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导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式 x x 1 ax axlna ex ex sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secxtanx cscx cscxcotx 另外还有反三角函数的导数公式 定理2 1设函数u x v x 在x处可导 在x处也可导 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 导数的四则运算 且 则它们的和 差 积与商 推论1 cu x cu x c为常数 推论2 乘法法则的推广 补充例题 求下列函数的导数 解根据推论1可得 3x4 3 x4 5cosx 5 cosx cosx sinx ex ex 1 0 故 f x 3x4 ex 5cosx 1 3x4 ex 5cosx 1 12x3 ex 5sinx f 0 12x3 ex 5sinx x 0 1 又 x4 4x3 例1设f x 3x4 ex 5cosx 1 求f x 及f 0 例2设y xlnx 求y 解根据乘法公式 有 y xlnx x lnx x lnx 解根据除法公式 有 教材P32例2求下列函数的导数 解 高阶导数 如果可以对函数f x 的导函数f x 再求导 所得到的一个新函数 称为函数y f x 的二阶导数 记作f x 或y 或 如对二阶导数再求导 则称三阶导数 记作f x 或 四阶或四阶以上导数记为y 4 y 5 y n 或 而把f x 称为f x 的一阶导数 例3求下列函数的二阶导数 解 二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 推论设y f u u v v x 均可导 则复合函数y f x 也可导 以上法则说明 复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 先将要求导的函数分解成基本初等函数 或常数与基本初等函数的和 差 积 商 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出 复合函数求导的关键 正确分解初等函数的复合结构 求导方法小结 例5 求下列函数的导数 1 2 3 4 二元函数的偏导数的求法 求对自变量 或 的偏导数时 只须将另一自变量 或 看作常数 直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算 例1设函数 求 解 例2设函数 解 类似可得 二元函数的二阶偏导数 函数z f x y 的两个偏导数 一般说来仍然是x y的函数 如果这两个函数关于x y的偏导数也存在 则称它们的偏导数是f x y 的二阶偏导数 依照对变量的不同求导次序 二阶偏导数有四个 用符号表示如下 其中及称为二阶混合偏导数 类似的 可以定义三阶 四阶 n阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 称为函数f x y 的一阶偏导数 注 当两个二阶导数连续时 它们是相等
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