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运用数学原理可以巧解物理极值问题广东省徐闻中学 郑聪勇大家都知道，物理量的定义、物理定理、物理定律都常常通过数学式来描述，求解物理问题也常常要运用数学，可以说，物理离不开数学。在这里，我讲一讲，如何运用数学原理巧解物理的极值问题。一、运用二次函数极值公式求极值二次函数可作如下变形：=（1）若 时，有极小值，；（2）若 时，有极大值，。例1、一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以的加速度开始行驶。恰在这时，一辆自行车以的速度同向匀速驶来，从后边赶过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：设自汽车开始运动时开始计时，时刻汽车和自行车的位移分别为：汽车追上自行车之前，时刻两车的距离为由二次函数求极值的公式知当时，有最大值米二、通过三角变换求极值设三角函数可作如下变换令，则有 于是有： y当时 有极大值 例2、一质量为的木块放在水平面上，今以一个大小为的拉力拉着它在水平地面上运动，。已知木块与地面间的动摩擦因数为，拉力沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少？解：木块运动中受到如图（1）所示的四个力的作用设拉力与不平方向成角。由牛顿第二定律有：（1）（2）并且 （3）由以上三式可解得令，则有 加速度便可写成：显然当，即拉力方向与水平面的夹角为时，木块运动加速度最大。加速度的最大值为：三、应用数学“定和求积原理”求极值在数学中，如果几个正数之和为常数K，则几个数相等时，其积最大，即时有：当，且，则当时，其积最大，例3、如图2示，一条全长为L，质量为M的柔软绳索，置于光滑水平桌面上。开始，有一段下垂在桌边，并从静止开始运动，试分析：当下垂部分多长时，绳的转折处O的张力最大？最大值是多少？解：设下垂部分长为，O处张力为T。分别隔离两段绳子，依牛顿第二定律有：段： （1）段： （2）由（1）（2）解得，由于上式中与表示两条绳长，均为正数，且（常数），故当，即时，其积最大四、应用数学“定积求和原理”求极值。在数学中，如果几个正数之积为常数，则几个数相等时，其和最小，即时有：当，且，则当时，其和最小例4 一架高速战斗机在着陆前为快速制动，一方面以恒定的功率向前喷气，以产生向后的推力，同时开启机尾的阻尼伞，阻尼伞受一空气阻力与飞机速度大小的平方成正比，即，试求飞机减速时加速度的最小值。解：设战斗机以恒定的功率向前喷气时产生的反推力为，则， 其中与速率飞机机尾的阻尼伞受到空气阻力为：飞机受到反推力与空气阻力而减速，加速度大小为：上式、均为正值，且（）（）为定值。当=，即时，加速度有最小值。运用数学原理七解物理极值问题的例子还有很多，但限于篇幅，这里就不再列举了。通过以上几例
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