2015年全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准.docx

2015年全国高中数学联合竞赛一试1 填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。1. 设a、b为不相等的实数，若二次函数满足，则的值为2. 若实数满足，则的值为3. 已知复数数列满足，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则的值为4. 在矩形ABCD中，,边上（包含、）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足，则向量与向量的数量积的最小值为5. 在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6. 在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为7. 设是正实数，若存在，使得，则的取值范围是8. 对四位数，若，则称为P类数；若则称为Q类数.用分别表示P类数和Q类数的个数，则的值为2 解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9. （本小题满分16分）若实数满足，求c的最小值。10. （本小题满分20分）设是4个有理数，使得求的值。11. （本小题满分20分）在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦.设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同点,焦点到直线的距离为。如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围。2015年全国高中数学联合竞赛加试一、（本小题满分40分）设是实数，证明：可以选取，使得：二、（本小题满分40分）设,其中是n个互不相同的有限集合（），满足对任意，均有.若.证明：存在x，使得属于中的至少个集合（这里表示有限集合X的元素个数）。三、（本小题满分50分）如图，内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分.过K,P,C三点的圆与边AC交于点D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交与点F.证明：四、（本小题满分50分）求具有下述性质的所有正整数：对任意正整数，不整除2015年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。1. 答案：4【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，可得：，及.所以2. 答案：2【解答】由条件可知，反复利用此结论，并注意到，得=3. 答案：【解答】由已知，对一切正整数，有于是4. 答案：【解答】不妨设，设的坐标为（其中），则由得点Q的作标为（2，-t），故，因此当时，5. 答案：【解答】设正方体为,它共有12条棱，从中任意取出3条的方法共有种。下面考虑三条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱，这有4种取法。不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或者FG，共有2种可能.当AD方向取棱是EH或者FG时，AE方向取棱分别只能是CG或者DH。由上可知，3条棱两两异面的取法数为4*2=8，故所求概率为6. 答案：24【解答】设，先考虑在第一象限中的部分，此时有故这些点对应于图中的及其内部.由对称性可知，对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部。同理设，则对应的区域是图中O为中新的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义可知 ，K所对应的平面区域是被中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S由于直线CD的方程为，直线GH的方程为，故他们的交点P的坐标为，由对称性可知：.7. 答案：【解答】由可知，而故题目条件等价于：存在整数，使得 当时，区间的长度不小于，故必存在满足 式。当时，注意到，故仅需要考虑如下几种情况：（1） ，此时且，无解；（2） ，此时有；（3） ，此时有，得8. 答案：285【解答】分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为0的P类数全体记为，个位数不等于0的P类数全体记为.对任一个四位数，将其对应到四位数，注意到，故.反之，每个唯一对应于中的元素.这建立了与B之间的一一对应，因此有：=下面计算:对任一个四位数,可取，对其中每个，由及知，和分别有种取法，从而因此，=285.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9. 【解答】将分别记为，则.由条件可知：故因此，结合平均值不等式可得，当，即时，的最小值为（此时相应的的值为，符合要求）由于，故的最小值为10. 【解答】由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个数是互为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，那么则有：中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是，及，从而必须有：于是，故结合，只可能取由此易知，或经检验知这两组解均满足问题的条件。故11. 【解答】由已知条件可知，点的坐标分别为和.设直线的方程为，点A,B的坐标分别为和，则满足方程，即： 由于点A,B不重合，且直线的斜率存在，故是方程的两个不同实根，因此有的判别式：即有 由直线的斜率、依次成等差数列知，所以化简并整理得，若，则直线的方程为，即经过点，不符合条件。因此有，故由方程及韦达定理知，即 由 可知，化简得，这等于反之当满足及时，必不经过点(否则将导致，与矛盾)而此时满足，故与椭圆有两个不同的交点A,B，同时也保证了的斜率存在，（否则中某一个为-1，结合知与方程有两个不同的实根矛盾。）点到直线的距离为 注意到，令，则，上式可改写为 考虑到函数在上单调递减，故由可得，即2015年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷是，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2. 如果考生的解答方法和本题解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、证明：我们证明：即对，取，对，取符合要求.（这里，x表示实数x的整数部分）事实上，的左边为：= （柯西不等式）= （利用） （利用）所以式得证，从而本题得证。二、证明：不妨设，设在中与不相交的集合有s个，重新记为,设包含的集合有t个，重新记为，由已知条件，S即，这样我们得到一个映射：显然是单映射，于是设.在中除去,后，再剩下的个集合中，设包含的集合有个（），由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而不妨设，则由上式可知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.又由于，故都包含，因此包含的集合个数至少为+=（利用）（利用）三、证明：设CF与圆交于点L（异于C），连接PB,PC,BL,KL.注意到此时C,D,L,K,E,P六点均在圆上，结合A,B,P,C四点共圆，可知：因此,因此：,即三点共线。再根据得：，即四、【解答】对正整数m，设表示正整数m的标准分解中素因子的方幂，则 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和。由于不整除等价于，即进而由可知，本题等价于求所有正整数，使得对任意正整数n成立.我们证明，所有符合条件的k为一方面，若k不是2的方幂，设，是大于1的奇数。下面构造一个正整数n，使得，因为因此问题等价于我们选取q的一个倍数m