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等比数列教学案 第2课时 等比数列的性质知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列an中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,则 = = =qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.3.如果数列an是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列can仍是等比数列，且公比仍为q;?|an|?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列an的公比为q,且满足 =q,则 = =q,所以数列can仍是等比数列，公比为q.同理，可证|an|也是等比数列，公比为|q|.4.在等比数列an中，若m+n=t+s且m,n,t,sN+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1 a1qn-1=a21qm+n-2,atas=a1qt-1 a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若an，bn均为等比数列，公比分别为q1,q2,则（1）anbn仍为等比数列，且公比为q1q2.(2) 仍为等比数列，且公比为 .理由如下：（1） =q1q2,所以anbn仍为等比数列，且公比为q1q2;(2) = ,所以 仍为等比数列，且公比为 .知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：an=am (m、nN+).(2)多项关系项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则am an=.特别地，若m+n=2p(m、n、pN+），则am an.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即 a1 ana2 =ak =a 2 (n为正奇数).答案 1.qn-m ap aq a2p2.an-1 an-k+1思路方法技巧命题方向 运用等比数列性质an=am qn-m (m、nN+)解题例1 在等比数列an中，若a2=2,a6=162,求a10.分析 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.解析 解法一：设公比为q,由题意得a1q=2 a1= a1=- ，解得 ，或 .a1q5=162 q=3 q=-3a10=a1q9= 39=13122或a10=a1q9=- （-3）9=13122.解法二：a6=a2q4,q4= = =81,a10=a6q4=16281=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2 a10得a10= = =13122.说明 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1 已知数列an是各项为正的等比数列，且q1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.解析 解法一：由已知条件a1 0,q 0，且q1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3) （1-q4）=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3) 0,显然，a1+a8 a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当0 q 1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，当q 1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，(a1+a8)-(a4+a5)恒正.a1+a8 a4+a5.命题方向 运用等比数列性质am an=apaq(m,n,p,qN+,且m+n=p+q)解题例2 在等比数列an中，已知a7 a12=5，则a8 a9 a10 a11=（ ）A.10 B.25 C.50 D.75分析 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.答案 B解析 解法一：a7 a12=a8 a11=a9 a10=5，a8 a9 a10 a11=52=25.解法二：由已知得a1q6 a1q11=a21q17=5，a8 a9 a10 a11=a1q7 a1q8 a1q9 a1q10=a41 q34=(a21q17) 2=25.说明 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用2 在等比数列an中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.解析 a6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41.又a4a8=5,an 0,a4+a8= = = .探索延拓创新命题方向 等比数列性质的综合应用例3 试判断能否构成一个等比数列an，使其满足下列三个条件：a1+a6=11;a3 a4= ;至少存在一个自然数m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.分析 由条件确定等比数列an的通项公式，再验证是否符合条件.解析 假设能够构造出符合条件的等比数列an,不妨设数列an的公比为q,由条件及a1 a6=a3 a4,得a1+a6=11 a1= a1= ，解得 ，或a1 a6= a6= a6= . a1= a1= 从而 ，或 .q=2 q= 故所求数列的通项为an= 2n-1或an= 26-n.对于an= 2n-1,若存在题设要求的m,则2am= am-1+（am+1+ ）,得2（ 2m-1）= 2m-2+ 2m+ ,得2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.对于an= 26-n,若存在题设要求的m，同理有26-m-8=0,即26-m=8,m=3.综上所述，能够构造出满足条件的等比数列，通项为an= 26-n.说明 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用3 在等差数列an中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，求数列kn的通项kn.解析 由题意得a22=a1a4，即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，又d0,a1=d.an=nd.又a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，该数列的公比为q= = =3.akn=a1 3n+1.又akn=knd,kn=3n+1.所以数列kn的通项为kn=3n+1.名师辨误做答例4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1 ，求这个等比数列的公比.误解 设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得a3q-3=1, aq-1+aq+aq3=1 . 由得a=q,把a=q代入并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (舍去)，故所求的公比为 .辨析 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.正解 设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得（aq）3=1, aq+aq2+aq3=1 . 由得a=q-1,把a=q-1代入并整理，得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比为 或- .课堂巩固训练一、选择题1.在等比数列an中，若 a6=6,a9=9,则a3等于（ ）A.4 B. C. D.3?答案 A?解析 解法一：a6=a3 q3,a3 q3=6.?a9=a6 q3，q3= = .a3= =6 4.解法二：由等比数列的性质，得a26=a3 a9，36=9a3，a3=4.2.在等比数列an中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于（ ）A.90 B.30 C.70 D.40答案 D解析 q2= =2,?a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.3.如果数列an是等比数列，那么（ ）?A.数列a2n是等比数列 B.数列2an是等比数列C.数列lgan是等比数列 D.数列nan是等比数列答案 A解析 数列a2n是等比数列，公比为q2,故选A.二、填空题4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.?答案 1? 2b=a+c,解析 由题意知 b2=ac,解得a=b=c,q=1.5.在等比数列an中，公比q=2,a5=6,则a8=.?答案 48解析 a8=a5 q8-5=623=48.三、解答题6.已知an为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?解析 an为等比数列,?a1 a9=a3 a7=64,又a3+a7=20,?a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.?a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?1+q4=5，q4=4.?当a3=16时，a3+a7=a3（1+q4）=20,1+q4= ，q4= .?a11=a1q10=a3q8=64或1.课后强化作业一、选择题1.在等比数列an中，a4=6,a8=18,则a12=（ ）A.24 B.30 C.54 D.108?答案 C?解析 a8=a4q4,q4= = =3,a12=a8 q4=54.2.在等比数列an中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为（ ）A.124 B.128 C.130 D.132答案 B?解析 a2+a3=2,a4+a5=16,?又a4+a5=(a2+a3)q2,q2=8.?a6+a7=(a4+a5)q2=168128.3.已知an为等比数列，且an 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.20?答案 A?解析 a32=a2a4,a52=a4a6,?a32+2a3a5+a52=25,(a3+a5) 2=25,?又an 0,a3+a5=5.4.在正项等比数列an中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8 a10 a12等于（ ）A.16 B.32 C.64 D.256?答案 C?解析 由已知，得a1a19=16,?又a1 a19=a8 a12=a102,a8 a12=a102=16,又an 0,?a10=4,a8 a10 a12=a103=64.5.已知等比数列an的公比为正数，且a3 a9=2a25,a2=1,则a1=（ ）?A. B. C. D.2?答案 B?解析 a3 a9=a26,又a3a9=2a25,?a26=2a25,（ ）2=2,?q2=2,q 0,q= .又a2=1,a1= = = .6.在等比数列an中，an an+1，且a7 a11=6,a4+a14=5,则 等于（ ）A. B. C. D.6答案 A a7 a11=a4 a14=6解析 a4+a14=5a4=3 a4=2解得 或 .a14=2 a14=3又an an+1,a4=3,a14=2. = = .7.已知等比数列an中，有a3a11=4a7,数列bn是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于（ ）A.2 B.4 C.8 D.16答案 C解析 a3a11=a72=4a7,a70,a7=4,b7=4,bn为等差数列，b5+b9=2b7=8.8.已知0 a b c,且a,b,c成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan,logbn,logcn成（ ）A.等差数列? B.等比数列?C.各项倒数成等差数列? D.以上都不对?答案 C?解析 a,b,c成等比数列，b2=ac.?又 + =logna+lognc=lognac=2lognb= ,? + = .二、填空题9.等比数列an中，an 0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于.答案 27解析 由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,q2=9,又an 0,q=3.?故a5-a4=(a4-a3)q=9327.10.已知等比数列an的公比q=- ,则 等于.答案 -3解析 = =-3.11.(2012 株州高二期末)等比数列an中，an 0,且a5 a6=9,则log3a2+log3a9=.答案 2解析 an 0,log3a2+log3a9=log3a2a9=log3a5a6=log39=log332=2.12.（2011 广东文，11）已知an是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= .答案 2?解析 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=1，或q=2.因为an为递增数列，所以q=2.三、解答题13.在等比数列an中，已知a4 a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.解析 a4 a7=a3 a8=-512， a3+a8=124 a3=-4 a3=128 ，解得 或 .a3 a8=-512 a8=128 a8=-4又公比为整数，a3=-4,a8=128,q=-2.a10=a3 q7=(-4)（-2）7512.14.设an是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1 b2 b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?解析 由b1+b2+b3=3,?得log2(a1 a2 a3)3，a1 a2 a3238，a22=a1 a3，a2=2,又b1 b2 b3=-3,设等比数列an的公比为q，得?log2（ ） log2(2q)=-3.解