线性代数教案第五章.doc

第五章 相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性在这一章中, 我们主要讨论方阵的相似对角化和二次型的化简的问题, 其中会用到向量的内积, 特征值和特征向量的概念. 我们在这一节中介绍向量的内积的概念.一. 内积, 长度和夹角.在平面解析几何里, 我们有向量的长度, 夹角的概念, 我们希望在向量空间中也能够定义长度, 夹角的概念. 通过引入向量的内积的概念, 我们就能够利用内积来定义向量空间中的向量的长度和夹角概念. 我们首先来看平面解系几何里内积是怎么定义的.在平面中, 引进直角坐标系 0xx 向量的数量积(即内积), 其中, 分别是向量和的长度, 是向量和的夹角.若, , 则可以证明. 的长度: . 若, , 则, 所以.所以在平面解系几何里, 向量的长度和夹角都可用向量的数量积表示. 下面我们把平面上的数量积的概念推广到向量空间中, 这就是我们下面要介绍的内积的概念. 我们来看内积的定义.定义. 设, , 称为与的内积. 所以两个向量的内积就是把两个向量的对应分量相乘相加.利用内积的定义, 我们可以证明下面的简单的内积的性质.性质. 设, 是实数.(i) .(ii) .(iii) .(iv) . 即.由(i), (ii)知.类似的由(i), (iii)知.利用上面的性质可以证明施瓦茨不等式.施瓦茨不等式: .引入了向量的内积的概念以后, 我们就可以定义向量的长度和夹角的概念. 我们先来看向量的长度的定义.定义. , 称为向量的长度(或范数), 其中.若, 则称为单位向量.关于向量的长度, 我们有下面的简单性质.性质(i) , 且.(ii) , 其中是实数, 是维向量. (注意这个性质与行列式的性质的区别. 若是阶矩阵, 是实数, 则.)(iii) 三角不等式. . (对于平面上的向量来说, 这个性质的几何意义就是两边之和小于等于第三边.)证: (i)与(ii)是显然的. 下面我们证明(iii). 要证.只要证.而所以.下面我们利用内积来定义两个向量的夹角.若, , 则称为向量与的夹角.在这个定义里我们需要说明这个定义是合理的. 因为我们知道, 所以我们需要证明. 根据施瓦茨不等式, 我们有. 所以. 所以.在平面解系几何里我们有垂直的概念, 下面我们把垂直这个概念推广到向量空间中去, 这就是我们下面要介绍的正交的概念.如果两个向量做内积等于零, 我们就称这两个向量正交. 若, 则称与正交. 关于向量的正交的概念我们要注意两点.注意: 1.零向量与任何向量正交. 2. 若 , , 则与正交. 也就是说两个非零向量正交当且仅当它们的夹角是. 所以正交这个概念是向量垂直的推广.二. 规范正交基.下面我们引进规范正交基的概念, 在引进正交基的概念之前我们需要引进正交向量组的概念. 所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量.定义. 正交向量组是指一组两两正交的非零向量.注意正交向量组里的每个向量都要求是非零向量. 关于正交向量组我们有下面的简单性质.定理. 若维向量是一个正交向量组, 则线性无关.证: 设. 要证. 则, (). 但是, . 所以. 因为, 所以, (). 所以线性无关. 引进了正交向量组的概念以后, 我们就可以引进规范正交基的概念. 什么叫规范正交基.定义. 设是向量空间的一个基, 是正交向量组, 且都是单位向量, 则称是的一个规范正交基.我们前面说过, 取定向量空间的一组基相当于是取定了向量空间的一个坐标系, 那么在向量空间中取定一组规范正交基, 相当于是取定了向量空间的一个直角坐标系. 例. 若, . 则是的一个规范正交基.关于规范正交基, 我们有下面简单的性质.性质. 设是的一个规范正交基, , , 则.证: , 所以. 所以如果在向量空间中取定了一个规范正交基, 那么向量空间中的向量在这组规范正交基下的坐标可以通过内积来计算.下面我们讨论如何通过向量空间的取定的基来构造这个向量空间的规范正交基. 我们有下面这样一个定理.定理. 设是向量空间的一个基.正交化: 令,则两两正交, 且与等价 ().再把它们单位化, 令, , . 则是的一个规范正交基. 上面讲的从线性无关的向量组导出正交向量组的过程称为施密特正交化过程.这个定理在这里我们就不证了, 你们要把这个定理的结论记住. 例. 设, , . 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解: 正交化: 令, .单位化: 令, , . 例. 已知. 求一组非零向量, 使两两正交.解: 满足方程. 求得基础解系为,.把正交化, 令, . 则,即为所求. 三. 正交矩阵和正交变换.在这节课的最后我们引进正交矩阵和正交变换的概念. 我们先来看正交矩阵的定义.定义. 若阶矩阵满足, 则称为正交矩阵.关于正交矩阵我们有下面的简单性质.性质 1.为正交矩阵是的一组规范正交基. 即, , 且若, 则. 2. .3. 若为正交阵, 则也是正交阵, 且或.4. 若都是正交阵, 则也是正交阵.证: 1. 根据定义, 为正交矩阵 . 所以结论成立. 2. 若, 则. 所以. 3. 第一个结论由2即可. . 所以或. 4. 因为, , 所以. 引进了正交矩阵以后, 我们就可以定义正交变换.定义. 设为阶矩阵, , 则关系式称为从变量到变量的线性变换,如果是可逆矩阵, 则称是可逆的线性变换, 如果是正交矩阵, 则称为正交变换.关于正交变换, 我们有下面的非常好的性质.性质. 设为正交变换, 则.根据这条性质, 我们知道正交变换保持向量的长度不变.证: . 这一节里最重要的就是关于施密特正交化的定理, 你们要把施密特正交化过程牢牢记住. 2 方阵的特征值与特征向量我们前面已经说过了, 这一章我们主要讨论方阵的对角化问题和二次型的化简问题, 这两个问题可以归结为计算方阵的特征值和特征向量的问题. 这一节我们讨论方阵的特征值和特征向量, 矩阵的特征值和特征向量给出了矩阵的重要信息, 这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用, 它们在量子力学和经济学当中也有应用.我们先来看它们的定义.定义. 设A是n阶矩阵, 如果存在数和, 使, 则l称为方阵A的特征值, 称为A的属于特征值l的一个特征向量.注意特征向量一定是非零向量.根据上面的定义我们知道是阶矩阵的特征值有非零解 (特征值对应的特征向量就是这个方程的非零解.)有非零解. 所以计算矩阵的特征值的问题转化为计算矩阵的行列式的问题.是一个关于l的多项式, 称之为A的特征多项式.是A的属于特征值l的一个特征向量是的非零解.所以计算矩阵的特征值对应的特征向量的问题转化为求齐次方程组的解的问题.2节课完下面我们讨论矩阵的特征值和特征向量的几个简单性质.性质1. 设为阶矩阵, 则在复数范围内有个根(重根按重数计算). (若, 则称为多项式的根.) (这是因为矩阵的特征多项式是次多项式, 根据代数基本定理, 任何一个次多项式在复数范围内都有个根, 所以矩阵的特征多项式 在复数范围内有个根.) 代数基本定理的证明需要用到复变函数的知识, 我们就不去讨论它的证明了. 所以有个特征值. 根据多项式的根与系数的关系, 我们可以证明(1) .(2) .例1. 求矩阵A =的特征值和特征向量.解: = (1+l)(2l)2,所以A的特征值为: l1= 1, l2=l3=2. (所以)当l1=1时, 解方程组( A+E )X = 0. , 令, 求得, 所以是基础解系. 所以对应的所有特征向量为(). 当l2=l3=2时, 解方程组( A2E )X = 0. , 分别令和. 求得和. 所以, 是基础解系.所以对应于l2=l3=2的所有特征向量为k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零). 性质2. 设l是矩阵A的特征值, j(x)=则(1) lm是矩阵Am的特征值(); j(l)是矩阵多项式j(A)的特征值.(2) 当A可逆时, 则是逆阵的特征值. 证: 因为l是A的特征值, 所以存在, 使.(1). 所以是矩阵A2的特征值.用归纳可证. 所以是矩阵Ak的特征值.(2)当A可逆时, 则 l0, (否则, 矛盾. 或者利用性质1(2).) 则由可得, . 所以.所以是逆阵的特征值. 定理:若是阶矩阵的所有特征值, j(x)=, 则是的所有特征值, 所以. (证明需要用到若当标准形).例2. 设阶矩阵的特征值为. 求.解: 设有个特征值, 则.所以只要求出的所有特征值., 所以.令, 则. 虽然不是矩阵多项式, 但是它的性质和矩阵多项式的性质是类似的.所以的特征值分别是.所以. 性质3. 设l1, l2, , lm 是的个互不相等的特征值, 是特征值li的特征向量, 则p1, p2, , pm线性无关.根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关.证: 设. 要证.上面等式两边同时左乘().则有所以, 记. 因为是范德蒙行列式, l1, l2, , lm互不相等, 所以, 所以可逆.所以. 所以, . 但是 pi 0 (). 所以, . 所以, p1, p2, , pm线性无关. 例3.(Ex9) 设. 证明的特征值只能取或.证: 设是矩阵的特征值, 则存在, 使得. 所以. 所以.所以或. 例4. 设和是矩阵的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为和. 证明不是的特征向量.(不讲)证: 反证法. 否则.因为,线性无关. 所以. 所以. 矛盾. 例5.(Ex10) 设为正交阵, 且. 证明是的特征值.证. 只要证.因为正交, 所以.所以.所以. 3 相似矩阵在这一节中我们讨论矩阵的对角化问题. 我们首先来看一下它什么是矩阵可对角化.定义. 设A, B是n阶矩阵, 若存在可逆矩阵P, 使, 则称A与B相似. 若存在对角矩阵, 使得和对角矩阵相似, 则称可对角化.我们为什么要研究矩阵的对角化? 因为对角矩阵是最简单的矩阵, 如果矩阵和对角矩阵相似, 那么我们就可以利用对角矩阵来研究原来的矩阵. 比如说我们前面介绍过的: 若, 是的一元多项式. 则, . 所以如果矩阵可以对角化, 我们就可以利用这个对角矩阵来计算矩阵的次幂, 还可以计算矩阵的多项式.如果两个矩阵相似, 它们有许多共同的特性. 关于矩阵的相似, 我们有下面的一个简单的性质. 定理. 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证: 要证. 因为A与B相似, 所以存在可逆矩阵P, 使P-1AP = B.所以 . 这个性质有一个简单的推论. 推论. 若n阶方阵A与对角阵L=相似, 则l1, l2, ln既是A的n个特征值.证: . 所以l1, l2, ln是对角阵L的特征值.因为相似矩阵有相同的特征值, A与对角阵L相似, 所以l1, l2, ln是A的n个特征值. 我们知道, 如果f(l)是矩阵A的特征多项式, 是矩阵的特征值, 则. 如果把换成矩阵的话, 这个等式仍然成立. 也就是我们有下面的结论. 结论. 若f(l)为矩阵A的特征多项式, 则矩阵A的多项式f(A)=O.注意: f(A) |A A E |.这个结论的一般性证明是比较困难的. 但是如果矩阵A和对角阵L相似时很容易证明. .下面我们介绍矩阵可对角化的几个判别准则. 定理1. n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量.证: “”存在可逆阵P, 使. 设. 则 .所以Api = li pi (). 因为可逆, 所以是线性无关.所以是的线性无关的特征向量.“” 设Api = li pi (). 线性无关. 令. 则可逆.AP = .所以. 上面的这个定理有一个简单的推论.推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A可对角化. (证明口述, 不板书.)证: 前面我们证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的, 而矩阵A有n个互不相等的特征值, 所以矩阵A有个线性无关的特征向量. 所以根据上面的定理我们知道矩阵可以对角化. 最后我们再介绍一个矩阵可对角化的判别准则, 书上没有明确的把这个判别准则, 但是书上的例题其实用到了这个判别准则. 首先我们介绍代数重数和几何重数了两个概念.作为的根出现的重数, 称为的代数重数.例: 若, 则的代数重数是, 的代数重数是.设是矩阵的特征值, 则的解空间的维数称为的几何重数.我们有下面的矩阵可对角化的判别定理.定理2. 设是阶矩阵的全部不同的特征值, 的解集的秩为. 则可对角化的几何重数=的代数重数, .这个定理的证明我们就不讲了, 但是你们最好把它记住. 2节课完例. 设. 问为何值时, 可对角化.解: . 所以的所有不同特征值为, .根据我们上面这个定理我们知道矩阵可对角化当前仅当它的所有的不同特征值的几何重数加起来等于矩阵的阶数.所以矩阵可对角化. 所以, . 可对角化. 4 对称矩阵的对角化这节课我们主要讨论对称矩阵的对角化问题. 首先我们介绍对称矩阵的两个性质. 我们先来看对称矩阵的第一个性质.性质1. 实对称矩阵的特征值为实数.证: 设是对称矩阵的特征值. 则存在, 使. 用表示l的共轭复数, 设, 记, .考察. .因为, 所以. 所以. 所以是实数. 注意: 设A是实对称矩阵, 则A的特征值为实数, 设是A的特征值, 则方程组( AE ) X = 0的系数矩阵是实矩阵, 所以它的基础解系可取实向量, 所以A对应的特征向量可以取实向量.下面我们来看对称矩阵的第二个性质.性质2. 设都是对称矩阵A的特征值, p1, p2是对应的实特征向量. 则p1与p2正交.根据这个性质, 我们知道对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.证: 由条件知, Api = li pi ( i =1, 2), , .考察.所以. 因为, 所以. 所以p1与p2正交. 一般的矩阵不一定可以对角化, 但是对称矩阵一定可以对角化, 对称矩阵不但可以对角化, 而且我们可以用正交矩阵把对称矩阵变成对角矩阵. 我们有下面的定理.定理. 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使, 其中是A的所有特征值. 称正交相似于一个对角矩阵.这个定理我们在这里就不证了. 根据这个定理, 我们有下面的一个简单的推论. 推论. 设A为n阶对称矩阵,是A的特征多项式的重根, 则, 从而的几何重数为, 所以的代数重数=的几何重数.证: 设, 则.因为是的重根, 所以中恰好有个数等于.所以的对角线元素恰好有个. 所以. 其实我们也可以利用上面一节介绍的矩阵可对角化的最后一个判定准则很快得出这个推论, 我们知道一个矩阵可对角化当前仅当它的所有的特征值的代数重数等于它的几何重数. 因为对称矩阵可以对角化, 所以对称矩阵的特征值的代数重数等于这个特征值的几何重数.下面我们介绍利用一个正交矩阵把对称矩阵化为对角矩阵的一般步骤.求正交矩阵, 把阶对称矩阵A化为对角矩阵.1. 设, 其中. 则的代数重数为.2. 求出的基础解系: . (为什么这个方程组的基础解系恰好有个向量? 因为的代数重数是, 所以的几何重数也是, 所以这个方程的基础解系含有个向量.)把它们正交化, 单位化, 得到个两两正交的单位向量. 3. 令, 则是正交阵, (两两正交()且, 我们前面证明了属于不同特征值的特征向量两两正交, 两两正交. 这些向量都是单位向量, 而且(因为是次多项式), 所以是的一组规范正交基. 是正交阵.) 且.注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和正交矩阵中列向量的排列是对应的.(因为如果可逆, , , 则.)例. 设. 求一个正交阵, 使为对角阵.解: . .求得的所有不同的特征值为(1重), (2重).对, 解方程. .令, 则. 所以是基础解系.把单位化, 得. 对, 解方程. . . 分别令和, 求得和.所以, 是基础解系. 把正交化: 取, , , 所以.将单位化, 得, .令, 则是正交阵, 且. 如果令, 则. 例. 设, 求.解: 只要求出可逆矩阵, 使为对角阵.对, 解方程. . 令, 则. 所以是基础解系.对, 解方程. .令, 则. 所以是基础解系. 令. 则.所以. 所以. 例.(Ex20) 设矩阵与相似, 求; 并求一个正交矩阵, 使.解: 首先求参数.的所有特征值为.所以. 从而求出.例.(2学分)（15分） 设3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组AX=0的两个解，（1）求A的特征值与特征向量（2）求正交矩阵和对角阵，使。解:（1）由A的各行元素之和均为3，即：。又是A的属于0的线性无关特征向量。是属于3的全部特征向量（）。（k1k2不全为0）是属于0的全部特征向量。 (8分)（2）现但与不正交，用施密特正交化方法将与正交化：令。单位化：。令，有： (7分)下面几个例子未讲.例(Ex7). 设为阶矩阵. 证明与的特征值相同.证:例(Ex8). 设阶矩阵满足, 证明与有公共的特征值, 有公共的特征向量.证: 例(Ex11). 设是阶矩阵的特征值. 证明也是阶矩阵的特征值.证: 所以也是阶矩阵的特征值. 例(Ex14). 设都是阶矩阵, 且可逆. 证明与相似. 证: 所以与相似. 2节课完 5 二次型及其标准形一. 二次型的定义.这一节我们介绍二次型的化简问题. 我们先来看一下解析几何里的二次曲线的化简问题. 设二次曲线在坐标系下的方程为. xx0xx 我们可以把坐标系旋转适当的角, 得到一个新的坐标系, 使得二次曲线在新的坐标系下的方程成为一个标准形.我们知道平面上同一个点在这两个不同坐标系下的坐标变换公式是, 即(这实际上是一个变量的线性变换).所以从代数的角度来看, 把二次曲线化简成标准形的过程就是通过变量的线性变换把二次曲线方程的左边的关于的二元二次齐次多项式,中含有的项消掉. 在这一节当中, 我们讨论如何用线性变换化简一般的元二次齐次多项式.我们把一般的含有个变元的二次齐次多项式称为二次型.定义. 称为二次型. 如果都是复数, 则称为复二次型. 如果都是实数, 则称为实二次型. 我们只讨论实二次型.二次型可以写成矩阵的乘积的形式. 下面我们来看怎么把二次型写成矩阵的乘积的形式. 令. 则.所以 令 注意是对称矩阵. 则. 上面的对称矩阵称为二次型的矩阵. 的秩称为二次型的秩. 关于二次型的矩阵要注意以下两点.注意:1.二次型的矩阵是对称矩阵.若, 则为的系数的一半. 为的系数.2.显然二次型和对称矩阵是一一对应的. .通过这个对应, 我们可以把二次型的化简问题转化为对矩阵A的化简问题, 所以利用第4节的结果, 我们就可以解决二次型的化简问题.例. 二次型的矩阵为例. 二次型的矩阵为. 例. 求二次型的矩阵.解. . 所以二次型的矩阵是. 二. 二次型的标准形和规范形.最简单的二次型是对角矩阵对应的二次型, 我们称之为标准二次型. 称为标准二次型.下面我们讨论如何用可逆的线性变换把二次型化简成标准二次型.我们先来回忆一下线性变换的定义.定义. 设为阶矩阵, , 则关系式称为线性变换.若可逆, 则称是可逆的线性变换, 如果是正交矩阵, 则称为正交变换.接下来我们来研究一个二次型经过可逆的线性变换后得到的一个新的二次型和原来的二次型之间的关系.二次型.其中, . 记.所以关于变量的二次型经过可逆的线性变换后得到关于变量的二次型. 我们需要注意以下两点.注意1. 关于变量的二次型的矩阵是. (因为是对称矩阵, 所以, 所以是对称矩阵, 所以二次型的矩阵是.) 我们称矩阵和矩阵合同. 定义. 如果可逆, 则称和合同. 根据这个定义, 我们知道二次型经过可逆的线性变换后, 新的二次型的矩阵和原来的二次型的矩阵是合同的.二次型的矩阵和二次型的矩阵是合同的. 因为可逆, 所以矩阵的秩等于矩阵的秩.2. . 即二次型的秩二次型的秩. 所以二次型经过可逆的线性变换后, 二次型的秩不变.我们上一节介绍了任何一个实对称矩阵都正交相似于一个对角矩阵. 利用这个结果, 我们可以证明任何一个实二次型都可以经过正交变换化简成标准形. 我们有下面的定理. 定理. 任给二次型, (对称), 总有正交变换, 使得.其中是二次型的矩阵的所有特征值. 称为二次型的标准形. 注意二次型的标准形不是唯一的. 证: 因为对称, 所以存在正交矩阵, 使得.令, 则. 根据这个定理, 我们知道用正交变换把二次型化简成标准形本质上是我们上面一节介绍的用一个正交矩阵把对称矩阵化简成对角矩阵. 根据上面的定理, 我们有一个简单的推论.推论. 任给二次型, (对称), 总有可逆变换, 使. 其中. 称之为二次型的规范形.这个结论用矩阵的语言来说就是, 任何一个对称矩阵合同于形如的矩阵, 其中.我们来通过一个例子来看这个推论的证明.例. 求一个正交变换, 把二次型化为标准形. 并求二次型的规范形. 解: 二次型的矩阵为.这个矩阵和我们上面一节介绍的用正交矩阵把对称矩阵化简成对角矩阵的例子中的矩阵是一样的.所以根据那个例子的结果, 有正交阵, 使.令. 则为标准形. 我们可以把标准形进一步化简成规范形.令. 则. 令, 则为规范形. 第六节不在我们的教学范围内. 我们来看第七节.7 正定二次型上一节我们介绍了每个实二次型都有一个规范形, 规范形中的正平方项的个数和负平方项的个数都是由二次型唯一确定的. 这就是我们下面要介绍的惯性定理.惯性定理. 设有二次型, 它的规范形为. 则是唯一确定的, 称之为二次型的正惯性指数, 称为的负惯性指数, 根据惯性定理我们知道虽然二次型的标准形不唯一, 但是二次型的规范形是唯一确定的. 这个定理我们在这里就不证了. 下面我们来介绍正定二次型, 我们后面可以证明任意元二次型是正定二次型当且仅当它的正惯性指数为. 我们先来看正定二次型的定义,定义. 设有二次型, 若对, 有, 则称为正定二次型. 并称对称矩阵是正定的. 如果对, 有,则称为负定二次型. 并称对称矩阵是负定的.根据定义我们知道一个对角矩阵正定当且仅当对角矩阵的主对角线上的数都是正数.对角矩阵正定正定, (.)一个二次型经过可