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等比数列学案 第3课时 等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为 na1 (q=1)Sn= . (q1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q1进行讨论.（2）等比数列an中，当已知a1,q(q1)，n时，用公式Sn= ，当已知a1,q(q1)，an时，用公式Sn= .2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知： = = =q.当q1时， =q,即 =q.故Sn= = .当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1时，Sn= = .当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2)当n2时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1时，有Sn= ,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求an bn的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1时，令A= ，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a10，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时，Sn=;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为 .（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求.答案 1.（1） na1 (2)错位相减法2.（1）等比数列 （2）三 二思路方法技巧命题方向 等比数列前n项和公式的应用例1 设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析 应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.解析 当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q1时， =3a1q2,因为a10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=- .综上所述，公比q的值是1或 .说明 （1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q1时，若已知a1,q,n利用Sn= 来求；若已知a1,an,q,利用Sn= 来求.变式应用1 在等比数列an中,已知S3= ,S6= ,求an.解析 S6= ,S3= ,S62S3，q1. = = 得 1+q3=9,q=2.将q=2代入，得a1= ,an=a1qn-1=2n-2.命题方向 等比数列前n项的性质例2 在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析 利用等比数列前n项的性质求解.解析 an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n= +S2n= +60=63.说明 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2 等比数列an中，S2=7，S6=91,求S4.解析 解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4），解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2) 0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7 ?=91 得q4+q2-12=0,q2=3,q= .当q= 时，a1= ,S4= =28.当q=- 时，a1=- ,S4= =28.探索延拓创新命题方向 等比数列前n项和在实际问题中的应用例3 某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)解析 (1)第一年年底本利和为a+a 25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x= = . 设1.2520=t,lgt=20lg（ ）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析 第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（110）x=200001.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行200001.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得x= 3255(元).名师辨误做答例4 求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.误解 所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+a = .辨析 所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.正解 由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，2项，3项，4项，的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+n）项.所以Sn=1+a+a2+a .当a=0时，Sn=1.当a=1时，Sn= .当a0且a1时，Sn= .课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则 =（ ）A.2 B.4C. D. ?答案 C解析 由题意得 = = .故选C.2.等比数列an的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ）?A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?答案 C解析 由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?q2+q-2=0,q=1或q=-2.3.等比数列2n的前n项和Sn=（ ）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?答案 D?解析 等比数列2n的首项为2，公比为2.?Sn= = =2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列an满足：a1=1,an+1=2an（nN+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）答案 16 255?解析 考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?q= =2,a5=a1 q4=16,S8= =28-1=255.5.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.答案 3?解析 a3=2S2+1,a4=2S3+1,?两式相减，得a3-a4=-2a3,?a4=3a3,q=3.三、解答题6.在等比数列an中，已知a6-a4=24，a3 a5=64，求数列an的前8项和.解析 解法一：设数列an的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,?a3 a5=(a1q3) 2=64,?a1q3=8.将a1q3=-8代入式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.?将a1q3=8代入式，得q2=4,q=2.?当q=2时，得a1=1,所以S8= =255;?当q=-2时，得a1=-1，所以S8= =85.解法二：因为an是等比数列，所以依题意得?a24=a3 a5=64,?a4=8,a6=24+a4=248.?因为an是实数列，所以 0,?故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5= =16.?公比q的值为q= =2,?当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,?S8= =255;?当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,S8= =85.课后强化作业一、选择题1.等比数列an中，a2=9,a5=243,则an的前4项和为（ ）A.81B.120C.168D.192答案 B解析 公式q3= = =27,q=3,a1= =3,?S4= =120.2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（ ）A.-4B.-1C.0D.1答案 B解析 设等比数列为an，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,a22=a1 a3,?即144=(4+a)48，a=-1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（ ）?A.31B.33C.35D.37答案 B解析 解法一：S5 = =1a1= S10= = =33,故选B.?解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1?a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5) q5=12532S10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列an中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（ ）A.514B.513C.512D.510答案 D a1+a1q3=18解析 由已知得 ，a1q+a1q2=12解得q=2或 .q为整数，q=2.a1=2.S8= =29-2=510.5.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（ ）A. B. C. D. 答案 B解析 设公比为q,则q 0,且a23=1,即a3=1.S3=7,a1+a2+a3= + +1=7,即6q2-q-1=0,?q= 或q=- (舍去)，?a1= =4.?S5= =8（1- ）= .6.在等比数列an（nN+）中，若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为（ ）A.2 B.2 C.2 D.2 答案 B解析 a1=1,a4= ,q3= = ,q= .?S10= =21-（ ）10=2- ,故选B.7.已知等比数列an的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（ ）A.2 B.-2 C. D.- 答案 A? S3= =3, 解析 S6= =27, 得 =9,解得q3=8.?q=2,故选A.8.正项等比数列an满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列bn的前10项和是（ ）A.65B.-65C.25D.-25答案 D解析 an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1,又S3=13,公比q1.又S3= =13,a3=a1q2,?解得q= .?an=a3qn-3=( )n-3=33-n,?bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.S10= = 25.二、填空题9.等比数列 ，-1，3，的前10项和为.答案 - 解析 S10= =- .10.（2011 北京文，12）在等比数列an中，若a1= ,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.答案 2,2n-1- 解析 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.?=q3= =8，所以q=2，所以 a1+a2+an= =2n-1- . 2n-1 (n为正奇数)?11.已知数列an中，an= ，则a9=.2n-1 （n为正偶数）设数列an的前n项和为Sn，则S9=.答案 256 377解析 a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列an中，已知对于任意nN+,有a1+a2+an=2n-1,则a21+a22+a2n=.?答案 4n- 解析 a1+a2+an=2n-1,?a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,?a21+a22+a2n= = 4n- .三、解答题13.在等比数列an中，已知a3=1 ，S3=4 ，求a1与q. S3= =4 解析 （1）若q1,则 ，a3=a1q2=1 从而解得q=1或q=- . q=- q1, .a1=6 S3=3a1=4 q=1（2）若q=1,则 ， .a3=a1=1 a1=1 q=- q=1综上所述得 ，或 .a1=6 a1=1 14.(2011 大纲文科，17)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.分析 设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?解析 设an的公比为q，由已知有：a1q=6 a1=3 a1=2 .解得 或6a1+a1q2=30 q=2 q=3(1)当a1=3,q=2时，an=a1 qn-1=32n-1Sn= = =3(2n-1)(2)当a1=2,q=3时，an=a1 qn-1=23n-1Sn= = =3n-1.?综上，an=32n-1,Sn=3(2n-1)或an=23n-1,Sn=3n-1.15.已知实数列an是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式；