数学建模方法及其在医学研究中的运用

数学建模的方法及其在医学研究中的应用 数学教研室罗明奎 玩具 飞机 火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 分子结构图 符号模型 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 一数学建模概述 1 模型的种类 数学模型 MathematicalModel 数学模型 对于一个现实对象 为了一个特定目的 作出必要的简化假设 根据对象的内在规律 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 获得数学模型的过程称为数学建模MathematicalModelling 现实世界 数学世界 2 数学模型的获得 传统 数学知识数学技巧 创新 数学应用数学发现 文化 数学素质数学文化 数学建模的理解 3 数学建模的重要意义 电子计算机推动了数学建模的发展 许多经验领域量化发展需要数学建模 许多现象利用数学建模能圆满解释 数学建模在工程技术领域应用广泛 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 1 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对测量数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 4 数学建模的方法和步骤 2 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个用数学语言描述的 问题 数学翻译 资料消化 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 假设的目的是使问题简化 假设要具有合理性 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学知识和数学技巧 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 该模型是否具有推广价值 是否可以申报专利 4 怎样学习数学建模 想像力 洞察力 判断力 对数学产生兴趣 利用数学思维去思考 去想像 对问题的关键点的洞察 对相关研究的洞察 利用数学理论和知识判断模型的好坏 改进的途径和方法 学会学习 学会分析 学会评价 学会改进 亲自动手 认真做几个实际题目 拥有一本比较系统的 数学建模 教材 坚持学习 建议采用谢金星 姜启源 韩中庚等各自编写的教材 学习资料来源 各大书店购买相关教材 以有 数学实验 为好 因为这样的教材意味着有相应程序 网络资源 外网 内网 http 192 168 14 39 之网上教室 东东下载 数学建模 5 数学建模的发展状况 教育部高教司工业与应用数学学会 组织形式 官方性质 重视程度 北京 上海等许多高校明文规定 数学建模获全国一等奖者保送研究生 重庆大学亦有此规定 参赛院校不断增多 参赛规模不断扩大 IBM中国研究中心 招聘条件Positiontitle BusinessOptimization BJ 1 Backgroundinindustrialengineering operationsresearch mathematics ArtificialIntelligence managementscienceetc 2 Knowledgeinnetworkdesign jobscheduling dataanalysis simulationandoptimization3 Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus4 Experienceinindustryisaplus5 Experienceineclipseorprogrammingmodel architecturedesignisaplus Feb 18 2006 竞赛的反响 一例 IBM中国研究中心 BusinessAnalysisOptimizationJobRequirements 1 PhDM S inmathematics statistics computerscience industrialengineeringmanagementscienceetc 2 Self motivated responsible abletowkindependentlyundertightdeadlinewillingtowkunderpressure 3 Skillinappliedmathematics includingmathematicalprogramming statistics datamining simulationetc 4 Knowledgeinsupplychainlogisticsstrategymodeling simulation planningoptimization 5 Stronginterestbasicknowledgeaboutindustrytrends technologies solutionsinanalyticsoptimization 6 ExperienceinERP SCM CRMsystemSCMconsultingpracticeisaplus 7 Awardinhighlyregardedmathematicalmodelingcontestisaplus 8 Experienceineclipse Java architecturedesignisaplus March26 2009 竞赛的反响 一例 1 提高数学思维能力 2 提高数学以及交叉学科创新能力 3 掌握科学的数学研究手段 对参赛者好处 数学是思维的体操 加里宁 4 提高计算机应用和论文写作能力 5 提高科研能力 相关期刊 部分国际期刊 数学文化 香港出版 可免费下载全文 JournalofMathematicalModelingandApplication 巴西编辑出版 可免费下载全文 JournalofMathematicalModellingandAlgorithmsTeachingMathematicsanditsApplicationsAppliedMathematicalModellingMathematicalandComputerModellingMathematicalModellingandAppliedComputingInternationalJournalofMathematicalModeling SimulationandApplications 部分国内期刊 高校应用数学学报工程数学学报运筹学学报数学的实践与认识系统工程理论与实践系统工程学报数学模型及其应用 竞赛内容与形式 内容 赛题 工程 管理中经过简化的实际问题 答卷 一篇包含问题分析 模型假设 建立 求解 通常用计算机 结果分析和检验等的论文 形式 3名大学生组队 在3天内完成的通讯比赛 可使用任何 死 材料 图书 互联网 软件等 但不得与队外任何人讨论 包括上网讨论 宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争 标准 假设的合理性 建模的创造性 结果的正确性 表述的清晰性 近年部分竞赛题目 05年 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 06年 出版社的资源配置 艾滋病疗法评价与疗效预测 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 07年 中国人口增长预测 乘公交看奥运 手机套餐优惠几何 体能测试时间安排08年 数码相机定位 高校教育学费标准探讨 地面搜索 NBA赛程的分析与评价09年 制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 卫星和飞船的跟踪测控 会议筹备11年 城市表层土壤重金属污染分析 交巡警服务平台的设置与调度 选修或自学数学模型课 或参加赛前培训2 了解和掌握常用数学软件的基本用法 Matlab Mathematica Lingo 3 了解竞赛基本信息 竞赛章程 特别是纪律 论文写作规范 4 参加各种类型的数学建模竞赛或模拟赛 校内赛 地区赛 全国赛 美国赛 建议 参赛前的准备 学生欢迎 一次参赛 终身受益 研究生导师们的认同企业界的认同 赞助教育改革同行的认同 成功范例 国际同行的认同 竞赛的反响 数学建模的国际赛事 美国数学建模竞赛 MCM 2010有约14国 地区 2254队参赛 其中我国占82 ICM 2010有356队参赛 其中我国占93 1985年开始举办 每年一次 2月 国际竞赛 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 InterdisciplinaryContestinModeling ICM 每年赛题和优秀答卷刊登于同年UMAP杂志 美国MCM ICM竞赛规模 我校2008年还首次组织学生参加了美国数学建模竞赛 规模 3个队9人时间 美国东部时间2月14日晚8 00到2月18日晚8 00题目 mcm有A B题 ICM只有C题网址 我校2011年第二次组织学生参加了美国数学建模竞赛 规模 4个队12人时间 美国东部时间2月10日晚8 00到2月14日晚8 00题目 C题 电动汽车的分析网址 非官方的数学建模竞赛 互动出版杯 数学中国数学建模网络挑战赛 2010年全国有26个省 市 自治区130所院校 628个队 其中两阶段累加 1千多名来自各个专业的大学生参加竞赛 来自国防科技大学 山东大学 大连理工大学的9位学生共同获得第三届数学中国杯数学建模挑战赛励志奖学金 第四届 互动出版杯 数学中国数学建模网络挑战赛将于2011年4月 6月举行 延续上届惯例 本次竞赛同样分为 建模基础 及 模型改进 应用 两个阶段 本次竞赛特别增加了在线培训课程 以配合学校培训及学生自学需求 二 医学研究中的数学模型举例 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律 用机理分析方法建立模型 2 1传染病模型 已感染人数 病人 i t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 日接触率 模型1 假设 若有效接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 1 i即为s 模型3 若传染病无免疫性 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 模型4 若传染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 建模 通过模型改进 SIS SIR模型能较好描述传播过程 分析感染人数的变化规律 预测传染病高潮期 传染病蔓延程度及控制方法 2003年全国大学生数学建模竞赛A C题SARS的传播见数学教研室网站 东东下载 2 2药物动力学模型 药物进入机体形成血药浓度 单位体积血液的药物量 血药浓度需保持在一定范围内 给药方案设计 药物在体内吸收 分布和排除过程 药物动力学 建立房室模型 药物动力学的基本步骤 房室 机体的一部分 药物在一个房室内均匀分布 血药浓度为常数 在房室间按一定规律转移 二室模型 中心室 心 肺 肾等 和周边室 四肢 肌肉等 模型假设 中心室 1 和周边室 2 容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率 与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室 在二室间相互转移 从中心室排出体外 模型建立 线性常系数非齐次方程 模型建立 几种常见的给药方式 1 快速静脉注射 t 0瞬时注射剂量D0的药物进入中心室 血药浓度立即为D0 V1 给药速率f0 t 和初始条件 2 恒速静脉滴注 3 口服或肌肉注射 相当于药物 剂量D0 先进入吸收室 吸收后进入中心室 吸收室药量x0 t 2004年全国大学生数学建模竞赛C题酒精检测问题见 2 3酶动力学模型 问题 研究酶促反应 酶催化反应 中嘌呤霉素对反应速度与底物 反应物 浓度之间关系的影响 建立数学模型 反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系 设计了两个实验 酶经过嘌呤霉素处理 酶未经嘌呤霉素处理 实验数据见下表 方案 线性化模型 对参数 1 2非线性 由散点图知其关系非线性 为了简化处理 可作如下线性化模型 线性化模型结果分析 x较大时 y有较大偏差 1 x较小时有很好的线性趋势 1 x较大时出现很大的起落 参数估计时 x较小 1 x很大 的数据控制了回归参数的确定 这些模型结合医学实验数据即可撰写论文并发表 请看文件夹中列出的已经发表的文章 2 4生物信息学 前沿课题 基因功能表达 蛋白质结构预测等 2000年A题 DNA序列分类 基因芯片的数据挖掘 聚类分析 统计 序列同源性比较 树的应用 图论 研究前景广阔 统计学 是生物信息学的数学基础之一 概率论与随机过程理论 隐马尔科夫链模型 HMM 运筹学 如动态规划法 序列比对的基本工具 最优化理论 蛋白质空间结构预测和分子对接研究 几何拓扑学 DNA超螺旋研究 多肽链折叠 信息论 分子进化 蛋白质结构预测 序列比对 计算数学 如常微分