(详细解析)2000年上海高考数学(理).doc

2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知向量，若，则 【答案】4【解析】，2函数的定义域为 【答案】【解析】3圆锥曲线的焦点坐标是 【答案】【解析】参数方程化为普通方程，焦点为，即4计算： 【答案】【解析】5已知的反函数为，若的图象经过点，则 【答案】1【解析】若的图象经过点，则过点，将点的坐标代入得，6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 年（按：1999年本市常住人口总数约1300万）【答案】9【解析】由题设条件可得，解得，【编者注】上海考生可以使用计算器7命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥【答案】侧棱相等侧棱与底面所成角相等【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题8设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间上的图象为如图所示的线段，则在区间上 【答案】【解析】由题设关于点对称，由周期性将向右平移两个单位得，所在的直线过原点，在区间上9在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）【答案】【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 【答案】【解析】本小题考查等可能事件的概率11在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则 【答案】【解析】化为普通方程：和，将代入得，12在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的：在等此数列中，若，则有等式 成立【答案】【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理，根据等边数列的性质和类比有二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13复数（是虚数单位）的三角形式是A BC D【答案】C【解析】14设有不同的直线和不同的平面，给出下列三个命题：若，则 若，则若,，则其中正确的个数是A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】略15若集合，则是：A B C D有限集【答案】A【解析】，所以16下列命题中正确的命题是A若点为角终边上一点，则B同时满足的角有且只有一个C当时，的值恒正D三角方程的解集为【答案】D【解析】的正负不能确定，A错误；B中角无数个；C中，当时，的值恒正；，由周期性知三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12分）已知椭圆的焦点分别为和，长轴长为6，设直交椭圆于两点，求线段的中点坐标【解】设椭圆的方程为， （2分）由题意，于是，椭圆的方程为 （4分）由得，因为该二次方程的判别式，所以直线与椭圆有两个不同交点，（8分）设，则，故线段的中点坐标为 （12分）18（本题满分12分）如图所示四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角的大小为，求四面体的体积【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 （2分）由题意，有设点的坐标为，则，（6分）设与所构成的角为，则且与所成的角的大小为，得，故的长度是4， （10分）又，因此四面体的体积 （12分）解法二：过引的平行线，交与的延长线于，连接是异面直线与所成的角， （4分）是的中点，是的中点， （6分）又分别是的射影，且 （8分）三角形是等腰三角形，故， （10分）又，因此四面体的体积是 （12分）19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数（1）当时，求函数的最小值：（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围【解】（1）当时，在区间上为增函数， （3分）地区间上最小值为， （6分）（2）解法一：在区间上，恒成立恒成立， （8分）设，递增，当时， （12分）于是当且仅当时，函数恒成立，故 （14分）（2）解法二：，当时，函数的值恒为正， （8分）当时，函数递增，故当时， （12分）于是当且仅当时，函数恒成立，故 （14分）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向试给机器人下一个指令，使其移动到点（2）机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）【解】（1），得指令为， （4分）（2）设机器人最快在点处截住小球， （6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有， （8分）即，得或要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，故机器人最快可在点处截住小球， （10分）所给的指令为 （14分）21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分在平面上有一点列，对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形（1）求点的纵坐标的表达式（2）若对每个自然数，以为边长能构成一个三角形，求取值范围（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数【解】（1）由题意， （4分）（2）函数递减，对每个自然数，有，则以为边长能构成一个三角形的充要条件是，即， （7分）解得或， （10分）（3）， （12分）数列是一个递减的正数数列，对每个自然数于是当时，当时，因此，数列的最大项的项数满足不等式且由，得， （16分）22（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由【解】（1）由题设，于是由，且，得， （3分）因此由，得关系式 （5分）（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足 （7分）消去，得，故点的轨迹方程为 （10分）（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为， （12分）解法一：该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直