几何画板在数学课程几何教学设计中的应用_毕业设计(论文).doc

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：几何画板在数学课程几何教学设计中的应用 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类） 年 级 2009级 目录摘要IAbstractII引言1第一章几何画板简介1第二章几何画板的作图演示功能12.1绘图功能22.2数学作图功能22.3 直观验证功能32.4 模拟反馈功能42.5探究发现功能5第三章几何画板软件辅助几何教学的优点73.1形象化73.2动态化73.3整合化73.4在各个方面培养学生能力8第四章几何画板与几何教学整合的实践84.1结合几何画板的特点，分析教材，改进教法84.2利用几何画板辅助教师讲授基础知识，帮助学生理解基本概念84.3利用几何画板动态展示教学内容或数学问题，把抽象的数学教学变得形象、直观9第五章 在课堂中利用几何画板构造立体图形解决实际问题115.1构造三棱锥115.2构造正方体125.3构造长方体135.4应用等积变换构造立几模型135.5分割图形14第六章几何画板在解析几何中探究轨迹问题156.1弦上特定点的问题156.2椭圆弦心三角形三心及垂足点的轨迹186.3椭圆弦焦三角形三心及垂足点的轨迹196.4椭圆过两焦点三角形四心点的轨迹20致谢21参考文献21几何画板在数学课程几何教学设计中的应用XXX（重庆XX学院 数学与统计学院 数学与应用数学专业 2009级 XXX XXX）摘要：随着信息技术的发展，如何构建信息技术与数学教学整合的教学模式是一个新的问题，使用计算机技术能使抽象的数学问题变得具体、形象，使复杂的“数”通过直观的“形”来表示，能为数学活动提供探索的平台，为数学知识的建构提供技术支持. 几何画板软件能绘制出各种非常直观的图形，在辅助教学中更加形象化、动态化、整合化并在各个方面培养学生能力.本文首先将对几何画板软件进行系统的介绍，其作图演示功能、辅助教学的优点；然后将几何画板与几何教学整合的实践，分析教材改进教法，帮助学生理解基本概念，在动态展示教学把抽象的数学教学变得形象直观；其次利用几何画板在课堂中构造立体抽象图形解决实际问题，如构造三棱锥、正方体、长方体和分割图形等；最后利用几何画板探究轨迹问题，更深层次的探究几何的奥秘.一切从实际出发，由浅到深的充分发挥几何画板的作用，最终达到计算机信息技术与数学教学活动融为一体的效果谈一些实践方法，在提出了自己的一点看法.关键词：几何画板；平面几何 ；立体几何 ；解析几何 ；动态几何IGeometric sketchpad application in geometry teaching mathematics curriculum design XXX(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Statistics, XXX,XXX Chongqing 404000 ) Abstract:Along with the development of information technology, how to build a teaching model of integration of information technology and mathematics teaching is a new problem, using computer technology can make the abstract mathematical problem becomes concrete, vivid, make complex number said through intuitive form, can offer exploration platform for mathematics activities, provide technical support for the construction of mathematical knowledge. Geometry drawing board software to map a variety of intuitive graphics, more visualization, dynamic and integration in the auxiliary teaching and training students ability in each aspect. At first, this paper will be of geometry drawing board software system is introduced, its function of graphic demonstration, the advantage of auxiliary teaching; Then geometry drawing board and integration of geometry teaching practice, analysis of teaching material, improve teaching to help students understand the basic concepts, in the dynamic image display the abstract mathematics teaching becomes intuitive; Secondly using the geometry drawing board to construct three-dimensional abstract graphics in the classroom to solve practical problems, such as constructing triangular pyramid, cubes and rectangles and segmentation graphics, etc.; Finally the use of geometry drawing board to explore the path problems, further explore the mystery of the geometry.Everything from set out actually, from shallow to deep, give full play to the role of the geometry drawing board, finally achieve the effect of the computer information technology and mathematics teaching activities combined to talk about some of the practice, in put forward its own views.Keywords：Geometry drawing board plane geometry, solid geometry, analytic geometry, dynamic geometry.2引言 对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用.不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力.同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的.众所周知，数形结合是数学学科最重要的思想方法之一，是联系数学直观和抽象的主要工具.新课程标准指出：“现代信息技术要改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.”目前，现代信息技术在教学中的应用已成为一个热点问题.因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革用计算机辅助教学，改善人们的认知环境越来越受到重视.从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，通过基本的点工具、圆规工具、直尺工具、辅以选择箭头工具、文本工具、自定义工具和“编辑”、“显示”、“作图”、“变换”、“度量”、“图表”六大菜单提供了强大的计算功能和静、动态演示功能.现已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一.第一章几何画板简介几何画板（原名：The Geometers Sketchpad）是由美国Key Curriculum Press公司研制并出版的几何软件.它是一个适用于数学教学的软件平台，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境.它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式，能显示或构造出较为复杂的图形.几何画板操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件.它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容.几何画板非常适合于数学老师使用，因为用它进行开发最关键的是“把握几何关系”，这也正是数学老师所擅长的.用几何画板绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前. 在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果.第二章几何画板的作图演示功能作图演示功能是几何画板最基本、最常用的功能，由于其简便的操作、清晰的界面、易于开发的环境以及和其他软件良好的图片兼容性而深得广大数理教师的喜欢.几何画板的演示作图功能按作图过程中涉及的数学思维的深浅笔者将其分为绘图功能和数学作图功能两类.2.1绘图功能 笔者所谓的绘图功能，通俗的讲，就是把几何画板当作画图板使用.画图过程中基本不需要较多的数学知识来支撑，就如同一个即使从来并没有学过数学的人用笔在纸上画图，只不过现在是利用几何画板提供的画点、画圆（圆弧）、画线（直线、射线、线段）工具当作笔，电脑屏幕当作纸而已.区别可能就在于纸上的图要通过扫描才能成为数字文档，从这个意义上讲，它的功能类似于windows自带的画图板.如图2-1-1中精美的图形都由几何画板画得.当然，几何画板在动态作图方面是画图板不可比拟的.如立体几何中研究长（正）方体中点、线、面关系的时候，可利用几何画板画出一个可以旋转的长（正）方体，帮助学生从不同角度观察研究立体图形，逐步提高学生的空间想象力.如图2-1-2. 图2-1-1 三维三视图 图2-1-2 旋转长方体2.2数学作图功能 不夸张的讲，几何画板的数学作图功能才是真正体现了几何画板的数学价值.这里所谓的数学作图，是指最大程度地运用几何画板提供的各种工具，借助一定的数学知识，通过数学化的设计、构造，作出体现某个数学原理、或为理解某个数学原理服务的数学图形.如果说纯粹画图是站在画家的角度讲究画得像不还是不像的话，那么数学作图则是站在一个数学家的角度，更多的是体现作图过程中数学知识的渗透，是为理解、探究某个数学概念或原理，运用已知的一些数学知识有意识地、可预见地构思和设计作图过程，最终通过构造作图，达到帮助理解数学概念或原理的目的.从作图的侧重点来看，纯粹作图主要侧重最后作出的图形结果，而数学作图更加侧重作图中的数学设计过程.可以说，一个没有较好数学素养的人，是用不好几何画板的.从这个意义上讲，在运用几何画板进行数学作图的过程本身也是一个数学知识应用、探究和学习的过程.几何画板的数学作图功能几乎是为数学学科度身定做的，尤其体现在二维作图方面，例如：案例1：直接作出函数图像.在直角坐标系环境下通过输入形如“或”或在极坐标系环境下输入形如“或 ”格式的函数解析式，可直接作出函数图像，同时，通过控制函数解析式中参数的变化，可动态展示图像的变化.例如在二次函数最值问题的教学中：利用“图表”菜单中“新建参数”功能给出参数、，再利用“新建函数”功能给出函数解析式，鼠标右击函数解析式，利用“绘制函数”功能，可直接画出函数的图像.进一步借助参数，可画出函数在限定区间上的图像.如图2-2-1，图中 图2-2-1二次函数最值问题函数的图像（整个二次函数图像上较粗的那段）即为函数的图像，（式中的“”主要是为了构造定义域，事实上，类似也可画出其他定义域上的图像）.这样，通过控制参数、的变化（选中相应参数后可用键盘+/-控制或直接利用“参数动画”实现），可直观演示二次函数在限定区间上“区间定函数动”和“函数定区间动”两类常见的值域（最值）问题.案例2：作参数方程对应曲线.通过“显示”菜单中的“追踪动点”功能可轻松显示参数方程的轨迹.例如极坐标系中，可利用等速螺线的参数方程轻松模拟等速螺线：设等速螺线参数方程为：，如图2-2-2，先新建参数，利用“度量”菜单中的“计算”功能分别计算和，依次选中计算结果和，利用“图表”菜单中的“绘制点”功能画出点，选中此点，利用“显示”菜单中的“追踪点”功能追踪此点，通过变化参数（选中参数后可用键盘+/-控制或直接利用“参数动画”实现），即可动态演示此点的轨迹为等速螺线.R案例3：利用“轨迹”菜单作轨迹.过“作图”菜单中的“轨迹”功能，可直接作出类如所求动点随另一动点运动而运动所形成的轨迹.例如解析几何中，利用椭圆参数方程中参数的几何意义离心角，根据已知的椭圆长、短轴长、画出椭圆：如图2-2-3，给出参数、，以为圆心， 图2-2-2参数方程曲线 图2-2-3轨迹函数图象分别以、为半径画出大圆和小圆，在大圆上任取一点，作射线交小圆于点，过作轴的平行线交过与轴平行的直线于，由于当在大圆上运动时，点的轨迹即为以为长轴、以为短轴的椭圆，故依次选中点和点（两点全部选中），利用“构造”菜单中的“轨迹”功能可直接作出点的轨迹以为长轴、以为短轴的椭圆.通过控制参数、可随意作出已知长、短轴长的椭圆.2.3 直观验证功能 数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍，如何变抽象为形象，也一直是数学学科与信息技术整合的主要内容之一.几何画板强大的计算、作图功能以及个人电脑屏幕的的大尺寸、高分辨率为一些抽象的数学问题提供了直观验证的可能，成为帮助学生克服数学学习抽象性的有力工具.案例4：当时，就函数与的图像的交点情况提出你的问题，并加以解决（说明：函数有如下性质：在区间上单调递减，在区间上单调递增解题过程中可以利用.）本题的结论是：当时，函数与的图像有3个交点；当时，函数与的图像有1个交点（具体解答从略）但在课后，虽然学生承认结论的成立，但很多学生还是表现出难以信服的表情.有的同学虽然借助计算器计算有关数据得到了一定的直观论证，但始终难以将时函数与的图像的3个交点直观的画出来，迫切地吵着要我画出直观图.究其原因，主要是手工画图误差较大，即使TI图形计算器，由于分辨率不高也不能达到很好的展示效果.为此，笔者借助几何画板自制课件：先作出点供参照；作连接原点和单位点的线段，在此线段上任取一点E，计算E点横坐标xE；利用“图表”菜单“绘制函数”功能画出函数 和的图像；拖动点E控制两个函数的底xE在内递减变化.直观地演示了当时的1个交点（如图2-3-1）、到当时的一个切点（如图2-3-2）、直到时的3个交点（如图2-3-3）的整个过程，有效地验证了用数学方法解得的结论. 图2-3-1两曲线的交点1 图2-3-2两曲线的交点2 图2-3-3两曲线的交点3 2.4 模拟反馈功能传统的静态作图无法模拟数学中的动态变化，很多时候仅凭想象往往会面临高度的抽象和可想而不可及的尴尬，甚至会出现由于想象的不严密而导致的错误.几何画板在动态中保持几何关系相对不变的特点以及能将较简单的作图和通过定义、构造、运动和变换的功能能帮助我们模拟一些数学变化，进一步研究变化过程中的数学现象.案例5：如图2-4-1，直角三角形，点、点分别在射线、上滑动，求当点从原点径直滑动到点的过程中，点经过的路程. 图2-4-1坐标轴上的三角形 图2-4-2三角形斜边中点轨迹本题的关键是“路程”两字.很多同学先求出点的轨迹方程，得其轨迹是一条线段：（具体解答过程从略），然后求出该线段的长度等于2，就作为点C经过的路程；也有的同学认为应该算出点分别在起始位置原点和最终位置点处对应的点的位置和之间的距离即可，算得答案.实际上，以上两个答案都是错误的.造成错误的主要原因是学生只关注了在点从原点运动到的过程中点所形成的最终轨迹，而忽略了（或者说感受不到）形成这个轨迹的具体过程.事实上，从点开始运动到结束，点经历了一个往返的过程，因此以上两个答案并非点经过的真正路程.那么，点到底经历了一个怎样的往返？其经过的路程究竟是多少？此时此刻，静态的说明已经显得杯水车薪，如何直观地模拟出点运动的整个过程就显得格外重要. 模拟的关键是怎样构造一条长度为4且两端分别在射线、上滑动的线段.利用平面几何“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”作如下构造：先作出以原点为圆心，过点的圆在第一象限的圆弧（包括弧的两个端点），并在圆弧上任取一点，过分别作轴、轴的平行线，然后分别作出原点关于这两条平行线的对称点、，线段的长度总等于.然后将线段分别绕点逆时针旋转30度、绕点顺时针旋转60度，得交点即直角顶点.这样，拖动点在圆弧上滑动，就可模拟符合题意的斜边端点在射线、上滑动、且斜边长为定值4的直角三角形的运动（如图2-4-2）.选中点C，追踪点C，拖动E从到（等效于点从原点O滑动到点），就能模拟演示点C的运动过程.通过模拟可以发现，在整个过程中，点C从点出发（如图2-4-3），沿直线向上运动到点（如图2-4-4），再返回沿直线向下一直运动到点（如图2-4-5），因此点C经过的路程应. 图2-4-3中点轨迹1 图2-4-4中点轨迹2 图2-4-5中点轨迹32.5探究发现功能市教委制订的关于加强课程与信息技术整合的指导意见提出在理科方面要“应用数字化真实或虚拟试验互动软件，充分展示科学原理的发生、发展过程，帮助学生更好的理解科学；通过各类可视化、交互式的教学软件以及信息技术在数据统计、分析、再现等方面的强大支持，突出量化分析和研究效能，使信息技术成为学生探究科学世界的有力工具”.几何画板简单易学的操作使学生能在较短时间较完整地掌握其基本功能，从而为学生运用几何画板独立探究、发现数学规律提供了可能，使学生从“听”数学逐渐向“做”数学转变，不断促进数学学习过程中“做”与“想”的有机统一.案例6：一张矩形纸片，如图2-5-1，将矩形纸片的角折起，使点落在线段的上，求所有折痕EF的中点P的轨迹方程.案例研究过程再现：yx1、师生共同分析，达成共识.根据折叠的轴对称特性，折痕EF即为的中垂线与矩形边界的两个交点间的连线段，因此所求轨迹方程即为当点 在线段CD上滑动时，的中垂线与矩形边界的两交点E、F的连线段的中点P的轨迹方程. 图2-5-1矩形折痕中点1 图3-5-2矩形折痕中点22、学生独立解答.有学生解答如下：如图2-5-2所示建立平面直角坐标系，设，求得线段的中垂线的方程：,分别令得、普通方程为.3、学生质疑.很快，有学生对上述解法提出了异议，认为题中的折痕并不一定是的中垂线与横、纵坐标轴的交点，真正的折痕端点一端可能并不在坐标轴上，如图3-5-2.4、探究发现.那么，在整个过程中，折痕如何变化、所求轨迹方程到底又是怎样的呢？考虑到本题中所涉及的几何图形较为简单，利用几何画板很方便就能模拟，因此让学生尝试通过几何画板进行探究：先建立平面直角坐标系，作出、四点，顺次选中四点，利用作线段功能作出矩形ABCD.在线段CD上任取一点A，作线段AA的中垂线，拖动点，让学生观察在线段DC上滑动时，与矩形边界的交点E、F所处的位置的变化：拖动从D到C,发现E、F一开始在线段AD、BC上（如图2-5-3），然后在AD、AB上（如图2-5-4），最后在DC、AB上（如图2-5-5）.显然，学生的质疑是合理的.拖动点同时，通过几何画板“显示”菜单的“追踪”功能追踪P点（注意：根据交点的三图2-5-3矩形折痕中点轨迹1 图2-5-4矩形折痕中点轨迹2 图2-5-5矩形折痕中点轨迹3图2-5-6矩形折痕中点轨迹4 图2-5-7矩形折痕中点轨迹5 图2-5-8矩形折痕中点轨迹6 种不同情况分别追踪），发现其轨迹是一个由两条线段和一条曲线段所围成的封闭曲线.如图2-5-6、2-5-7、2-5-8.最终，解题的重点就放在围成轨迹的线段、曲线段相应端点的确定上了.再现整个过程，发现围成轨迹的线段、曲线段相应端点对应着点的几个关键位置.经计算得线段LM、LN的方程分别为、，曲线段MN的方程为，所以所求的轨迹方程为：.至此，问题得以解决.第三章几何画板软件辅助几何教学的优点 用几何画板绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前.如在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果.3.1形象化几何画板是探索数学奥秘的强有力的工具,利用这个画板可以做出各种神奇的图形.比如制作动态正弦波、各种函数曲线和数据图表等.教学中若使用常规工具(如纸、笔、圆规和直尺)画图,画出的图形是静态的,很容易掩盖一些重要的几何规律.而使用几何画板,可以画出有几何约束条件的几何图形.另外,几何画板可以在图形运动中动态地保持几何关系,可以运用它在变化的图形中发现恒定不变的几何规律.比如用画点、画线工具画出一个三角形后,作出它的三条角平分线、中线、中垂线,可以用鼠标任意拖动三角形的顶点和边,就可以得到各种形状的三角形,这个动态的演示,也可以用于验证“无论三角形如何变化,其三条中线总是交于一点”.还有，在抽象的立体几何中，利用几何画板 可以将抽象形象化，让同学们作出形象化的立体图形.3.2动态化 利用几何画板运动按钮“动画”和“移动”功能经过巧妙的组合后,所制作出的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行动画或移动,可以产生良好、强大的动态效果,并且所度量的角度或线段的长度及其他的一些数值也可以随着点、线、面、体的运动而不断地发生变化,非常接近于实际,可以更好地达到数形结合,给学生一个直观的印象,起到良好的教学效果.3.3整合化随着信息技术的发展,涌现出了Powerpoint、F1ash、Authorware、VisualBasic以及几何画板等一些对促进数学教学有着很大的作用的软件,为信息技术与数学课程的整合提供了有效的平台.然而作为课件创作人员,使用单一的制作软件开发教学软件总是存在不足.数学课件的制作中可以使多种软件整合使用,几何画板可被Flash调用、Authorware调用、Powerpoint调用.3.4在各个方面培养学生能力 几何画板的很多不同于其他绘图软件的特点为教学过程中提出问题、探索问题、分析问题和进一步解决问题提供了极好的外部条件,为培养学生的能力提供了极好的工具. 1.培养学生的思维能力.在教师精心的设计下,恰当地利用几何画板的演示,协助学生思考而不是代替学生思考,可促进学生思维的发展.在椭圆的离心角的教学中,椭圆的半径为终边的角与椭圆离心角容易混淆.若利用几何画板,不仅可以使学生把这两个角的关系辨析清楚,而且电脑动态显示的优势抓住了时机,有助于发展学生的思维能力. 2.培养学生的探索、观察能力.“探索是数学的生命线”.用几何画板进行探索思考、观察,使学生的想象力得以发挥,其显示功能通过动态的演示轨迹,增强学生感性认识,化抽象的事物为具体的事物. 3.解决许多带参数的轨迹问题,培养学生分类讨论的能力.在画板的帮助下很多需要分类讨论的带参数的问题变得简单,让学生们在思考过程中“兴奋”起来,学生对参数的改变引起轨迹的变化的认识也就更深刻了,分类讨论的思想迎刃而解. 4.培养学生解决实际应用问题的能力.应用的广泛性是数学的又一特点,数学教学中注重应用.应用题往往难在对实际问题的数学化.而运用画板进行辅助教学将易于揭示其数学本质,有助于增强学生的数学应用能力. 第四章几何画板与几何教学整合的实践4.1结合几何画板的特点，分析教材，改进教法 数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，传统的数学教学基本要求是：学生掌握基础知识的基本技能.整个教学过程是培养学生思维过程，熟练掌握基本技能的过程，开发学生的空间想象能力的过程，这些都是数学教育的特殊基本要求.仔细分析了几何的教学内容，和几何画板的功能.利用计算机创设出一个赋有创造性，启发性的教学情境如：对教学概念、定义的理解，对新知识的探索，挖掘数学的内涵.其中一个关键因素是选择适当的切入点，不同的教学阶段有着不同的切入点.并利用学校有利的条件指导学生使用软件，让学生自己动手画几何图形及函数图像等，一改以往所有计算机辅助教学的“课件”由教师，专业人员制作，充分发挥学生的想象力，全体学生参与制作，极大地调动了学生求知欲望. 这样的教学方法设计，突出了学生的主体地位和探索观察的实验意识，从一般到特殊，从形象到抽象，学生经过这样一番试验、观察、猜想、证实之后，再引导学生给出证明，这样较难讲清的问题，就在学生的试验中解决了.4.2利用几何画板辅助教师讲授基础知识，帮助学生理解基本概念概念是一事物区别于它事物的本质属性，数学概念来源于实际，是对现实世界中事物的数量关系和物质形态在质上的抽象和概括.在教学中讲授或学习概念常常需要借助实物形式或物质的形态进行直观性表述.平面几何教学难，难在于其抽象性.学生由于对概念的“形态式”语言的表示出现问题，故而导致对概念的理解产生了错误.学生不能把概念转换为图形语言，从图形中理解抽象的概念，学习也就望而却步.为此，在几何教学中，正确地教会学生识别几何图形，教懂学生作图，成为突破几何教学难的切口.在入门教学中，教师往往要注重抓好几何图形的识图教学和作图教学，注重识图、解意能力的培养，并长期贯穿于几何教学活动中，以使学生深化和理解基本概念、认识和掌握基本知识.传统教学模式下，教师要利用三角板、直尺等教学工具用粉笔在黑板上作出很多有关教学内容的具有代表性的图形，并结合学生生活的具体实际，借助日常生活中学生熟知的经验知识，对典型图形进行分析、描述，引导学生认真观察、辨认，启发学生比较、联想.这样的教学无疑对学生认识图形、理解概念、奠定学习几何的形态式语言基础、建立起图形与概念之间的本质联系、深化对概念的认识有着重要的作用.利用计算机的工具型应用软件几何画板来辅助教学，可以带来“出示图形更灵活，展现的图形更丰富，而且规范、直观”等诸多好处.4.3利用几何画板动态展示教学内容或数学问题，把抽象的数学教学变得形象、直观动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性.如：在点的轨迹教学中教师可以利用几何画板制作点的轨迹形成过程的演示动画（如图4-3-1）.在实际教学中，双击动画，可将点的轨迹的形成过程形象地展现出来这不仅创设了情景、渲染了氛围、激发起兴趣，而且还能更好地吸引学生的注意力，起到一石双鸟的作用. 再如在三角形的中位线教学中，对四边形各边中点所围成的四边形是特殊的四边形，且与原四边形对角线的有一定关系这一问题的理解，内容比较多，可用几何画板软件制作如图所示的动画演示效果（如图4-3-2）：学生对四边形ABCD的变化过程中四边形EFGH的特征能直观感受到，并且加深了印象，而这个效果与教师简单把结论教给学生或不断画图来说明都是比较不可，还有圆与圆的位置关系，正多边形等一些几何知识的教学中，应用几何画板的动态展示效果能把抽象的数学问题和知识变得更形象、直观，让学生对知识有更深层次的理解，也大大降低了教师教学的难度. 在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来. 图4-3-1轨迹过程的演示动画 图4-3-2 任意四边形中点连线图形 猜想是在没有现存结论情况下根据问题的条件推断可能存在的结果的一种直觉思维形式.利用几何画板可以为教师培养学生探究性地建构知识提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新.如，学习了“相交弦定理”后，教师可以这样提出问题，启发学生去进行探索：“如图4-3-3所示，根据相交弦定理，我们知道，那么，如果P点在外，PAPBPCPD这个结论还成立吗？特别地如果P点在过A、B、C、D中某一点的切线上时，结论又怎样?”. 此问题的探索大致可以按下述四个步骤进行：1、测量PA、PB、PC、PD的值，并计算PAPB，PCPD；2、用鼠标将P点从圆内拖到圆外；3、观察PAPB，PCPD的值的变化情况，仔细查看当P点在圆外变动时变化了的PAPB，PCPD的值是否相等.4、得到结论.对于切线位置，可以过某一点（如C点）作圆的一条切线（CM），在该切线上任取一点H（H点最好不与C点重合），然而，用选择工具选择P点按住Shift键后再选H点，使两点都被选中，用鼠标选择【编辑】下的【操作类按钮】下的【移动】命令，为从P点移动到H点设置一个运动按钮，当双击按钮时，P会从它的当前位置移动到H点，并使P、H两点重合.通过观察PAPB，PCPD的值，可确立两者的值的关系，得到结论. 图4-3-3相交弦定理演示图几何画板是一个动态讨论问题的工具，对发展学生的思维能力、开发智力、促进素质教育有着不可忽视的作用，用几何画板与学生共同探讨问题，探求未知的结论，可以开阔思路，培养能力，提高数学素养.例如，在边长为a的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，正方形OFEG与边BC，CD相交于点N、M，求四边形ONCM的面积.该问题解决关键在于得出四边形ONCM的面积与三角形OBC的面积相等，引导学生注意四边形OFEG的运动特征，让学生应用几何画板的动画特征，转动正方形OFEG，观察四边形ONCM面积的变化，从而探究出的结论（如图4-3-4）. 图4-3-4四边形OMCN面积变化 第五章 在课堂中利用几何画板构造立体图形解决实际问题5.1构造三棱锥 三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面.利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离.例1：已知正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离(图5-1-1). 图5-1-1 三棱锥构造图分析：(利用几何画板示教学步骤)如图所示,连结 , ,则 , 到平面的距离就是与间的距离. 即、间的距离为 5.2构造正方体： 正方体是最特殊的四棱柱，它的六个面都是全等的正方形，线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系，这便提供了多姿的化繁为简的条件，以它为“模型”是最妙不过了.例2： 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ). A B. C.p D. 图5-2-1正四面体与外接正方体分析:构造一个棱长为1的正方体(如图5-2-1) 连,则四面体为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为,则,所以此正四面体外接球分析:如图5-2-2,将四棱锥补成正方体，则为面的表面积为,故选A.例3:过正方形的顶点作线段面,若 ,求面和面所成二面角的大小. 图5-2-2构造正方体求二面角与面的交线.由正方体性质知 , , 为所求二面角的平面角,易知.5.3构造长方体：长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两互相垂直.利用这些性质,构造长方体,常能使很多问题得到简化.例4：已知是边长为4的正方形,分别是和的中点,平面于,且,求点到平面的距离. 图5-3-1 构造长方体求点到平面的距离分析:如 图6-1-4,以边长为4的正方形为底面,为侧棱,构造长方体.由,得 ,到平面的距离,转化为底面中心到平面的距离5.4应用等积变换构造立几模型：充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型，理清思路，这是解几何难题的一种常用方法.例6：在四面体中，已知与间的距离为，它们所成的角为，求四面体的体积. 图5-4-1构造四棱锥求四面体体积分析：（用等积变换如图5-4-1）在平面内过点作交于点从而得平行四边形，连则为四棱锥 ，且与所成角为 是所成的角或补角，即或. ，.设与的公垂线为，则就是与面的距离，也就是棱锥的高线.显然，且. , ， , .5.5分割图形 巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解,同样适当地分割图形,也可使某些立几问题趋于简单,从而为问题的顺利解决提供了方便.例6：已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为,求三棱锥的体积.（如图5-5-1）： 图5-5-1 利用三棱柱分割求三棱锥的体积分析：面、面1将这个三棱柱分割为三个三棱锥.易证 .第六章几何画板在解析几何中探究轨迹问题问题是数学的心脏，思维从问题开始.我们先看一个具体的例子：如图6-1-1 ，过椭圆()的左焦点F1作弦.现在来研究焦点弦有关的问题.6.1弦上特定点的问题轨迹1 过原点作弦的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 几何画板演示：拖动主动点在椭圆上转动或制作点在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点，得到点的轨迹是一个小圆（如图6-1-2）.怎样求出这个小圆的方程？按一般思路，假设弦 图6-1-1 图6-1-1 弦垂点轨迹所在直线的斜率为，则的垂线的斜率为，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)的坐标，最后消去参数就得到点的轨迹方程.经过观察这个轨迹是一个圆，而且是以为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来.一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂.有一个很好也很简单的方法：因为，所以，若设点的坐标为，点的坐标为，则，即.这就是所求的轨迹方程.都容易被椭圆这个外表给迷惑住.其实这个问题只与原点和点的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系.就是给定两点与，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程.这当然很容易解得.在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系.平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处.下面将问题改变一下：轨迹2 如图6-1-3，求弦中点的轨迹方程.”猜猜看，点的轨迹是什么？ 利用几何画板演示出来：拖动主动点，得到点的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段即半焦距.如图6-1-4. 是椭圆，怎样求这个小椭圆的方程？ 图6-1-3 图6-1-4 弦中点轨迹 根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为，因此先设点坐标为.要建立点的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点，其中点是定点，都是动点，但点是主动点，引起点运动的原因是由于点在椭圆上运动.因此要找到点与这三个点的坐标之间的关系.这是解决问题的关键. 点与两点的坐标的关系，根据中点坐标公式得到，.” 如何将这四点的坐标联系起来？利用直线的斜率.直线AB的斜率表示：有，还有.如何得到？两点在哪？满足什么方程？ 在椭圆上.满足，.”快得到下列解法(经过整理)： 设，则， 因为点都在椭圆上，则 ， 式相减得 ， 于是有 ， 化简得 ， 此即为所求的轨迹方程.这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求.寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键.还有其它解法没有？经过观察，因为直线经过点，可以设直线的方程为，与椭圆方程联立解方 程组得出两点的坐标不必解出的坐标，将直线的方程为代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点的横坐标，正好可以利用韦达定理得到，将点的横坐标都表示为直线的斜率的函数，消去参数就行了.轨迹3 如果将弦的两端分别与椭圆长轴两个端点连起来，则这两条直线与的交点好象在椭圆的准线上（图6-1-5）.采取常规方法“交轨法”求解：设直线、的方程分别为， 将的方程代入椭圆方程整理得, 图6-1-5 此方程的两根是、的横坐标与，故可求得点坐标为, 同理可求得点坐标为.由A、F1、B三点共线可得，即 ，将、两点坐标代入并整理得 ，将，代入上式得，分解因式得 ，因为直线、的交点在椭圆外，所以，故 ， 即 . 即为直线、的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程. 同样的道理，直线与的交点也在准线上.不管、两点在左准线上怎样运动，是一个定值.如图6-1-6 所示.”又一个学生发现了一个结论.同学们利 用上个问题的解决方法，很快证明了出来. 图6-1-6课后探索：利用几何画板，还能探索出什么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹.下