椭圆及其标准方程教学设计.docVIP

椭圆及其标准方程（第1课时）双辽一中 辛玉美教学及培养目标理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力教材处理的建议重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程难点：椭圆标准方程的推导与化简教学技巧与辅助手段运用多媒体（ppt）和实物投影仪等辅助教学教学探究过程一、创设问题情景、引出概念在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力）二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念）启发、归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 引导学生找定义的关键处：平面曲线；任意一点到两个定点的距离的和等于常数；常数大于| F1F2|（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象）三、椭圆标准方程的推导由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程建系一般应遵循简单、优化的原则（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫）探究二 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系）经学生讨论易得如下方案：1建系取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系2设点设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则又设M与距离之和等于()3列式依据椭圆的定义，有，教师启发：这个方程形式复杂，应该化简化简的目的是去掉根式，可两边平方但这里有两个根式，如何平方更简捷？引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑在此应抓住机会加强运算技能的训练）4化简通过移项, 两次平方后得到： ，两边同除以，得 （）由椭圆的定义可知，,即，思考：观察上图，能从中找出表示的线段吗？由图可知，令，那么（）就是（）此即为椭圆的标准方程它所表示椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程探究三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程要求学生课后推导验证（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程）引导学生注意理解以下几点： 在椭圆的两种标准方程中，都有的要求； 在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上； 椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定四、研究例题、形成技能例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-4)，F2（0，4），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10，求它的标准方程（先让学生分析解题思路强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性）解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为因为2a=10，2c=8，所以a=5，b=4所以，b2=a2c2=5242=9所以所求椭圆标准方程为例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1（2，0）和F2（2, 0），过点P0（,），求它的标准方程（先让学生分析解题思路除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外，还要注意引导学生分析本例与例1的不同点）解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，所以，又，所以，所以所求标准方程为另法：因为，所以可设所求方程将点P0（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出与，根据条件写出方程；其二是由a，b，c的关系和椭圆标准方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的另外要注意求方程的基本步骤）五、课堂形成性练习，即时反馈1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上2椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 六、知识整理，形成系统（由学生归纳）1椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）2推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接