实验6-平板稳态温度的计算.doc

实验6 平板稳态温度的计算6.1实验指导本实验在简单的平板热传导模型下，利用线性方程组计算平板稳态温度的分布。当选取节点较多时，MATLAB软件的应用就更显重要。最后利用MATLAB的绘图命令绘制平板的温度分布，形象地表示出计算结果。表6.1给出了与本实验相关的MATLAB命令或函数。表6.1 与本实验相关的MATLAB命令或函数命令功能说明位置mod(i,N)计算i除以N的余例6.2if mod(i,N)=0判断i是否为N的整数倍例6.2mesh(T)T为一个矩阵，以T的行标为x轴值，以T的列标为y轴值，以T的元素值为z轴值，绘制三维图形。例6.26.2实验内容例6.1 在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设图6.1中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示，而表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如。请计算该钢板的温度分布。图6.1 钢板的节点分布（4个节点）解：根据已知条件可以得到以下线性方程组：化简为标准的矩阵形式如下：在MATLAB命令窗口输入： A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4;b=30; 50; 60; 80;U=rref(A,b)结果为：U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500得到方程组的解为：，。例6.2 在例6.1中，把钢板内部分成了22个节点，本例把钢板内部分为55个节点，如图6.2所示。求钢板的稳态温度分布，并绘制温度分布图形。图6.2 钢板的节点分布（25个节点）解：根据例6.1中的讨论，知：55个节点就构成了一个具有25个方程的线性方程组。在MATLAB的M文件编辑器中编写la19.m文件： % 计算钢板的稳态温度分布clear close allN=input(N=); % 输入节点数，共有NN个节点t_u=input(temperature up:); % 输入四个边界的温度值t_d=input(temperature down:);t_l=input(temperature left:);t_r=input(temperature right:);A=zeros(N*N);b=zeros(N*N,1); % 构造N2N2零矩阵A；构造N2维零向量bfor i=1:N*N % 矩阵A的主对角线元素都是4 A(i,i)=4;endfor i=1:N*N; % 给矩阵A和向量b赋值 if iN*(N-1) % 给向量b中和下边界节点对应的分量赋值 b(i)=b(i)+t_d; end if iN % 给矩阵A中和上边界无关的节点所对应的元素赋值 A(i,i-N)=-1; end if mod(i,N)=1 % 给矩阵A中和左边界无关的节点所对应的元素赋值 A(i,i-1)=-1; end if mod(i,N)=0 % 给矩阵A中和右边界无关的节点所对应的元素赋值 A(i,i+1)=-1; end if i=N*(N-1) % 给矩阵A中和下边界无关的节点所对应的元素赋值 A(i,i+N)=-1; endendU=rref(A,b); % 对增广矩阵进行行初等变换，化为最简行阶梯矩阵for i=1:N % 把矩阵U的最后一列按矩阵形式赋给Bfor j=1:NB(i,j)=U(N*(i-1)+j,N*N+1);endendT(2:N+1,2:N+1)=B; % 把钢板内部温度和和四周温度值放入矩阵T中T(1,2:N+1)=t_u;T(N+2,2:N+1)=t_d;T(2:N+1,1)=t_l;T(2:N+1,N+2)=t_r;T(1,N+2,1,N+2)=NaN; % 矩阵四个角没有温度值，故把非数NaN放入T % 显示计算结果mesh(T) % 对钢板温度值绘制成曲面图形在MATLAB的命令窗口中输入：la19人机对话及运算结果为：N=5temperature up:20temperature down:50temperature left:10temperature right:30T = NaN 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 NaN 10.0000 16.5652 19.8667 21.8400 23.3415 25.3125 30.0000 10.0000 16.3958 21.0606 24.1538 26.2121 27.9111 30.0000 10.0000 17.9583 23.8261 27.5000 29.4426 30.1194 30.0000 10.0000 21.6087 28.7879 32.5769 33.9394 33.1233 30.0000 10.0000 29.6875 37.1395 40.0833 40.6140 38.4348 30.0000 NaN 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 NaN钢板的温度分布如图6.3所示。其中x、y坐标分别表示钢板横、纵方向的节点数，高度表示节点的温度值，该三维图形形象地反映了钢板的温度分布。图6.3 钢板的温度分布6.3 实验习题1、如图6.4所示，假设钢板已经达到稳态温度分布。分别用来表示钢板的上、下、左、右四个边界的温度值。请编写一个通用Matlab程序，求出钢板内部六个节点的温度值，要求四个边界的温度值由用户输入。（1），单位；（2），单位；（3）单位。图6.4 钢板的节点分布（6个节点）解：先列写对此6点的方程：写成矩阵形式程序为A=4,-1,0,-1,0,0;-1,4,-1,0,-1,0;0,-1,4,0,0,-1;-1,0,0,4,-1,0;0,-1,0,-1,4,-1;0,0,-1,0,-1,4, T_u=input(T_u= ) ,T_d=input(T_d= ),T_l=input(T_u= ) ,T_r=input(T_r= ),B=T_l+T_u;T_u; T_r+T_u; T_l+T_d; T_d; T_