数学2-2第一张1.4-1.7导学案.doc

1.4.1生活中的优化问题举例(1)一、学习目标：1. 熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”的解决方案；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.3.体会数学建模的过程，培养学生主动发现问题，分析问题，解决问题的能力二、问题情境：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题三探究新知（一）用料最省问题【探究1】 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 【思考】1.在课本例1中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？ 2是否还有别的解法？【巩固提升】：1. 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？2. 用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，面积为am2，为了所用材料最省，底宽应为多少？3. 一艘船的燃料费与船速的平方成正比，如果此船速度是10千米每小时，那么每小时的燃料费是80元，已知船航行时其他费用为480元每小时，在20千米的航程中，航速多少时船行驶总费用最少（精确到1千米每小时）？此时每小时费用等于多少（精确到1元）？（二）利润最大问题【探究2 】:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【思考】1.r取何值时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等 2.当r（0,2）时，原函数是减函数，你能解释它的实际意义吗？【巩固提升】1、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系为C=100+4q，单价p与产量q的函数关系式为p=25-q，求产量为何值时，利润最大？2.已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖是400头，每养1头猪，成本增加100元，如果收入函数是R（q）=-q2+400q（q是猪的数量），每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？【课堂小结】1. 解决优化问题的基本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3. 数学中求最值经常用哪几种方法1.4.1生活中的优化问题举例（2)一学习目标：1. 熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”的解决方案；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.3.体会数学建模的过程，培养学生主动发现问题，分析问题，解决问题的能力二【复习回顾】1. 解决优化问题的基本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤三、探究新知（三）效率最高问题【探究3】 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？【思考】如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？【巩固提升】1. 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一半的长多出0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？2. 用半径为R的圆铁皮剪去一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？（四）无盖方盒的最大容积问题一边长为a的正方形铁皮，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒（1） 试把方盒的容积V表示为x的函数（2） x多大时，方盒的容积最大？ （五）房价问题某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部注满，房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？（六）团体旅行问题某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元，如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均费用降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团，可使旅行社的收费最高？【课堂小结】1. 解决优化问题的基本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3.数学中求最值经常用哪几种方法1.5定积分的概念一、学习目标 1理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3明确定积分的几何意义和物理意义；4无限细分和无穷累积的思维方法.二、预习与反馈（预习教材P38 P47，找出疑惑之处）1用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、.2.定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式。当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，其中称为，称为，称为，为，为，为， “”称为积分号。3的实质（1）当在区间上大于0时，表示；（2）当在区间上小于0时，表示；（3）当在区间上有正有负时，表示；4定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质：（1）（为常数）；（2）；（3）（其中）。特别提醒1 定积分的值只与被积函数及被积区间有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分是一个常数，当被积函数及被积区间给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间的分法和的取法外，也不依赖于中的积分变量，即。2由积分符号可知，积分变量的变化范围是.3定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程。4运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解。三、合作学习例1 利用定积分的定义，计算的值。 变式：利用定积分的定义 的值例2 利用定积分的几何意义计算下列定积分（1） （2） （3）变式：利用定积分的几何意义说明下列等式成立 =2课堂小结 1. 求曲边梯形的面积；2. 会计算定积分.课堂训练：1. 设在上连续，且，（为常数），则（ ）A B C0 D2. 设在上连续，则在上的平均值为（ ）A B C D3. 设是连续函数，且为偶函数，在对称区间上的定积分，由定积分的几何意义和性质=（ ）A0 B C D4. 与的大小关系为 5. = 6. 试用定积分的几何意义说明的大小.7. 利用定积分的性质和几何意义求定积分的值1.6微积分基本定理(1)学习目标 1理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足的函数.一、新课导学问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是.由导数的概念可知，它在任意时刻的速度.设这个物体在时间段内的位移为S，你能分别用表示S吗？新知：如果函数是上的连续函数，并且，那么 这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿莱布尼兹公式为了方便起见，还常用表示，即试试：计算反思：计算定积分的关键是找到满足的函数. 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出 .例1 计算下列定积分：（1）； （2） （3）小结：计算定积分的关键是找到满足的函数. 例2. 计算下列定积分：， ， .变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.； ； 小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于轴上方的曲边梯形面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.二、总结提升 学习小结1.理解掌握牛顿莱布尼兹公式. 2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果.三、当堂检测1、设连续函数，则当时，定积分的符号（ ）A正 B.当时为正，当时为负C负 D以上结论都不对2、函数的一阶导数是（ ）A B C D3、与定积分相等的是（ ）A BC D.4、= 5、= 6、= 7、= 8、（1）； （2）.9、计算定积分的值，并从几何上解释这个值表示什么.1.6 微积分基本定理(2)课内练习一、选择题 1. 已知则下列等式正确的是（ ） 2.若满足 ，则的解析式一定是（ ）A. B. C. D.3.设，则（ ）A. B. C. D.不存在4. 等于( )A. B. C. D.5. ( ) A. B. C. D.二、填空题6. _. 7. 函数的导数是_.8. 若，则_.三、解答题9.求下列定积分的值. 10.已知，且，求、的值. 课外拓展一、选择题11. =( )A. B. C. D. 12. 下列有定义的定积分为( )AB。C。D。13. 若，且a1，则a的值为( )A. 6B. 4C. 3D. 214下列命题：若是定义在R上的奇函数，则为R上的偶函数；若是周期为的周期函数，则；。 其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 315. =( )A. 21B. 22C. 23D. 24二、填空题16. 若，则_. 17. = .18. = .三、解答题19.计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）。20.已知求的最大值.1.7.1定积分在几何中的应用学案【学习目标】1理解定积分概念、性质和几何意义的基础上，利用微积分基本定理，熟练进行定积分的计算；2掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。【学习重难点】重点：理解定积分概念和性质。难点：用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。【学习过程】一、学前准备1（）（）（）（）（）（）直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积S怎样用定积分表示，它的大小是多少？利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？二、合作探究：探究：定积分在几何中的应用 问题： 如何用定积分表示曲边图形的面积? y o 1O 1 x 图1 图2 图3 图4试一试：(1)图1中阴影部分的面积S=_ (2)图2中阴影部分的面积S=_ (3)图3中阴影部分的面积S=_ (4)图4中阴影部分的面积S=_新知：1当在上有正有负时，则。2平面图形是由两条曲线及直线所围成，且.其面积都可以用公式求之.三、典型例题例1 计算由曲线，所围图形的面积S。例2 计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积S。算一算：函数的图像与轴围成的图形的面积。小结：由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观性,确定出被积函数,并通过解方程求得积分的上、下限求曲边梯形面积的方法与步骤：(1)画图：通过草图了解平面图形图形由哪些曲边梯形而成；(2)定限：对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)被积：确定被积函数，要注意分清被积函数的上、下位置；(4)计算：用微积分基本定理计算定积分，求出每个曲边梯形的面积之和，得所求平面图形的面积.四、学习检测（展示实力的时候到了，要细心呦！）1如右图，阴影部分面积为（ ） Adx Bdx Cdx Ddx若与是上的两条光滑曲线的方程，则由这两条曲线及直线所围成的平面区域的面积为（ ）A B C D3如右图，阴影部分的面积是（）ABCD4曲线与坐标轴所围图形的面积是（ ）A2 B3 C D45计算由，所围图形的面积 6计算由，所围图形的面积.五、学习小结1、求曲边图形面积的步骤是_。2、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：y类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积Sxoabc(3)(2)(1)xyo(1) S= _ (2) S=_ (3)S=_类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S yxba(5)(4)（4）S= _ （5）S=_1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：1、会用定积分求变速直线运动的路程2、会用定积分求变力做功学习重点：利用定积分求变速直线运动的路程和变力做功学习难点: 把物理问题转化为定积分问题 一、知识链接：1、，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即2、物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (ab) ，变力F(x）所作的功 二、新课讲授：利用定积分求变速直线运动的路程和变力做功：预习教材58页-59页三、合作探究：例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示求汽车在这1 min 行驶的路程例2（1）、在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功（2）、如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功多少？例3A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。四、课堂练习：1、一物体沿直线以v=2t+3（t的单位：s，v的单位m/s）的速度运动，求该物体在3-5s行进的路程。2、一物体在力F（x）=3x+4(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力相同的方向从x=0处运动到x=4处，求力F（x）所做的功。3、以初速度40m/s垂直向上抛一物体，ts时刻的速度（单位m/s）为v=40-10t,问多少秒后此物体达到最高，最大高度是多少？4、物体A以速度v=3t21(t的单位：s，v的单位m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的前方5米处，以v=10t的速度与A同向运动，两物体何时相遇？相遇时与物体A的出发地的距离是多少？5、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度(t的单位：s，v的单位m/s)紧急刹车至停止，求：v(t)=5-t+（1）、从开始刹车到完全停止所经过的时间。（2）、紧急刹车后火车行驶的路程。五、课外检测：1、一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0s到t3s时间段内的位移是()A31mB36mC38mD40m2、一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8J B10JC12JD14J3、一物体沿直线以vm/s的速度运动，该物体运动开