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第 3 8 卷 第 7期 2 0 1 1 年 7月 建筑技术开发 Buil d ing Te chn iq u e De v e l o pme n t Vo 1 3 8 No 7 J u 1 2 0 1 1 基 于 L a g r a n g e 乘数 法 的钢 筋 混凝 土 矩形截 面单筋粱截 面优化 贺海斌 邵阳学城市建设 系 湖南邵阳4 2 2 0 0 1 f 摘要 以工程成本为 目标 函数 以截面有效高度为设计 变量 考虑 弯矩设 计值 截 面尺寸 配筋率 等约束条件 建 立 了钢筋混凝土矩形截 面单筋梁 的优化模 型 采 用 L a g r a n g e乘数 法对优 化模 型进 行求 解 通 过算例 证 明该 方 法 的有效性 为优化提供新的思路 关键词 单筋梁 优化 L a g r a n g e 乘数法 中图分类号 T U 3 7 5 1 文献标 志码 A 文章编 号 1 0 0 1 5 2 3 X 2 0 1 1 0 7 0 0 1 1 0 3 oPTI M AL DES I GN FoR REI NFoRCED CoNCRETE RECTANGULAR S ECTI oN S I NGLE REI NFORCED BEAM BAS ED oN LAGRANGE M ULT LI ER M ETHoD He Ha i b in Ab s t r a ct Ke y w o r d s The o p t imiz a t io n mo de l ha s be e n e s t a bl is h e d in t h e pa p e r f o r t h e r e in f or ce d co n cr e t e s ing l e r e inf o r ce d r e ct a ng u l a r s e ct i o n b e a m w h i ch t h e p r o ie ct co s t a s o b j e ct i v e f u n ct i o n t h e e f f e ct iv e d e p t h o f s e ct i o n a s d e s i g n v a r i a b l e s a n d co n s id e r t h e d e s ign v a l ue o f be n din g mome n t s e ct io n s iz e r e in f o r ce me n t r a t io a n d o t he r co n s t r a int s Us e d L a g r a n g e mul t ip l ie r met h o d t o s ol v e t he o p t imiz a t io n mo de l a n e x a mp l e p r o v e d t he e f f e ct iv e ne s s o f t he me t h o d for t he ne w o p t imiz a t io n id e a s s in g l e r e in f o r ce d b e a m o p t imiz a t io n L a g r a n g e mu l t ip l ie r me t h o d 1问题提 出 当今 土木 工程建设 钢筋混凝土结 构是最传 统也是最 常 见 的结构 一般传 统 的钢筋混 凝土 结构 是针对 某一 截面 分 析 利用 试算 法 t r y a n d e r r o r m e t h o d 选取符合 设计 规范要 求的截面尺寸和钢筋量 但是无法得出此截面是否就为最优 的设计结果 另外随着建设材料 费用和工 资的上涨 工 程成本快速提高 且在 5 1 2汶川大 地震 和玉树 地震后 对 于结构的安全性 和使用 性要求 更加 提 高 因此如 何设 计 出 兼顾工程造价成本 和结构构件强度要 求的钢筋 混凝土结 构 已成为从事结构设计工作者不可忽略的因素 而钢筋混凝 土梁 的工程成本 随着其截 面尺寸 钢 筋量 混凝土和 钢筋 的 单位造价 的改变而变化 所 以必须建 立一个钢筋 混凝土梁 的 优化设计 数学模 型 在满 足设计 规 范的各 种要求 下 以优 化 方法分析 由此得 到符合经济性 和安全性要 求的最优 钢筋混 凝土梁截面设计 下面以最简单的单筋梁为例 采用 L a g r a n g e 项 目基 金 湖南省教育厅科研项 目 编号 1 0 C 1 1 9 2 收稿 日期 2 0 1 1 0 4 1 5 作者简 介 贺海斌 1 9 7 8 男 湖南新邵人 工学硕士 讲 师 乘数法 予 以例证说明 为优化设计提供一种新 的思路 2 目标 函数 矩形截面单筋梁的单位长度 的总 工程造价成本 多 随着 其截 面尺寸 钢筋量 模板面积 混凝 土和钢筋 的单位造价 的 变化 而改变 因此可 以采用如下 函数 表示矩形单 筋梁的单位 长度 的总工 程造价成本 C Ccb h Cs As 0 2 Ccb h 1 式 中 C b h为混凝土单位 长度 的工 程造价 c A 为钢筋单位 长度 的工程 造价 O 2 c 娩 为模 板单位长度的工程造价 本文 假设为混凝 土造 价的 0 2倍 另设 h 1 I t h 所 以上式 可 以改写为 C c b d 1 2 1 It h 2 式中 C 为混凝 土单位体积 的工程 成本 c 为钢筋单位体 积 的工程成本 为钢筋和混凝土材 料的单 位体积工 程成本 的 比 值 叼 爰 p 为 配 筋 率 p A u It 为 截 面 保 护 层 厚 度 和 有效截面高度 h 的 比值 本 文假设截面的宽度 6 为 定值 且假设保护层厚度比 和材料单位成本比 为已知的常 1 1 第 7期 贺海斌 基 于 L a g r a n g e乘数法的钢筋混凝 土矩形截 面单筋梁截 面优 化 第 3 8卷 数 则单位长度的总造价函数式可为式 3 C b 可看作常数 C 1 2 1 h o 3 上式即为矩形截面单 筋梁 考虑 最低造 价 的优化 设计 的 目标 函数 包括 两个设计变量 P和 h 3约束条件 3 1极 限 弯矩 承 栽 力 限制 由文献 4 可知 当达 到平衡 时 受压 区混凝土 的压力必 须 等于受拉钢筋的拉力 可得 等效矩形应力图的受压 区高度 丛 a Lb 等 4 一 所 以截面上产生 的极 限弯矩为 M p 6 一 5 3 2梁 截 面 尺 寸 的 限 制 为使截 面在应 力控制 的范 围内且满 足计算平 截面 假定 的条件 混凝 土结构设计规 范 规定 当混凝 土最外 边缘 纤维达 到最大压应变 0 0 0 3 3时 受 拉钢筋 的极 限拉应 变 O 0 1 由图 1和相似三角形原理可知 卢I 0 卢I h 0 h 0 8 0 2 4 8 fl0 0 0 3 3 0 0 1 6 其 中卢 为强度变化参数 卢 0 8 0 21 1 MPa C5 0 的配 筋率小于 P 则应采用单筋梁截面 反之则采用双筋梁 3 4材 料 强 度 取 值 限 制 规范 对 混凝 土 和钢 筋 的 材料 强 度 的取 值 规 定 如 下 混凝土 的 I 9 6 MP a 即等级 不得小 于 C 2 0 钢筋 屈服 强度取值最大 3 6 0 M P a 本 文所选 9 6 MP a f 2 1 1 MP a 则 当选 用 HR B 4 0 0级 受力钢筋 时 材料强度 比的限制范 围为 1 7 1 J y 3 7 5 c 4优化设计过程分析 根据 目标 函数 式 3 和 弯矩 承 载 力 限制 式 5 建 立 矩形 截 面单 筋 梁 基 于 最 低 造 价 的优 化 设 计 的 数 学 模 型 如下 mi n 厂 P d r p 1 2 1 h 0 1 0 s t 一 卜 M 1 l 可得 L a g r a n g e函数为 L p h 0 A p 1 2 1 0 A p 6 h i 1 一 12 此 L a g r a n g e函数存在极值的条件为 o s 一 c I c 5 f 3 5 9 解上述联立方程 得到 0 7 4 L 3 5 9 MP a C 8 0 按照一般截面的经济尺寸而言 其有效高度和梁宽的比值通常为 ho 1 5 2 0 8 D 最优配筋率 p o p l 1 最优有效高度 3 3配筋率限制 p l 为了区分单筋梁和双筋梁 的界 限 根据上述式 6 由 A s a l cb x 0 2 4 8 fl l a l b h 0 即有 4 s 卢 等 9 其 中P 为界 限配筋率 介于单筋 梁和 双筋梁之 间 当所设计 1 2 1 3 1 4 1 5 根据上述结果 假设取 0 1 5 9 6 MP a和 a 1 0 以 材 料强度 比 J y 为横坐标 最 优配筋 率为纵 坐标 绘制 在不 同 c 的材料单位 造价 比 的情况下对应 的最优 配筋率 p 和 的 关 系曲线如图 1 从 图 中可 以发现 我们 可 以发现 随着 材 图 1 最优 配筋率 f f o 关 系曲线 一 一 一 C 静挺髓 嚼 第 3 8卷 贺海斌 基 于 L a g r a n g e乘数 法的钢筋混凝土矩形截 面单 筋梁截 面优化 第 7期 料单位造价 比 卵的提高 满足设计需要的最优钢筋 量会趋 近 于规范规定 的最小值 P 相应其截面有效高度变会增 大 而 7 降低 时 P值会逼 近 P 线 同时 h 0 o p t 相应减低 5 算例 现设计一矩形单筋 截面 梁 梁宽 b 2 5 0 m m 所 用 材料 为 1 4 3 MP a C 3 0 3 0 0 MP a HR B 3 3 5 即 2 1 设 截面的保护层厚度与有效高度 的比值 0 1 5 材 料的 成本 比 7 4 0 且设 混凝土单 位体 积 的工 程成 本为 c 3 8 0 元 m 现截 面承受 的弯矩设 计值 为 M 1 8 5 k N m 本 文 所探讨 的截 面有效高度范 围介于 d 3 9 0 IT l m与 d 5 2 0 m m 之间 因此在最新 规 范 指导下 列 出此梁 符合设计所用 截 面有效 高度 h 和对 应的配筋率 P 如表 1所示 由此 验证 由 本 文所 得的截面优化的 P o p 和 h 的公式 是否使 总工程 造价 达 到最 低 表 1 矩形截 面单筋梁 计算结果 有效截 面 纵 向钢筋 纵 向钢筋量 总工程造价 高度 h 0 配筋率 P A 元 m 3 9 0 0 0 3 0 8 1 7 9 7 7 3 1 2 4 9 4 2 9 l 3 9 8 5 4 0 6 0 8 1 4 0 0 0 0 2 8 8 9 7 6 2 8 3 0 0 5 3 5 3 2 8 6 9 8 0 9 5 9 1 0 2 4 1 0 0 0 2 7 1 7 3 0 6 8 2 8 9 6 6 4 8 9 9 8 9 7 8l 3 1 63 4 8 4 1 5 0 0 2 6 3 7 4 8 3 5 2 8 45 8 4 4 7 3 5 9 7 7 2 4 7 6 9 0 4 2 0 0 0 2 5 6l 5 1 0 6 2 7 9 7 1 6 9 5 2 6 9 7 6 6 7 6 6 5 4 4 2 5 0 0 2 4 8 91 1 3 4 2 7 5 0 4 7 0 3 01 9 7 6 4 0 1 5 2 6 3 42 7 1 0 0 2 4 5 9 7 l 2 5 2 7 31 4l 2 3 8 4 9 7 6 3 6 8 6 5 8 3 4 2 7 2 0 0 2 4 5 8 3 2 6 8 2 7 3 0 5 1 2 7 9 0 9 7 6 3 6 8 2 7 2 3 42 7 3 O O 2 4 5 6 9 4 2 4 2 7 2 9 6 1 3 9 0 8 9 7 6 3 3 7 9 9 2 0 4 2 7 4 0 0 2 5 5 5 5 9 3 0 2 7 2 8 7 l 5 7 3 8 9 7 6 3 6 7 7 8 1 8 4 2 7 5 0 0 2 4 5 4 l 7 7 5 2 7 2 7 8 l 8 2 7 9 9 7 6 3 6 7 7 5 Min T o t a l co s t d P 0 0 2 4 2 7 2 7 6 8 6 6 9 0 9 7 6 3 6 7 7 4 9 4 2 7 6 0 0 2 4 5 2 7 9 6 9 2 7 2 6 9 2 1 5 2 9 9 7 6 3 6 7 7 8 7 3 4 2 7 7 0 0 2 4 5 1 4 1 7 7 2 7 2 6 0 2 5 4 8 9 9 7 6 3 6 7 9 3 0 0 4 2 7 8 0 0 2 4 5 0 0 3 9 7 2 7 2 5 1 3 O l 5 6 9 7 63 6 8 1 7 8 0 4 2 7 8 0 0 2 4 4 8 6 6 3 0 2 7 2 4 2 3 5 5 3 0 9 7 63 6 8 5 2 8 0 4 2 8 0 0 2 4 4 7 2 8 7 6 2 7 2 3 3 41 6 1 0 9 7 6 3 6 8 9 8 9 7 4 3 0 0 0 2 4 2 0 0 4 4 7 2 7 0 5 6 0 9 9 6 6 9 7 63 9 9 9 8 8 7 4 3 5 0 0 2 3 5 4 0 8 0 7 2 6 6 2 4 6 5 21 9 97 6 5 3 6 9 6 3 0 4 4 0 0 0 2 2 9 l O 1 8 l 2 6 2 0 9 2 4 7 3 l 9 7 71 4 6 08 5 5 续表 有效截面 纵向钢筋 纵 向钢筋量 总工程造价 高度 h 0 配筋率 P 元 m 4 4 5 0 0 2 2 3 0 6 7 21 2 5 8 0 8 8 7 6 2 2 9 7 7 8 6 2 1 4 7 5 4 5 0 0 0 2l 7 2 8 7 3 7 2 5 4 2 2 6 2 1 7 7 9 7 8 7 8 8 2 3 6 7 4 6 0 0 0 2 0 6 4 3 1 3 4 2 6 4 8 91 8 8 4 7 9 8 1 2 2 1 78 2 0 4 7 0 0 O1 9 6 4 2 4 4 4 2 4 0 0 3 0 6 61 2 9 8 4 3 5 9 21 9 7 4 8 0 O O 1 8 71 7 3 7 6 2 3 3 5 9 2 8 5 3 8 9 8 8 1 2 6 61 5 8 4 9 0 0 0 1 7 8 5 9 9 7 5 2 2 7 5 3 6 0 8 1 7 9 9 2 4 6 0 9 1 6 3 5 0 0 0 0 1 7 0 6 3 3 7 7 2 2 1 8 2 3 9 0 0 5 9 9 7 3 0 7 8 9 9 2 51 O O O1 6 3 2 1 6 2 4 2 l 6 4 2 4 7 3 8 1 O O 2 6 2 0 5 9 l 5 2 0 0 O1 5 6 2 9 5 1 6 2 1 1 3 1 1 O 6 0 5 1 0 0 8 3 5 8 0 2 8 6结 论 本文 所采 用 的截 面优 化 方法 为 L a g r a n g e乘数 法 引入 L a g r a n g e乘子 的概念 将原本建立 的有约束 优化 问题 的数学 模型转换成无约束 的 L a g r a n g e函数形 式 由此得到 函数的稳 定解 的计算过程 可求 得此优 化 问题 的所 需设 计变量 的解 可以确定此解 即为满 足约束 条件下 能使 目标 函数 达到最 大 或最 小的最优解 对于钢筋 混凝土 单 筋梁 的设 计 问题 本 文 所考 虑 的 是 在设 计弯矩 的限制下 使所 需的工程 总造价 成本 达到最 低 不 同 于 一 般 传 统 的 钢 筋 混 凝 土 梁 设 计 本 文 所 运 用 的 L a g r a n g e 乘数法 所得 到 的优化 公 式 不需 繁 琐 的 计算 过 程 和 繁 杂的程 序 迭 代 过 程 即能 球 的最 优 的截 面 尺 寸 和 纵 向钢筋量 既能符 合工 程造 价
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