第一节数学期望-仲恺农业工程学院.doc

概率与统计 课程教案授课题目（教学章、节或主题）：第四章第一节 数学期望教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：理解随机变量的数学期望的概念和性质，并会根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望，掌握常用分布的数学期望教学重点及难点：根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望课时安排：3课时授课方式：讲授教学基本内容：离散型随机变量的数学期望 例 1 某年级有50名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，16岁的有46人，则该年级学生的平均年龄为 事实上我们在计算中是用频率为权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下： 定义 1 设离散型随机变量的分布律为P(Xk = xk) = pk (k = 1，2，), 若级数绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)记为 若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在 例2 一批产品有一二三等品及废品4种，所占比例分别为，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价 Solution 设为任取一只产品的出厂价, 的分布律为:X64.840p0.60.20.10.1平均出厂价为(元) 例3设随机变量服从参数为的泊松分布，求它的数学期望 Solution 由于，k=1,2,因而2. 连续型随机变量的数学期望 定义 2 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值记为， 若积分发散，则称随机变量的数学期望不存在 例3 设随机变量服从参数为(0)的指数分布，求 Solution 由于指数分布的密度函数为因而 例4 设随机变量服从上的均匀分布，求 Solution 由于均匀分布的密度函数为因而 例5 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为，由于积分发散，因而不存在3. 随机变量的函数的数学期望 定理 设为随机变量的函数：(g是连续函数)， (1) 是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有 (2) 是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有 定理 告诉我们：求时，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了 例6 随机变量的分布律如下:X0 1 2 3P 求 Solution 4. 数学期望的性质 (1) 设是常数，则有 (2) 设是随机变量，设是常数，则有 (3) 设，是随机变量，则有 （该性质可推广到有限个随机变量之和的情况） (4) 设，是相互独立的随机变量，则有（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况） 参考书目：1吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月。2盛 骤，谢式千等，概率论与数理统计（第三版），高等教育出版社，2003年2月。作业和思考题： 作业：P22 2-5 思考题： 1、 数学期望E(X)是随机变量吗？能将数学期望写成E(x)吗？答案不是不成E(X)是一个确定的数，不是随机变量不能把数学期望写成E(x),因为x是普通