高中数学【Word版题库】6.3等比数列及其前n项和.doc

6.3 等比数列及其前n项和一、填空题1.在正项等比数列中则 . 解析 5. 答案 5 2已知正数数列an对任意p，qN*都有apqapaq，若a24，则a9_.解析令pn，q1，得an1ana1，又an0，所以an是公比为a1的等比数列，所以ana.又a24，所以an2n，a929512.答案5123等比数列an的公比q0，已知a21，an2an16an，则an的前4项和S4_.解析 由an2an16an得：qn1qn6qn1，即q2q60，q0，解得：q2，又a21，所以，a1，S4.答案 4已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为_解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列知24t，显然t0，所以t5.答案55设数列a前n项和为Sn，a1t，a2t2，Sn2(t1)Sn1tSn0，则an是_数列，通项an_.解析由Sn2(t1)Sn1tSn0，得Sn2Sn1t(Sn1Sn)，所以an2tan1，所以t，又t，所以an成等比数列，且anttn1tn.答案等比tn6.已知各项均为正数的等比数列则等于_解析 方法一:由等比数列的性质知 所以 所以. 方法二: . 答案 7设a12，an1，bn1，nN*，则b2 011_.解析由题意得b113，bn11212(bn1)12bn1，bn112(bn1)，故2，故数列bn1是以4为首项，2为公比的等比数列bn12n1，bn2n11.答案22 01218设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案9已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5_.解析设数列an的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42.由a4与2a7的等差中项为知，a42a72，a7.q3，即q.a4a1q3a12，a116，S531.答案3110已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.解析由lg xn11lg xn(nN*)得lg xn1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.答案10011设an是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并且满足条件a11，a99a10010，0，给出下列结论：0q1；T1981；a99a1011；使Tn1，a99a1001，(a991)(a1001)1,0a1001,0q1.a99a101a1，由Tna1a2anaq，若Tn1，即aq1，即a1q1,0a1001，a1q991，知要求Tn1的最小自然数，即99，n199，Tn1的最小自然数为199，T1981不正确答案 12已知数列an满足3an1an4(nN*)且a19，其前n项和为Sn，则满足不等式|Snn6|的最小正整数n是_解析由3an1an4得，an11(an1)(运用构造数列法)，an1是以a118为首项，以为公比的等比数列，所以an18n1，所以an8n11.所以Sn8n8n6n6n，所以|Snn6|n6，即3n750.将n5,6,7代入验证符合题意的最小正整数n7.答案713已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2，2a4b3，且存在常数，使得anlogbn对每一个正整数n时成立，则_.解析由题意，可设an2(n1)d，bnqn1，于是由得解得所以an2n，q22n2，代入anlogbn，得2n(2n2)log2，即2n(1log2)2log2，所以解得故224.答案4二、解答题14.设为数列的前n项和N其中k是常数. (1)求及; (2)若对于任意的N成等比数列,求k的值. 解析 (1)当n=1时 当时(n-1)=2kn-k+1. (*) 经验证,当n=1时,(*)式成立, . (2)成等比数列, 即8km-k+1),整理得mk(k-1)=0, 对任意的N成立. k=0或k=1. 15设数列an的前n项和为Sn，已知a1a，an1Sn3n，nN*，且a3.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的通项公式解析(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)因此bn以a3为首项，2为公比的等比数列因此，所求通项公式为bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2.又a1S1a，所以an16已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.(1)求数列an的通项公式an.(2)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解析(1)因为a1a5a2a418，又a2a465，所以a2，a4是方程x218x650的两个根又公差d0，所以a2a4.所以a25，a413.所以解得a11，d4.所以an4n3.(2)由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(3)由(1)知，Snn142n2n.假设存在常数k，使数列为等差数列，由等差数列通项公式，可设anb，得2n2(k1)nan22abnb恒成立，可得a2，b0，k1.所以存在k1使得为等差数列17设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解析 (1)证明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以an(3n1)2n2.18设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”(1)若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”；(2)若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，试探究d与c1之间的关系解析(1)因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，因此，bn2n1，设数列bn前n项和为Tn，