布里渊区

2 3布里渊区 Brillouinzone 一 劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二 布里渊区散射条件和布里渊区 Brillouinzone 1 布里渊散射条件 Brillouin sdiffractioncondition 2 布里渊区 Brillouinzone 3 布里渊区的性质 propertiesofBrillouinzone 提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢 一 劳厄衍射条件和布拉格定律等价 在实际应用中 用另外一种散射条件表示劳厄衍射条件会更方便一些 在弹性散射中 光子的能量是守恒的 k和k 的大小相等 且有 2 3 2 式就是散射条件 它是布拉格定律的另一种表示形式 下面我们来说明它与布拉格定律是等价的 由倒格子的性质我们已知 以密勒指数 hkl 为系数构成倒格矢 垂直于密勒指数 hkl 的晶面族 而且这个晶面族的面间距为 即可以得到布拉格的结果 二 布里渊散射条件和布里渊区 Brillouinzone 1 布里渊散射条件 Brillouin sdiffractioncondition O点是倒空间的原点 考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格矢 作垂直平分线 三维情形将是垂直平分面 如果入射波矢满足 2 3 2 式 将 2 3 2 式两边同除以4 散射条件则可写成 2 3 3 这就是布里渊的散射条件 容易看出 任何连接原点和垂直平分面的波矢都满足散射条件 在图2 4所示的倒格子中 画出所有的倒格矢的垂直平分面 可以得到倒格子的维格纳 赛茨 Wigner Seitz 原胞 因为W S原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性 在固体物理学中常采用W S原胞 而不是倒矢量为边矢量围成的平行六面体作为倒格子的周期性结构单元 提供了一个生动而清晰的几何诠释 它包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 倒格子的W S原胞被称为第一布里渊区 它的价值和意义在于它为方程 2 3 2 的衍射条件 2 布里渊区 第一布里渊区 根据上面的分析 对布里渊区的每个界面 当入射波矢的端点落在这些面上时 也必然产生反射 下面举例说明一维 二维 三维晶格点阵的布里渊区 1 一维晶格的布里渊区一维晶格点阵的基矢为对应的倒格子基矢为 2 二维正方格子的布里渊区 设方格子的原胞基矢为 倒格子的原胞基矢为 离原点最近的的倒格点有四个 b1 b1 b2 b2它们的垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区 即第一布里渊区 显然 第一布里渊区是一个正方形 面积为S 2 2 a2 二维方格子布里渊区 为整数 离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为 通过这四个矢量的中点 照此可以画出第二布区 第三布区等 如右图所示 可以看出 布区的序号越大 分离的区域越多 但不论分离的区域数目是多少 各布区的面积是相等的 3 简单立方格子的布里渊区简单立方格子的倒格子仍然是简立方 离原点最近的有六个倒格点 第一布里渊区就是原点和这六个近邻的格点连线的垂直平分面围成的立方体 可见 体心立方结构的倒格子是面心立方结构 离原点最近的倒格点有12个 它们是 这十二个倒格矢的中垂面围成的区域就是第一布里渊区 如图2 7所示是一个十二面体 第一布里渊区种典型对称点的坐标为 图2 7体心立方正格子的第一布里渊区 5 面心立方结构晶体点阵的布里渊区取面心立方的原胞基矢为 原胞体积为 倒格子原胞基矢为 必须再考虑次紧邻的六个倒格点 倒格矢为 它们的中垂面截去了正八面体的6个顶角 形成一个截角八面体 它有八个正六边形和六个正方形 即十四面体 而截去的体积恰好是 可见 这个截角以后的八面体是第一布里渊区 如图2 8所示 图2 8面心立方正格子的第一布里渊区 第一布里渊区种典型对称点的坐标为 3 布里渊区的性质从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质 1 布里渊区的形状与晶体结构有关 2 布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成 3 对于给定的晶体结构 各布里渊区的形状不同 但体积都相同 都等于倒格子的原胞体积 其实 第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳 赛茨原胞 它的体积就是倒格子原胞体积 2 3布里渊区 Brillouinzone 一 劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二 布里渊区散射条件和布里渊区 Brillouinzone 1 布里渊散射条件 Brillouin sdiffractioncondition 2 布里渊区 Brillouinzone 3 布里渊区的性质 propertiesofBrillouinZone summary Thecentralcellinthereciprocallatticeisofspecialimportanceinthetheoryofsolids ItisthefirstBrillouinzone ThefirstBrillouinzoneisthesmallestvolumeentirelyenclosedbytheplanesthatareperpendicularbisectorsofthereciprocallatticevectors ThefirstBrillouinzoneistheWigner Seitzprimitivecellinthereciprocallattice Brillouinzone 2 4原子的形状因子和结构因子 atomicformfactorandstructurefactor 一 散射波振幅 Diffractionamplitude 二 结构基元的傅立叶分析 Scatteringfromalatticewithbasis 三 原子形状因子 atomicformfactor 本节思路 在分析散射振幅的基础上 介绍原子的结构因子和形状因子 给出几种晶体衍射消光的条件 一 散射波振幅 Diffractionamplitude 1 振幅的表示 expressofamplitude 2 4 2 2 电荷密度的傅立叶展开 Fourierseriesofchargedensity 在理想晶体中 电荷密度和晶格一样具有平移周期性 也就是说 平移任意格矢的长度 电荷密度不变 即 2 4 3 2 4 6 这里 g可以看成是以a为周期的一维晶格的倒格矢 2 4 8 式就是三维情况下的普遍形式 2 4 4 在一维情况下的具体表现形式 2 4 8 2 4 9 将 2 4 4 式代入 2 4 2 式 有 2 4 10 因此 布拉格峰值的强度取决于电荷密度各自的傅立叶分量 二 结构基元的傅立叶分析 Scatteringfromalatticewithbasis 当晶体结构是复式格子时 原胞中包含不止一个原子 每一个原子在原胞中的位置是不等价的 这时必须考虑每一个原子的散射情况 散射布拉格峰值的强度 将取决于基元中每个原子的散射波与其它原子的散射波之间干涉的程度 1 结构因子的定义 definitionofstructurefactor 但是这有一个问题 因为我们不是每次都能给出同每个原子相联系的电荷密度 不过这个问题不太难解决 2 形状因子的定义 definitionofformfactor 3 原胞基矢表示的结构因子 由上面的讨论可知 如果已知原子的形状因子fi 就可以由衍射强度推出原胞中原子的排列 反之 如果已经知道原胞中原子的排列 也可以确定衍射线加强和消失的规律 把几何结构因子能使空间点阵所允许的某些反射抵消 称为衍射消光 以CsCl结构晶体的结构因子为例 对于氯化铯结构的晶体 一个原胞中有A B两种原子 其坐标为A 000 B 代入 2 4 18 式得到氯化铯结构晶体的几何结构因子为 结晶学中选取晶胞为重复单元 以上结论仍然适用 只是晶胞内的原子可能有相同的原子 甚至全部是同种原子 因为同种原子的形状因子完全相同 可能出现某些晶面完全消光 采用晶胞的情况下 4 晶胞基矢表示的结构因子 结构因子表示为 下面根据 2 4 18 计算几种常见晶体结构的衍射消光条件 1 体心立方晶格的结构因子 structurefactorofbcclattice 体心立方结构的晶胞中含有两个原子 其坐标可以选为 000 和 因为同种原子的形状因子相同 即 衍射强度为 因此 对于元素体心晶体 只要衍射面指数之和为奇数时反射消失 比如 金属钠是体心立方结构 在其衍射图谱中将不出现 100 300 111 或 221 谱线 但存在 200 110 222 或 211 谱线 2 面心立方晶格的结构因子 structurefactoroffcclattice 面心立方结构的晶胞中含有4个原子 坐标可选为 000 对于元素面心立方晶体 晶面族 hkl 的结构因子为 衍射强度为 衍射晶面指数全部为偶数或全部为奇数时 几何结构因子都不等于零 可以出现衍射谱线的晶面有 111 200 222 220 131 等 当衍射面指数部分为偶数 部分为奇数时 衍射消光 三 原子形状因子 atomicformfactor 2 4 16 式给出原子形状因子的定义 它既与原子中电子数目和分布相关 又与辐射的波长和散射角度有关 它是原胞中第j个原子散射本领的量度 对于单个原子产生的散射辐射 要考虑到原子内的干涉效应 这时 形状因子可以写成 即原子形状因子等于原子中电子的数目 所以 f是一个原子中实际电子分布所散射的辐射振幅与被局限在一个点上的一个电子所散射的辐射振幅之比 当X射线入射至晶体内 X射线的电磁波将与组成晶体的原子内的电子发生相互作用 而被散射 这里只考虑能量不发生相互转换的弹性放射 因为每个原子内包含有许多电子 而这些电子在空间中又有一定分布 因此被这些电子散射的电磁波之间将发生相互干涉 另外这些原子在空间中又有一定的规则分布 因此各个原子的散射波之间的相互干涉 结果使总的散射波强度在空间中形成明暗的花纹 为了计算原子散射波之间的相互干涉 可以先计算出一个原胞内不同原子散射波之间的相互干涉 而后再计算各个原胞之间的相互干涉情况 当分析衍射的x射线强度在空间中的分布情况时 可以分成下面三个步骤 1 先计算被一个原于内的各个电子散射的电磁波的相互干涉 其结果常用原子散射因子 形状因子 表示 它定义为原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅比 它的大小由下式表示 式中及A分别表示原子散射波振幅 即原于内所有电子的散射波总振幅 及一个电子的散射波振幅 表示电子在原于内的分布密度 及分别表示入射的x射线电磁波及被放射的x射线电磁波的波矢 2 然后再计算一个原胞内各原于散射波之间的相互干涉 一个原胞的总散射波的情况可用几何结构因子表示 它定义为一个原胞内所有原子散射波振幅的几何和与一个电子散射波的振幅比 常可表示为 这里是原胞的散射波振幅 即是原胞内所有原子散射波振幅的几何和 是原胞中第j个原子的原子散射因子 是第j个原子的位置矢量 3 最后再考虑各原胞散射波之间的相互干涉 因为晶体是由各原胞在空间中周期性排列