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高三数学复习专题 平面向量一、考点透视本章考试内容及要求：平面向量的有关概念B级平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级平面向量的数量积C级（老教材为D级）向量的坐标表示C级向量运算的坐标表示C级平行向量及垂直向量的坐标关系C级向量的度量计算C级注：B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。二、复习要求1理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；2掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；3掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；4能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。三、复习建议向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。四、知识要点1平面向量的有关概念（1）平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB表示向量。以A为始点，B为终点的向量，记作，也可用加黑的小写字母a表示。向量的大小，也就是的模 (或称长度)，记作。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a的单位向量是指与向量a方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作，。（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若向量a、b、c平行，记作abc。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。（6）负向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的负向量。2向量的运算(1)向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。加法法则aaa+bbba+b图61图62三角形法则(见图61)；平行四边形法则(见图62)。运算性质：a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c） a+0=0+a=a坐标运算：baa-b图63设a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则a+b=（x1+x2，y1+y2）。（2）向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法。减法法则三角形法则(见图63)坐标运算：a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则a-b=（x1x2，y1y2）。设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)，则=（x1x2，y1y2）。（3）实数与向量的积定义：一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：当其中，a与a同向，|a|=|a|；当0时，a与a反向，|a|=|a|；当=0时，a=0。运算律： a）=（）a，（）a=a+a，（a+b）=a+b。坐标运算：设a=（x，y），则a=（x，y）=（x，y）。(4)平面向量的数量积定义：ab=|a|b|coa，（a0，b0，。规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0a=0。 重要性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1) ea=ae=|a|cos。(2) abab=0。(3) 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab= |a|b|。特别地，aa=|a|2或|a|=。(4)(5) |ab|a|b|。运算律 ab=ba，（a）b=a（b）=（ab），（a+b）c=ac+bc。坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2。3重要定理、公式（1）两个非零向量a，b平行的充要条件aba=b。设a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则。（2）两个向量垂直的充要条件abab=0设a=（x1，y1），b=（x2，y2)，则ab x1x2+y1y2=0。（3）平面上两点间的距离公式设表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2)，那么|a|=。(4)线段的定比分点公式设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2)，且，则。中点坐标公式五、例题解析【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？（1）若a=b，则ac=bc；（2）若ab=cd且x=y，则(ab)x=(cd)y；【分析】（1）真命题。a=b，|a|=|b|且a与b同向，a，b与c夹角相等，设夹角为，则ac=|ac|cos=|b|c | cos= bc。（2）真命题。由ab=cdR，可设ab=cd=k，x=y，kx=ky。【例2】有四个等式：（1）0a=0，（2）0a=0，（3），（4）|ab|=|a|b|，其中成立的个数为 （ ）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个【分析】(1)0a表示零向量与任意向量a的数量积，其结果是数0而不是零向量；(2) 0a表示实数0与向量a的乘积，其结果应为零向量，而不是数0；(3) 等式0成立；(4)对 ab数量积的定义式两边取绝对值，得|ab|=|a|b|cos|，只有=0， 时，|ab|=|a|b|才成立。应选D。【点评】例1、例2考查向量的加法、减法、实数与向量的乘积及数量积这四种运算及有关概念。【例3】如图64所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点，求证：。 OADCBP图64【分析】注意到O是AC、BD的中点，与，与互为负向量。【证明】O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点 O为AC及BD的中点。，图53 图53。故。【点评】本题考查向量加法、减法的几何意义（即几何形式）。【例4】已知|a|=4，|b|=5，（1）当ab，（2）ab，（3）a与b的夹角=120，求ab。【分析】直接利用向量数量积的定义解题。图53【解】（1）当ab时，若a与b同向，则=00，从而ab=|a|b|cos00=45=20；若a与b反向，则=1800，从而ab=|a|b|cos1800=45（-1）=-20；（2）当ab时，=900，ab=|a|b|cos900=0；（3）当a与b的夹角=120时，则ab=|a|b|cos=54cos120=54（）= -10。【点评】本题考查平行向量、垂直向量、向量夹角及向量数量积等有关概念和知识。图53【例5】三角形ABC的三边长均为1，且=a，=c，=b，求ab+bc+ca的值。ABCcab图65【分析】由已知条件可知：a、b、c两两夹角均为。【解】如图65，由题意：|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c两两夹角均为。ab=|a|b|=。同理：bc=ca=，故ab+ bc+ca=。【点评】本题考查向量夹角、向量数量积知识。AOCB图66【例6】求证：直径所对的圆周角是直角。如图66， 已知AC为O的一条直径，ABC是圆周角。求证：ABC=900。【分析】要证ABC=900，即要证明，即证明=0，可用平面向量的数量积知识证明。【证明】设，则，而|=|，=（+）（-）=|2-|2=0，故，即ABC=900。【点评】本题考查向量数量知识在平面图形中的应用。【例7】已知A（1，2），B（3，1），C（-1，0）。（1）求向量的坐标，并求它的模；（2）取点D，使，求点D的坐标；（3）设向量与的夹角为，求cos的值；（4）求平行四边形ABCD的面积。【解】（1）=（3-1，1-2）=（2，-1），|=；（2）设D（x，y），则（x+1，y）=(2,-1)， x=1，y=1， D（1，1）。（3）=（-2，-2），|=，=|cos= cos，=2(2)+( 1) (2)= 2， cos=。（4）SABCD=2SABC=|sin=|=6。【点评】（1）本题考查向量的坐标形式的加、减法运算公式和向量模的公式；（2）本题考查向量的坐标形式相等概念；（3）本题考查向量的夹角公式；（4）本题考查三角形面积公式。【例8】已知|a|=2，|b|=5，ab=3，求|a+b|和|a-b|。【分析】先计算|a+b|2和|a-b|2，利用|ab|2=（ab)2就非常方便。【解】|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=46+5=3，|a+b|=。|ab|2=(a-b)2=a22ab+b2=|a|22ab+|b|2=4+6+5=15，|ab|=。【点评】图614本题考查向量数量积的运算律。【例9】已知|a|=5，|b|=4，且a与b的夹角为600，问当且仅当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直？【分析】利用两个向量垂直的充要条件来证。【证明】（ka-b）（a+2b）（ka-b）（a+2b）=0，即ka2+（2k-1)ab2b2=0。k52+(2k-1) 54cos600242=0。k=。【点评】图614本题考查向量数量积的运算公式和运算律。【例10】已知e1与e2是夹角为600的单位向量，且a=2e1+e2，b=3e1+2e2，求ab及a与b的夹角。【分析】由于e1与e2都是单位向量，且其夹角已知，故可求得e1与e2的数量积，进而可以求得ab，再利用模的公式求|a|与|b|，代入夹角余弦公式，可求a与b的夹角。【解】e1与e2都是单位向量，且其夹角为600，e1e2=|e1|e2|cos600=11=。ab=（2e1+e2)( 3e1+2e2)= 6e12+ e1e2+2e22=6|e1|2+ e1e2+2|e2|2=6+2=。而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4 e1e2+e22=4|e1|2+4 e1e2+|e2|2=4+4+1=7。|b|2=b2=( 3e1+2e2)2=9e1212e1e2+4e22=9|e1|212 e1e2+4|e2|2=96+4=7，|a|=,|b|=,于是，。ab=， =1200。【点评】本题考查向量数量积的运算律、运算公式和夹角公式。【例11】已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，(1)ka+b与a-3b垂直？(2)ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？【分析】由已知启发我们先用坐标表示向量ka+b与a-3b，然后用两个向量平行和垂直的充要条件解答。【解】 (1)ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)，a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)当(ka+b)(a-3b)=0时，这两个向量垂直由(k-3)10+(2k+2)(-4)=0，解得k=19，即当k=19时，ka+b与a-3b垂直(2)当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b)由(k-3，2k+2)=(10，-4)，得。这是一个以k、为未知数的二元一次方程组解这个方程组得，即当时，向量ka+b与a-3b平行，这时ka+b=a-b。因为0。（1）将数量积ab用k表示；（2）试比较数量积ab与的大小。34解：由|ka+b|=|akb|,得|ka+b|=3|akb|，即35设两向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围。3536 设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值36解： 设 点P在直线OM上， 与共线，而， x2y=0即x=2y，有 ， = 5y220y+12= 5(y2)