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流体力学 二 主讲教师 宗智孙雷 船舶与海洋工程 船舶工程学院 2020 3 22 1 B1流体及物理性质B2流动分析基础B3微分形式的基本方程B4量纲分析与相似原理B5积分形式的基本方程 B基础篇 2020 3 22 2 B2流动分析基础 本章讨论流体力学三要素中第二要素 运动 由于流体的易变形性 流体的运动形态比刚体和固体更为复杂 描述的方法也有所不同 主要内容 流体运动的数学和几何描述 流场的概念 通过分析一点邻域的流动细节认识流场 流动分类 常用的流动分析方法 重点 1 建立流场的概念 2 用欧拉坐标表示流体质点的运动 3 抛弃刚体运动模式 建立质点相对运动的流动模型 4 用简化模型表示实际流动 并明确其局限性 2020 3 22 3 B2 1描述流体运动的两种方法 为方便大家对流体运动两种描述方法的理解 先介绍一下城市公共交通部门统计客流量的两种方法 在每一辆公交车上设安排记录员 记录每辆车在不同时刻 站点 上下车人数 此法称为随体法 在每一站点设记录员 记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数 此法称为当地法 在流体力学中 我们用相似的方法来描述流体运动 2020 3 22 4 拉格朗日法拉格朗日法又称随体法 跟随流体质点运动 记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律 设某质点标记为 a b c 该质点的物理量B的拉格朗日表示式为式中 a b c 称为拉格朗日坐标 可用某特征时刻质点所在位置的空间坐标定义 不同的 a b c 代表不同质点 任意时刻质点相对于坐标原点的位置矢量 矢径 的拉格朗日表示式为上式代表任意流体质点的运动轨迹 B2 1描述流体运动的两种方法 2020 3 22 5 思考题 请判断拉格朗日法适合于描述下列哪一类流动 A 研究一污染粒子在水中运动的轨迹 B 研究无数质点组成的质点群的运动 C 研究一个流动空间的速度分布 A 对 B 虽适合 但描述无数质点运动的数学方程十分复杂 难以求解 C 错 拉格朗日法不能给出流体速度的空间分布 B2 1描述流体运动的两种方法 2020 3 22 6 欧拉法欧拉法又称当地法 将某瞬时占据某空间点的流体质点物理量作为该空间点的物理量 物理量随空间点位置和时间而变化 设空间点坐标为 物理量B的欧拉表示式为式中称为欧拉坐标 不同的代表不同的空间点 在流体力学中最重要的物理量是速度和压强 其欧拉表示式分别为 物理量的欧拉表示式代表了该物理量的空间分布 称为该物理量场 例如速度场 压强场等 因此欧拉观点是场的观点 可运用数学上 场论 知识作为理论分析工具 欧拉法适用于描述空间固定域上的流动 是流体力学中最常用的描述方法 2020 3 22 7 思考题 某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周围各点空气的速度和压强 请问它采用的研究方法是 A 拉格朗日法 B 欧拉法 C 两者均不是 A C错 B 对 参照系是飞机 固结于飞机上的坐标系也是欧拉坐标系 B2 1描述流体运动的两种方法 2020 3 22 8 B2 1描述流体运动的两种方法 2020 3 22 9 2020 3 22 10 2020 3 22 11 B2 2速度场的基本概念 速度场 速度分布 任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场 直角坐标系下三个方向的速度分量为 速度廓线 某空间面或线上所有速度矢量的包络线 平面廓线 直圆管内相同流量 不同流态下的两种速度廓线 三维廓线 2020 3 22 12 B2 2 1流量与平均速度 体积流量 单位时间内流过一假想曲面的流体体积 流过一面元dA的体积流量dQ为 表示速度矢量在面元单位外法矢量方向的投影 2020 3 22 13 平均速度定义为 式中A为曲面的面积 则通过曲面A的体积流量可以表示为质量流量 单位时间内流过一假想曲面的流体质量 对于均质流体 为常数 质量流量为 单位时间流过曲面A的体积流量为 B2 2 1流量与平均速度 2020 3 22 14 例题B2 2 1 直圆管粘性定常流动 流量与平均速度已知 粘性流体在半径为R的直圆管中做定常流动 设管截面上有两种速度分布 分别为抛物线分布和1 7指数分布 式中 分别为两种速度分布在管轴上的最大速度 求 两种速度分布的 流量Q的表达式 截面平均速度V B2 2 1流量与平均速度 2020 3 22 15 解 流量由单位时间流过曲面A的体积流量公式计算 注意到dA 2 rdr抛物线分布1 7指数分布 B2 2 1流量与平均速度 2020 3 22 16 平均速度由式计算 抛物线分布1 7指数分布 讨论 由上可见 抛物线分布截面上的平均速度为最大速度的一半 而1 7指数分布截面上的平均速度为最大速度的0 8167倍 这是由于后者的速度廓线中部更平坦 速度分布更均匀的缘故 B2 2 1流量与平均速度 2020 3 22 17 思考题 图中A为流场中一封闭曲面 流量代表 A 流量为零 B 与单个曲面一样 C 净流入A的流量 D 净流出A的流量 B2 2 1流量与平均速度 图中n为曲面外法线方向矢量 其正负号代表流量的出与入 2020 3 22 18 B2 2 1流量与平均速度 2020 3 22 19 二维流动 流动参数只需要表示为二个空间坐标的函数 另一个方向的参数保持不变或近似不变 二维流动可分为平面流动和轴对称流动等 B2 2 2一维 二维与三维流动 三维流动 流动参数表示为三个空间坐标的函数 平面流动 无限长二维机翼的流动y方向的速度分量为零 在垂直于y方向的所有xz平面上的流动均相同 对翼展 y方向 远远大于翼弦 x方向 的有限长机翼也可按二维流动处理 仅需对翼端作三维修正 2020 3 22 20 B2 2 2一维 二维与三维流动 一维流动 流动参数只需表示为一个空间坐标的函数 例如 1 质点沿曲线S的流动 2 对于圆管截面上的流动 可以引入平均速度 将其化为一维流动 即圆管截面上均匀分布的平均速度代替实际速度分布 如上图中管截面上的虚线 轴对称流动 变截面直圆管内的粘性流动 2020 3 22 21 思考题 润滑油在圆柱形旋转滑动轴承的间隙中被轴承带动 设间隙高度远小于轴承直径和宽度 润滑油的流动可简化为 A 圆柱形空间的三维流动 B 圆环形空间的三维流动 C 垂直于轴线的狭缝中的平面流动 B2 2 2一维 二维与三维流动 2020 3 22 22 直圆管一维流动修正因子 B2 2 2一维 二维与三维流动 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算 但对截面上动能和动量计算造成偏差 引入动能修正因子和动量修正因子 表B2 2 1 圆管粘性一维定常流动修正因子 2020 3 22 23 2020 3 22 24 2020 3 22 25 2020 3 22 26 定常流动 流动参数不随时间变化的流动 定常流动的数学表达式为 在直角坐标系中 B2 2 3定常流动与非定常流动 固定点速度值随时间变化的典型波形 2020 3 22 27 例如 圆球在静止大气中以匀速U运动时 在静止的坐标系中观察圆球对大气的扰动是不定常的 但如果将坐标系固定在圆球上 在与圆球一起前进的坐标系中观察 静止的大气变成以匀速U对圆球的定常绕流 B2 2 3定常流动与非定常流动 经过坐标变换 有的不定常流场可变换成定常流场 2020 3 22 28 B2 2 3定常流动与非定常流动 思考题 在风洞实验中 将飞机或汽车模型固定在洞壁上 让空气匀速地流过模型 请问这种流动属于 A 定常流动 B 不定常流动 2020 3 22 29 迹线 流体质点的运动轨迹 下图中曲线P 迹线方程迹线的拉格拉日表示式 B2 3流体运动的几何描述 迹线的欧拉表示式为 或 式中 t为自变量 x y z均为t的函数 2020 3 22 30 迹线的特点 1 迹线是流场中实际存在的 动画中蓝色虚线为迹线 2 迹线具有持续性 3 在非定常流场中 过流场中的一点可以有多条迹线 思考题 请判断下列说法是否正确 过流场中的一点可以有多条迹线 A 根本不可能 B 在定常流中是正确的 C 在不定常流中是正确的 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 31 流线 线上任意点的切线方向与该点的速度方向一致的假想曲线 下图中曲线S 流线方程 只有欧拉表示式 在直角坐标系中 或 式中 t为参数 x y z为自变量 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 32 流线的特点 1 流线是假想的线 动画中粉红色虚线为流线 2 流线具有瞬时性 t为参数 3 在定常流场中流线与迹线重合 4 在某一瞬时 过流场中的一点有且仅有一条流线 奇点 驻点除外 思考题 请判断下列说法是否正确 过流场中的一点可以有多条流线 A 根本不可能 B 在定常流中是正确的 C 在不定常流中是正确的 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 33 设速度场为 式中k为常数 试求 流线 迹线 方程 并画出流线图 例A 定常流场的流线 迹线 解 流场为定常流场 由流线定义 代入速度场表达式 积分可得 流线方程为 上式为双曲线方程 取常数c 1 2 1 2 画出右图所示的流线图 设k 0 由速度分布式可确定流动方向如图中所示 x y轴是c 0的流线 称为零流线 在原点上u v 0 说明原点是驻点 通常称这种流动为 90 角域流 由于此流场是定常流场 流线也就是迹线 2020 3 22 34 2020 3 22 35 设速度场为 t 0时刻流体质点A位于原点 试求 1 质点A的迹线方程 2 t 0时刻 过原点的流线方程 3 t 1时刻 质点A的运动方向 解 此流场属无周期性的不定常流场 1 由迹线公式可得 迹线方程组 积分 在t 0时刻 质点A位于原点 x y 0c1 c2 0 例B 非定常流场的迹线与流线 质点A的迹线方程为 a 2020 3 22 36 消去参数t可得 上式表明质点A的迹线是一条以 1 2 1 为顶点 且通过原点的抛物线 见右图 2 由流线公式可得 流线方程为 积分 在t 0时刻 流线通过原点 x y 0c 0 相应的流线方程为 x y 这是一条过原点的 一三象限的角平分线 与质点A的迹线在原点相切 例B 非定常流场的迹线与流线 b c 2020 3 22 37 3 为了确定t 1时刻 流体质点A的运动方向 需求此时刻过质点A所在位置的流线方程 例B 非定常流场的迹线与流线 由迹线的参数式方程 a 可确定 t 1时刻质点A位于x 3 2 y 1位置 代入流线方程 b c 1 4 t 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为 x 2y 1 2 d 上式是一条与流体质点A的迹线相切于 3 2 1 点的斜直线 运动方向为沿该直线朝x y值增大方向 讨论 以上可见 不定常流动中迹线与流线不重合 不同时刻通过某空间固定点的流线可以不同 见b式 通过某流体质点所在位置的流线也可以不同 见c和d式 2020 3 22 38 脉线 相继通过一空间点的流体质点连成的线 黑线 脉线的特点 1 容易实现 在固定点连续释放染色剂 在水中 或烟 空气中 在某一瞬时观察到的从该固定点出发的染料或烟的脉络线即为脉线 也称为条纹线 染色线或烟线 2 在定常流中脉线与流线 迹线重合 3 不定常流中脉线与流线 迹线均不重合 B2 3流体运动的几何描述 烟线绕圆柱流动 卡门涡街 2020 3 22 39 流体线 时间线 在流场中某时刻标记的一串首尾相接的流体质点的连线 流体线的特点 1 在流体线上每一质点沿各自的迹线运动 动画中黑线为流体线 2 在定常流中取与流线垂直的流体线构成方格 可显示流体团随时间变形的特征 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 40 思考题 请判别图中虚线 在平板向右匀速拖动的过程中 从垂直线变为斜直线的虚线 是 A 迹线 B 流线 C 脉线 D 时间线 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 41 流管 在流场中通过任意的非流线的封闭曲线上每一点作流线所围成的管状面 见下图 流管的特点 1 具有流线所有的特点 2 在定常流中流管形状不变 像固定的管道 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 42 流束 流管内的流体 可看作无数流线的集束 平行流 流束内所有流线均相互平行 缓变流 流束内的所有流线虽然不完全平行 但流线之间的夹角很小 有效截面 处处与流线垂直的截面 平行流的有效截面是平面 缓变流的有效截面近似为平面 微元流束 有效截面为无限小的流束 工程上常将微元流束代表流线 总流 所有微元流束的总和 工程上常将管道或渠道壁所围的流体流动称为总流 B2 3流体运动的几何描述 2020 3 22 43 随体导数 物质导数 质点导数 质点加速度是流体质点在运动中速度随时间的变化率 这种描述加速度的方式属于拉格朗日观点 那么怎样用欧拉观点来描述质点导数呢 B2 4流体质点的随体导数 2020 3 22 44 在给定的速度场中 任意一质点p运动时空间位置随时间不断变化 见下图 B2 4 1加速度场 速度的三个欧拉坐标都是时间的函数 用全导数的方法求质点p的加速度 2020 3 22 45 由p的任意性 用欧拉坐标表示的空间加速度场为 在直角坐标系中加速度场的分量式为 B2 4 1加速度场 2020 3 22 46 在沿流线s的一维流动V V s t 中 加速度分布为 例题B2 4 1 质点导数 由速度场求加速度 求 加速场 原点和 1 1 1 点的加速度 已知 速度场 B2 4 1加速度场 2020 3 22 47 解 结果表明 原点的加速度的y z分量在任何时刻均为零 而 1 1 1 点的加速度三个分量在不同时刻均不同 在 1 1 1 点 z方向的速度分量与时间无关 但加速度分量却与时间有关 B2 4 1加速度场 在原点 在 1 1 1 点 2020 3 22 48 B2 4 2质点导数 任意物理量 的质点导数为 表示空间点上的物理量B随时间的变化率 称为物理量B的当地变化率 局部导数 反应流场的不定常性 表示沿x方向的位移 迁移 时 因流场的不均匀性引起的物理量B的变化 称为物理量B在x方向迁移变化率 或位变导数 和 分别表示在y z方向的迁移变化率 2020 3 22 49 式中 流场加速度可表示为 当地加速度 迁移加速度 用场论符号表示 B2 4 2质点导数 2020 3 22 50 思考题 右图为一水箱带一收缩圆锥喷嘴 水位高h 请判断下列说法是否正确 1 h为为常数时 点2的加速度为零 点1有迁移加速度 a 对 b 错 2 h随时间变化时 点2只有当地加速度 点1既有当地加速度又有迁移加速度 a 对 b 错 A a a B a b C b a D b b B2 4 2质点导数 2020 3 22 51 已知 图中为一圆锥形收缩喷管 长为36cm 底部A0和顶部A3的直径分别为d0 9cm d3 3cm 恒定流量Q 0 02m3 s A1和A2为两个三分点的圆截面 求 按一维流动计算A0 A1 A2 A3四个截面上的速度和加速度 例B2 4 2 收缩喷管定常流动 迁移加速度 解 取轴向流动方向为轴 底部为原点 喷管内为定常流动 当地加速度为零 只有迁移加速度 按一维流动式计算 V为管截面上的平均速度 任意管截面与底部的距离为x 面积A与x的关系为 2020 3 22 52 例B2 4 2 收缩喷管定常流动 迁移加速度 任意管截面上的平均速度和加速度为 计算结果如下表所示 2020 3 22 53 例B2 4 2 收缩喷管定常流动 迁移加速度 平均速度和加速度的变化曲线如图所示 讨论 结果表明 圆锥进出口截面直径比为3 1 速度比为1 9 加速度比为1 242 由牛顿第二定律 加速度与作用力成正比 因此流体对喷管壁的冲击力将是很大的 力的计算将在B4 3节中讨论 2020 3 22 54 B2 5一点邻域内的相对运动分析 流体质点之间的相对运动与力有关 但本节先不考虑力的作用 纯粹从运动学角度分析一空间点邻域内的流动特征 用位移场计算基元体的应变和旋转角 固体力学 流体力学 用速度场计算一邻域内的流体应变速率和旋转角度变化速率 2020 3 22 55 B2 5 1亥姆霍兹速度分解定理 以xy平面流场为例 设M0 x y 点的速度为v M0 ui vj 邻近点M x dx y dy 的速度可用v M0 的泰勒展开式表示 取一阶 图B2 5 1 分量式为 2020 3 22 56 在x方向分量式上加减 在y方向分量式上加减 整理后可得 赫姆霍兹定理表明 一点邻域内的速度 平移速度 旋转速度 线变形率 角变形率 B2 5 1亥姆霍兹速度分解定理 质点M0的平移速度 M点绕M0点旋转引起的相对速度 两点间线元线应变率引起的相对速度 两点间体元角变形率引起的相对速度 2020 3 22 57 B2 5 2流体的变形 线应变率 称为x方向的线应变率 正方形面元的线应变率 仍以xy平面流场为例 设速度分量u沿y方向不变 v沿x方向不变 现考察正方形面元 x y 经过 t时间后 x方向增加的长度为 图B2 5 2 单位长度单位时间的伸长为 同理 y方向和z方向的线应变率 2020 3 22 58 当两个方向同时伸长时正方形面元将扩张 面积的相对扩张率为 当 t 0时 面积的瞬时相对扩张率为 B2 5 2流体的变形 在场论中称为速度散度 2020 3 22 59 将上述分析推广到空间流动 流体元体积的瞬时膨胀率为 B2 5 2流体的变形 思考题 根据质量守恒定律 流体元的体积变化将引起密度变化 由于表示流体元的瞬时体积相对膨胀率 当时意味着流体是 A 均质的 B 不可压缩的 C 可压缩的 2020 3 22 60 试求 1 流线 线应变率和面积扩张率表达式 2 设k 1 t 0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于右图所示位置 求t t 时刻点a 1 3 到达点a 3 3 时流体面a b c d 的位置和形状 例B2 5 2 膨胀流动 线应变率与面积扩张率 1 解 1 因v 0 流线微分方程为dy 0 积分可得流线方程为 说明流线是平行于x轴的直线族 线应变率为 设平面流场为 y c c为常数 2020 3 22 61 例B2 5 2 膨胀流动 线应变率与面积扩张率 1 对流体面abcd和a b c d 内所有质点均满足 a b 式 现t 相同 x x也相同 设k 1 由点a 1 3 和a 3 3 x x 3 即x 3x y y 因此M x y M 3x y 说明x方向的线元以恒速率k伸长 y方向的线元长度保持不变 面积扩张率为 v 说明 流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数 任何单位面积的流体面均以恒速率k扩张 通常将这种流动称为膨胀流 当k 0时为收缩流 2 设t 0时 质点位于M x y t t 时位于M x y 求质点轨迹方程 a b 20