2015中考数学复习《一元二次方程根的判别式的若干应用》.doc

一元二次方程根的判别式的若干应用 一元二次方程根的判别式是初中数学学习的的重点，是重要的基础知识，也是解数学题的重要工具，它能用于判定方程根的情况，证明二次三项式为完全平方式，利用其构造一元二次方程，进行代数恒等式或不等式的证明；与几何知识相联系时，还可以解决判断三角形的形状；解决二次函数相关问题等本文列举几种常见的题型及解法，供读者学习参考 一、不解方程判定方程根的情况 例1 关于x的方程2x2kxk30的根的情况是( ) (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定 解 (k)242（k3）k28k24（k4)28 显然，不论k取何值时总有 （k4)280 所以，方程总有两个不相等的实数根，故选A 二、根据方程根的情况求字母系数或代数式的值 例2 判断是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2(2m1)x10有两个实数根，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由解 由题意，得 解得m，且m0 而在此范围内的非负整数不存在，故不存在符合题意的非负整数m 三、根据方程根的情况确定待定系数的取值范围 例3 k为何值时，关于x的一元二次方程x26xk70 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根 分析 由判别式定理的逆定理可知： (1)0；(2)0；(3)0，即84k0， 解得k2； (2)方程有两个不相等的实数根， 0，即84k0， 解得k2； (3)方程有两个不相等的实数根， 0，即84k2 四、判断二次三项式能否分解因式 例4 已知k为非正数，试判断二次三项式6x24x7k在实数范围内能否分解因式 解 假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即 6x24x7k6（xx1）（xx2）， 则方程6x24x7k0有两个实数根， 故有（4）2467k0， 解得k 因为已知的k值在此范围内，所以已知式在实数范围内能分解因式 五、确定二次三项式是完全平方式的条件 例5 已知关于x的二次三项式(m2)x2mx2是一个完全平方式，求m的值 分析 因为关于x的二次三项式(m2)x2mx2是一个完全平方式，所以关于x的方程(m2)x2mx20有两个相等的实数根， b24ac(m)24(m2)（2）0 解得m4 六、证明方程根的情况 例6 设a、b、c互不相等且abc0，求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0，不可能都有两个相等的实数根 证明 假设这三个方程都有两个相等的实数根，则 14b24ac0， 24c24ab0， 34a24bc0 将这三式左右两边分别相加整理，得 a2b2c2abacbc0 再两边同乘以2后配方，得 (ab)2(bc)2(ca)20 abc 这与题设a、b、c互不相等矛盾，故假设不成立，即命题成立 七、判定三角形的形状 例7 设a、b、c是ABC的三边长，且关于x的方程c（x2n）b（x2n）2ax0(n0)有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 解 将原方程整理，得 (cb)x22xcnbn0 (2a)24(cb)(cnbn)4n（a2b2c2）0 n0 a2b2c20 即a2b2c2 故ABC是直角三角形 八、讨论方程有理根的问题 例8m为有理数，讨论后为何值时，方程x24(1m)x3m22m4k0的根总为有理数 解 4(1m)24(3m22m4k)4（m26m4k4） 要使原方程的根总为有理