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第一章机械振动 机械振动 第一章 教学重点 1 理解简谐振动的动力学特征2 掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法3 旋转矢量法4 理解简谐振动的能量特征 广义振动 任一物理量 如位移 电流等 在某一数值附近周期性变化 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 对力学系统来讲 振动的形式就是机械振动 复杂振动 简谐振动 最简单最基本的线性振动 简谐振动 一个作往复运动的物体 如果其偏离平衡位置的位移x 或角位移 随时间t按余弦 或正弦 规律变化的振动 第一节简谐振动 一 简谐振动的动力学特征 平衡位置 质点在某位置所受的力 或沿运动方向受的力 等于0 则此位置称为平衡位置 简谐振动是最简单最基本的线性振动 从动力学观点看 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动 此为从动力学的观点定义的简谐振动 线性回复力 若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移 线位移或角位移 成正比 且指向平衡位置 则称此作用力为线性回复力 若以平衡位置为原点 以X表示质点相对于平衡位置的位移 则 一 弹簧振子模型 弹簧振子 弹簧 物体系统 平衡位置 弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧 质量忽略不计 形变满足胡克定律 物体 可看作质点 问 弹簧振子是否在做简谐振动 简谐振动微分方程 简谐振动的另一种普遍定义 若质点的运动学方程可以归纳为 其中为决定于系统本身固有性质 则质点做简谐振动 其通解为 一 简谐振动的运动学方程 二简谐振动的运动学特征 简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程 二 描述简谐振动的特征量 1 振幅A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移 或角位移 的绝对值 如何由初始条件求振幅 频率 单位时间内振动的次数 2 周期 频率 圆频率 角频率 周期T 物体完成一次全振动所需时间 0是t 0时刻的位相 初位相 3 相位和初相位 相位 决定谐振动物体的运动状态 三式中任选两式可以决定初相位 若已知初始条件 相位差两振动相位之差 当 2k k 0 1 2 两振动步调相同 称同相 当 2k 1 k 0 1 2 两振动步调相反 称反相 2超前于 1或 1滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落 谐振动的位移 速度 加速度之间的位相关系 总结 1 简谐振动是周期性运动 2 简谐振动各瞬时的运动状态由决定 3 简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定 而不仅决定于系统本身的性质 还决定于初始条件 三 简谐振动的表示法 1 解析表示法利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动 优缺点 2 复数表示法利用欧拉公式 取实部 采用旋转矢量法 可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义 旋转矢量 一长度等于振幅A的矢量在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转 其角速度与谐振动的角频率相等 这个矢量称为旋转矢量 3 简谐振动的旋转矢量表示法 矢量为一长度不变的矢量 以恒定的角速度 逆时针转动 分析 匀速旋转的矢量在坐标轴上的投影 1 表示一特定的简谐振动的位移 2 此简谐振动的振幅为A 固有圆频率为 初相位为 0 振动相位 逆时针方向 M点在x轴上投影 P点 的运动规律 的长度 旋转的角速度 旋转的方向 与参考方向x的夹角 振幅A 振动圆频率 简谐振动的矢量图示法 分析 匀速旋转的矢量的矢端速度在坐标轴上的投影 1 表示一特定的简谐振动的速度 2 振动质点位于上半圆时 位于下半圆时 分析 匀速旋转的矢量的矢端法向加速度在坐标轴上的投影 1 表示一特定的简谐振动的加速度 2 振动质点位于右半圆时 位于左半圆时 进一步理解 将旋转矢量用于弹簧振子 具体说明4个特殊点在弹簧振子上的对应位置 记住四个特殊位置的点 简谐振动的质点处于正向最大位移并向平衡位置运动 速度为0 加速度为负最大 简谐振动的质点处于负向最大位移并向平衡位置运动 速度为0 加速度为正最大 简谐振动的质点处于平衡位置并向正向最大位移运动 速度为正向最大 加速度为0 简谐振动的质点处于平衡位置并向负向最大位移运动 速度为负向最大 加速度为0 因在x轴投影为0 用旋转矢量表示相位关系 同相 反相 由图可见 两个同频率的简谐运动 相位之差为 采用旋转矢量直观表示为 简谐振动的矢量图示法 以弹簧振子为例 谐振动系统的能量 系统的动能Ek 系统的势能Ep 某一时刻 谐振子速度为v 位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 四 简谐振动的能量 动能 势能 情况同动能 机械能 简谐振动系统机械能守恒 由起始能量求振幅 弹簧振子的总能量决定于劲度系数和振幅 例1已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示 试求其振动方程 解 方法1 设振动方程为 故振动方程为 方法2 用旋转矢量法辅助求解 v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位 由图知 例2一物体沿X轴作简谐振动 振幅A 0 12m 周期T 2s 当t 0时 物体的位移x 0 06m 且向X轴正向运动 求 1 简谐振动表达式 2 t T 4时物体的位置 速度和加速度 3 物体从x 0 06m向X轴负方向运动 第一次回到平衡位置所需时间 解 1 取平衡位置为坐标原点 谐振动方程写为 其中A 0 12m T 2s 初始条件 t 0 x0 0 06m 可得 据初始条件得 2 由 1 求得的简谐振动表达式得 在t T 4 0 5s