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第七章数学物理定解问题 内容几类典型的数学物理方程的导出定解条件方程的分类达朗贝尔公式 物理规律或工程科学与技术问题的数学表达式中 有许多是微分方程 质点力学 质点的位移 电路 电流 电压 以时间为自变量的常微分方程 空间连续分布的物理场 静电场电场强度或电势电磁波电场强度或磁场强度 以时间和空间坐标为自变量的偏微分方程 物理和工程技术问题用偏微分方程表达出来 叫做数学物理方程 个性 边界条件 初始条件 定解条件 泛定方程 在给定的定解条件下 求解数学物理方程 数学物理定解问题 定解问题 解决问题 数学表示 物理规律 共性 第一节数学物理方程的导出 一 弦振动方程 物理模型 一长为l的柔软 均匀的细弦 拉紧以后 让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动 求弦上各点的运动规律 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题 要确定弦的运动方程 需要明确 确定弦的运动方程 2 被研究的物理量遵循哪些物理定理 牛顿第二定律 3 按物理定理写出数学物理方程 即建立泛定方程 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 据牛顿第二定律 u方向运动的方程可以描述为 作用于小段 的纵向合力应该为零 1 2 利用微小振动近似 u 很小 所以有 2 简化为 每个时刻都有 ds dx 长度ds不随时间而变 张力T是常数 T Const T与x无关 将近似关系式代入 1 得 即 令 弦振动方程 波动方程 一维波动方程 推广1 受迫振动 设均匀弦沿位移方向还受到外加横向力的作用 单位长度受力为F x t 则方程 1 为 若令 可得均匀弦的受迫振动方程 非齐次项 非齐次一维波动方程 齐次一维波动方程 推广2 二维 三维波动方程 非齐次 齐次 齐次 非齐次 二维 均匀薄膜的微小横振动 三维 流体力学与声学方程 电磁波方程 推广3 均匀杆的纵振动 段的运动方程为 可得 这就是杆的纵振动方程 对于均匀杆 和Y是常数 其中 二 热传导方程 由于物体内各处的温度不均匀 热量从温度髙的地方流向低的地方 叫做热传导 热传导问题是研究温度在空间中的分布和时间中的变化 热流强度 单位时间通过单位面积的热量 热传导定律 傅立叶定律 分量公式 热传导 热传导系数 物体的比热 物体吸收 或放出 热量dQ 将引起温度的升高 或降低 du 密度 物体的比热 因为体积元很小 因此 3 热传导方程 取物体内部体积元为一平行六面体 沿x轴方向 热流分量qx左表面 右表面 沿y轴方向 热流分量qy前表面 后表面 沿z轴方向 热流分量qz下表面 上表面 这些热量引起温度的变化 将上式代入 1 得 即 对于均匀各向同性的物体 K c 是常数 所以 则得方程为 令 齐次三维热传导方程 2 如果在物体中存在着热源 热源强度 单位时间在单位体积产生的热量 为F x y z t 则热传导方程应为 推广1 有源热传导 则得非齐次的三维热传导方程为 令 推广2 扩散方程 为扩散系数 第二节定解条件 边界条件 初始条件 定解条件 泛定方程 数学物理方程 普遍性 特殊性 一 初始条件 与时间有关的物理过程 必须给出初始条件 2 热传导方程 或扩散方程 初始状态指所研究的物理量u的初始分布 初始浓度分布 初始温度分布 解 初始时刻就是放手的那一瞬间 按题意初始速度为零 即有 初始位移如图所示 二 边界条件 边界上的物理状况 线性边界条件 三类 类 规定所研究的物理量在边界上的数值 类 所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值 类 所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值 即 类 类 类 第一类边界条件 Dirichlet 边界条件 弦的两端x 0和x l固定而振动 杆的热传导问题 若杆的一端x a处绝热 第二类边界条件 Neumann 杆的热传导问题 若杆的一端x a的温度u按已知规律f t 变化 恒温 第三类边界条件 杆的热传导问题 x L的一端处在一