 先借1头，使牛的总数变成12三兄弟各分得总数12的，即6头、3头和2头最后剩下1头，物归原主这样，三兄弟既是按遗嘱份额要求，又是将11头整分完的所以，问题得解（2）级数法 因三兄弟的总份额为，故老大第一次从总数11中分得后，第二次可从总剩余量中，分得照此一直分下去，老大分得的总头数为同理，老二、老三分得的总头数各为3和2严格按遗嘱份额要求，11头被整分完问题得解（3）连比法 因，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解（4）方程法 设老大分得头，则老二和老三各分得头和头依题意得方程，解之得故三兄弟各分得6头、3头和2头按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解（5）舍入法 因，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头近似按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解但也有人认为这是一道错题，无法解即：（6）归错法 既要求三兄弟各分得总数的，又要求整分11，这无法实现所以，此为错题，无法解还有人认为此题自相矛盾，故无解即：（7）矛盾法 因，且总数11为素数，若按遗嘱要求，则11既不能被分尽，又不能被整分，故遗嘱内容自相矛盾，要求无法满足本题无解然而，这是错题吗？若否，又是否有解？若有，又该怎样解呢？2 对常见解答的剖析法（1）似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在逻辑漏洞因为实际是以12而非遗嘱要求的11为总数进行分配的，故推理有漏洞但这是否也说明智叟的解决方案有问题呢？本问题留在3.2节回答法（2）巧妙利用极限思想，既是一次次严格按遗嘱份额分配，又恰将11整分，似无毛病，但也有漏洞问题就出在“一次又一次地分割”，因遗嘱没说“一次不能分尽，可再分”就像叫小孩吃半个月饼一样，小孩不能先吃半个，再吃剩下半个的一半；否则，一直这样吃下去，几乎是要把整个月饼吃光的这就不是吃半个月饼了法（3）似乎既精巧又无懈可击，但仍有漏洞因“，且”表示“按的比例把11头牛分完”，但遗嘱要求的是分别把总数11头牛的分给三兄弟当且仅当几个正分数的和为1时，这两种分法才等价这里的，故两者不等价所以，法（）仍有漏洞法（4）虽巧妙利用了方程思想，但还是有漏洞问题就出在“依题意得方程”，因方程并不合题意错误的实质与法（3）同，即当且仅当几个正分数的和为1时，方程才符合题意故法（4）还是有漏洞法（5）似乎显得荒诞，但它或许蕴涵着某种重要的解题思想法（6）显然不对一方面，这是生活中可能出现的实际问题；另一方面，题中矛盾并非设计者考虑不周所致，而是为考验解答者智慧所精心设置故本题并非错题，而是匠心独运的好题法（7）似乎是唯一正确的解答，但本问题真的无解吗？下面我们来做进一步讨论尽管解答（7）已由非整数，否定了严格满足本题条件的整数解不存在，即认为无解，但这并未解决问题，因为我们所面临的是分牛的现实问题这里的“无解”既未告诉人们是否应该分牛，又未指出“若分，又该怎么分；若不分，又将怎么办” 所以，解答（7）实际上并未解决分牛纠纷为什么会出现这样的尴尬，我们又该怎样解决这一矛盾呢？为此，我们尝试用下面的办法，看是否能解决问题3 本题在“逐层分析，退求其次”解题策略下的解决方案3.1 “逐层分析，退求其次”的解题策略为解决与本趣题类似的问题，不妨，我们将数学解答题分为情景化问题和抽象化问题（下面简称情景问题和抽象问题）两大类如“一个小孩先吃2个苹果，再吃3个苹果，问小孩一共吃了几个苹果？”，就是一个具有情景的数学问题我们可以把它抽象成“”，这里的“”就是前面的情景问题对应的抽象问题于是，解答数学问题时，需分类进行对于抽象问题，首先应判断其前提是否有矛盾或不周密若是，则问题无解；若否，则继续解下去但对于情景问题，情况要复杂得多通常，我们是将其转化为抽象问题来解的当抽象问题有解时，还要看该解是否与情景相符若是，则抽象问题的解就是对应情景问题的解；若否，则它不是情景问题的解，应舍去当抽象问题无解时，人们往往误以为对应的情景问题就一定无解然而，事实并非如此这是为什么呢？因为尽管抽象问题是由同一类情景问题族抽象而来，且族内任一情景问题都是该抽象问题的具体化，然而两者的解的含义却有很大差异抽象问题的解，是严格满足命题条件的待求元的值；情景问题的解，却是该问题的解决方案，它不一定会严格满足命题的所有条件当抽象问题无解时，只能说，其对应的情景问题无严格满足所有条件的精确解，而不能说它无解为使情景问题得到解决，在它无精确解时，我们就要退而求其次，看是否能求得近似解，从而给出这一情景问题的最佳解决方案至于能否和怎样寻求最佳解决方案的问题，似可用“逐层分析法”即把问题所包含的矛盾分层次，且从高到低以次排列，使低层矛盾的解决以高层矛盾的解决为条件对于无精确解的情景问题，因至少存在某层矛盾得不到解决，故需优先解决高层矛盾，直到某层矛盾不能解决为止；最后，再针对该层矛盾求问题的近似解因此，求解数学问题的方法或步骤可归结如下：（1）分清待解的是抽象问题，还是情景问题（2）对于抽象问题，首先应判断其前提是否有矛盾或不周密若是，则问题无解；若否，则继续解下去（3）对于情景问题，一般是先将其转化为对应的抽象问题来解，然后根据表1中两类问题解的对应关系，求出或确定情景问题的解若抽象问题无解，则还需用“逐层分析法”确定情景问题近似解的存在情况，从而得到问题的解决方案表1 抽象问题与情景问题解的对应关系问题类型抽象问题情景问题解的对应关系有解有（精确）解无解无解无解有（近似）解3.2 本趣题在“逐层分析，退求其次”策略下的解答下面，我们就按上述步骤和策略来解答本题这是一个关于解决分牛纠纷的数学情景问题由解法（7）知，其抽象问题的前提存在矛盾，故抽象问题无解，但根据步骤（3）表1中情景问题与抽象问题解的对应关系知，本分牛问题可能存在近似解若将题中矛盾按从高到低依次分成“是否分牛”、“是否整分牛”和“是否严格按遗嘱要求分牛”3层，则根据“逐层分析法”求近似解的规则，应优先解决上两层矛盾，让它们的状态都变成“是”，即在“分牛”且“整分牛”的前提下求近似解为此，可用前述方法（1）（5）中任意一种求解，且结果相同，即3兄弟各分得6头、3头和2头至此，我们看到，由方法（1）（5）得到的最终解决方案与智叟的一致，且都是近似解，但它们又存在很大差别方法（1）（4）在推理过程中，都存在逻辑漏洞；方法（5）虽蕴涵了“无精确解，就退而求其次”的 解题思想，但还是略显“武断”；惟有智叟，他只给出了处理纠纷的方案，而未象方法（1）（4）那样，还给出了含有逻辑漏洞的解释因此，不仅智叟的方案正确，而且其处理方法，对于古印度山区没有多少文化的农民来说，可谓是十分绝妙的4 从人们对本题解答情况统计看数学教育4.1 关于人们对本题解答情况的统计（1）对网民解答情况的统计笔者于2007年9月2日，在“百度”搜索网站，分别以“分牛”、“分马”、“分羊”和“分牛问题”为关键词搜索，再截取各关键词搜索到的前10页中与解答类似本趣题有关的帖子，获得对网民解答统计情况，如表2表2 对网民解答情况的统计解答类别借一法借一法与另一方法借一法与另两方法质疑答案判为无解完整解答总计帖子数75232510106百分比71%22%2%5%1%0%100%（2）对大一新生解答情况的统计为掌握学生对本题的解答情况，并找出其不能正确解答的原因，笔者对重庆邮电大学07级经济学和市场营销两个专业共105名来自全国各地的本科新生，就是否知道“智叟分牛”的故事、是否接触过与本趣题类似的问题，以及接触的时间和途径等，进行了问卷调查，并要求他们给出解答对问卷回答及趣题解答情况的统计如表3和表4表3 对大学生入学前与本题接触情况的统计项 目是否接触过本趣题是否知道分牛故事首次接触的时间首次接触的途径是否是否小学初中高中上课阅读上网听说其它人 数6936 22 831730221439196百分比66%34%21%79%16%29%21%13%37%1%9%6%表4 对大一新生解答情况的统计解答类别未解答借一法连比法级数法方程法舍入法判为无解完整解答总计人数2866711110105百分比27%63%7%1%1%1%1%0%100%（3）对期刊论文解答情况的统计以“分牛”、“分马”、“分羊”、“趣味数学题”、“数学名题”和“借一还一”为题名或关键词，通过维普资讯-中文科技期刊数据库检索1989年-2007年的全部期刊，共获21篇与解本题有关的论文其中的解答情况统计如表5表5 对期刊论文解答情况的统计解 答类 别仅用借一法借一法与另一方法借一法与另两方法判为错题判为无解质疑借一法等完整解答总计篇 数591123021百分比24%43%5%5%10%14%0%100%4.2 从统计情况看数学教育从以上统计，可看到我国数学教育中存在如下问题：（1）学生受常规思维束缚严重尽管这是一道小学的分配问题，但由于它不合常规，所以，在常规思维束缚下，约有27%的大一学生不能或不敢做答，另约有72%的学生只能用含有逻辑漏洞的常规方法“武断”地解出答案所以，中国数学教育中，常规思维训练太甚，创新思维培养严重不足（2）迷信权威，不善质疑一方面，教育“权威”因错误理解“智叟分牛”的内涵，在将“分牛问题”编入小学数学教材和初中数学课外读物时，给出了错误的解答（如“借一法”、“连比法”等）另一方面，大量的中小学教师，在不加质疑的情况下，又把这些似是而非的方法传授给了学生所以许多学生对“借一法” 和“连比法”等“权威”解法深信不疑，并大胆运用这里的统计显示，网民、大一新生和论文作者，采用“借一法”的人数，各约占其总解答人数的95%，86%和71%即他们对“借一法”提出质疑的人数，各约占其总解答人数的5%、14%和29%（3）成人的解题思想，受其职业背景影响显著从期刊论文看，数学教师多数是把“借一法”作为所谓的重要 “解题思想”来运用，且小学教师多用“借一法”与“连比法”（如文6，11，12，14，15），初中教师多用“借一法”与“方程法”（如文8，10，13，17，18），高中教师多用“借一法”与“级数法”（如文7，9，16）；非数学教师，则多将“借一法”用于商业和爱情等方面，表示“有付出，就有回报”的比喻意义（如文21，22）（4）部分作者治学态度欠严谨从期刊论文的内容和发表时间上看，观点重复或已被否定的文章，有在同类或相同期刊上反复出现的现象（如文11，23，24与文11，25；文10，16，17，18与文6，20）这似乎表明，有关论文作者，其治学态度欠严谨总之，从人们对本题的解答情况，可看出我国数学教育中存在的部分问题这是值得我们思考的参考文献1 柯召，孙琦单位分数M北京：科学出版社，20022 义务教育数学课程标准研制组组编. 数学（六年级上册）M北京：北京师范大学出版社，20063 宋乃庆主编数学（六年级上）M重庆：西南师范大学出版社，20074 吴正宪主编易学易考数学（六年级上册）M北京：人民教育出版社，2007.5 黄家礼对“分牛”问题解答的意见J数学教学，2003，（7）：10-126 张贵贤在数学活动课中开展“名题讲座”J.小学教学研究，2001，（5）：18.7 王国平酋长分马与数列的极限J数学学习与研究，2002，（4）：47-48.8 李殿起“分马”与“喝水” J初中数学教与学，2002，（7）：48-49.9 敖大山分马传说今日谈J中学生数学，2003，（8）：32.10 曾勇从分马“术”得到的启示J中学数学杂志（初中），2004，（4）：34-35.11 徐桂珠一道古名题的两种解法J小学教学研究，2004，（5）：35.12 于连庆分羊问题的讨论J小学生课程辅导（数学辅导版），2004，（5）：35.13 陆海权“借马分马”的启迪J中学数学辅导（初一版），2004，（7）：38.14 秦成义按比例分配与分马问题J小学生课程辅导（数学辅导版），2004，（7）：61-62.15 王浩，林向阳师徒四人齐分马J小学生（中高级版），2004，（10）：12-15.16 周业友“借羊分羊”思想在数学解题中的应用J数学教学通讯，2005，231（2）：89-90.17 苏三林阿凡提巧用“借一还一法” J数学学习与研究（初一版），2006，（10）：18.18 祝裔胜从借马分马谈起J中学数学杂志（初中版），2007，（2）：26-28.19 张维中一道错题两种错解J河北教育（教学版），2007，（1