最短路径问题

最短路径问题 平面中的最短路径立体图形中的最短路径 最短路径问题 平面中的最短路径 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选走哪条路最近 你的理由是什么 两点之间线段最短 思考 问题 如图 点A B分别是直线l异侧的两个点 在l上找到一个点 CA CB最短作法 连接点A B与直线l相交于点C CA CB min AB A l B C 一 一线 两点 异侧 问题2 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 二 一线 两点 同侧 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 二 一线 两点 同侧 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 A C 作法 1 过点A作直线l的对称点A 2 连接A B 与直线l相交于点P3 连接点A P此时 AP PB min 二 一线 两点 同侧 P 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 A C 证明 AP1 P1B A P1 P1B A B A P PB AP PB AP1 P1B AP PB同理 AP2 P2B AP PB故 AP PB min 二 一线 两点 同侧 P1 P2 P 问题3 牧马营地在点P处 每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草 再到河边b饮水 最后回到营地 请你设计一条放牧路线 使其所走的总路程最短 b P a 草地 河 三 两线 一点 b P a 草地 河 作法 1 作点P关于直线a的对称点P1 关于直线b对称点P22 连接P1P2 分别交直线a b于点A B3 连接PA PB 由对称轴的性质知 PA P1A PB P2B 先到点A处吃草 再到点B处饮水 最后回到营地 这时的放牧路线总路程最短 即 PB BA AP min B P2 A P1 三 两线 一点 三 两线 一点 b P a 草地 河 证明 PA1 A1B1 B1P P1A1 A1B1 B1P2 P1A AB BP2 PA AB BP PA1 A1B1 B1P PA AB BP故 PA AB BP min B P2 A P1 B1 A1 问题4 为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工作 某交警执勤小队从A处出发 先到公路l1上设卡检查 再到公路l2上设卡检查 最后再到达B地执行任务 他们如何走才能使总路程最短 l1 l2 A B 四 两线 两点 l1 l2 A B 作法 1 作点A关于直线l1的对称点A12 作点B关于直线l2的对称点B13 连接A1B1 分别交直线l1 l2于点C D 则沿路线A C D B走 才能使总路程最短 先到点C处设卡检查 再到点D处设卡检查 最后回到B处执行任务 这时的路线总路程最短 即 AC CD DB min A1 C D B1 四 两线 两点 l1 l2 A B 证明 AE EF FB A1E EF FB1 A1E EG GF FB1 A1G GB1 A1B1 A1C CD DB1 AC CD DB AE EF FB AC CD DB故 AC CD DB min A1 C D B1 E F G 四 两线 两点 问题5 如图 A B两地在一条河的两岸 现要在河上建一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径最短 假设河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 作法 1 将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E2 连接AE交河对岸与点M 则点M为建桥的位置 MN为所建的桥 四 两线 两点 A B N M E A B N M E 证明 AC CD DB AC CD CE AC CE CD AE CD AM ME CD AM NB MN AC CD DB AM NB MN故 AM NB MN min C D 四 两线 两点 2011年 A B两所学校在一条东西走向公路的同旁 以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 1 一辆汽车由西向东行驶 在行驶过程中是否存在一点C 使C点到A B两校的距离相等 如果有 请用尺规作图找出该点 保留作图痕迹 2 若在公路边建一游乐场P 使游乐场到两校距离之和最小 通过作图在图中找出所建游乐场的位置 中考连接 O A B x y 作法 1 连接A B点 以A B为圆心 任意半径画圆 交点为点M N 连接MN 交x轴于点C 则点C就是所求点 即CA CB 2 过A点做x轴的对称点A1点 连接A1B交x轴于点P 则点P就是所求点 即 AP PB min 中考连接 O A B x y M N C P A1 最短路径问题 立体图形中的最短路径 问题6 如图在一个底面周长为20cm 高AA 为4cm的圆柱石凳上 若小明在吃东西时留下了一点食物在B处 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息 于是它想从A处爬向B处 你们想一想 蚂蚁怎么走最近 A 一 圆柱中的最短路径 怎样计算AB 在Rt AA B中 利用勾股定理可得 侧面展开图 其中AA 是圆柱体的高 A B是底面圆周长的一半 r 结论 圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长 例 有一圆形油罐底面圆的周长为24m 高为6m 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物 它爬行的最短路线长为多少 A B 分析 由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的 故需把圆柱展开成平面图形 根据两点之间线段最短 可以发现A B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处 即AB长为最短路线 如图 解 AC 6 1 5BC 24 12由勾股定理得 AB 13 m 问题7 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于5cm 3cm和1cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 B A 5 3 1 5 12 AB2 AC2 BC2 169 AB 13 二 台阶中的最短路径 问题8 如图 边长为1的正方体中 一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 A 3 B C 2 D 1 分析 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的 故需把正方体展开成平面图形 如图 C 三 正方体中的最短路径 B 左面和上面 前面和上面 前面和右面 四 长方体中的最短路径 问题9 如图 一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处 三条棱长如图所示 问怎样走路线最短 最短路线长为多少 分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况 如图 由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短 四 长方体中的最短路径 1 如图是一个长方体木块 已知AB 5 B