数学人教版九年级下册解直角三角形及应用.doc

一、素质教育目标来&源#%:中*教网1.知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2.能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3.德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯来源*&:中#国教育出版网二、教学重点、难点和疑点1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用来源:zzst&ep.c#om%3疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边三、教学步骤(一)新课引入来源%:中教&*网1在三角形中共有几个元素？中*国教育出%版#网2直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系A+B=90来#%源:中教网&以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用（二）新课www.zz&ste%p.#com问题1：如图所示，在一次强烈的地震中一棵百年大树被折断倒在地上，你知道这棵大树在折断之前有多高吗？ 方案1：直接测量被折断的两部分树干AC和AB的长度,再把它们加起来.方案2;测量地面距离BC和被折断的树干AC或AB的长度,再用勾股定理解答.方案3;先用测角仪测量B的度数,再测量地面距离BC的长度,用锐角三角函数知识解答来源:&中教网%问题2：星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜角为300，则二楼的高度（相对于底楼）是_m2.由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。3例题评析例 1在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个直角三角形例2在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个直角三角形（精确到0.1）解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。总结：解直角三角形的一般步骤：(1)画示意图；(2)分析已知量与未知量的关系,选择适当的边角关系；“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）”(3)求解；“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”练习：在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a = 30 , b = 20 ;(2) B72，c = 14.(3)在ABC中，C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。 解直角三角形，只有两种情况：www.zz&st#ep.co*m1.已知两条边 , 求： (1)第三边 (勾股定理) (2) 角度 (三角函数) 2.已知一条边和一个锐角, 求:(1)其它边（三角函数） (2)角度（互余公式） 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力解决实际问题时，先将实物模型转化为几何图形，如果示意图不是直角三角形时，添加适当的辅助线，画出直角三角形来求解。例3: 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.思考题：在四边形ABCD中， A= 60 ，ABBC，ADDC，AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根号）？五课堂小结：本节课你学会了什么？1用勾股定理、和锐角三角函数的边角关系解直角三角形；2解直角三角形，只有两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。作业：习题28.2 第1题中国&教育出%版网一、教学目标：1、使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；2、初步培养学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力；3、体验数学思想（方程思想和数形结合思想）在解直角三角形中的魅力。www.zz%step#.com二教学的重点与难点：教学重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。教学难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。三、教学步骤1.复习提问（1）什么是解直角三角形？来*源%:z#zstep&.com（2）解直角三角形只有两种情况已知两条边 ,求：(1)第三边 (2) 角度 来#%源:中国教育&出版网已知一条边和一个锐角,求:(1)其它边 (2)角度2.新知引入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形。 当我们测量时，在视线与水平线所成的角钟，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角。注意：（）仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而非与铅垂线所夹的角；（）仰角和俯角都是锐角。3.讲解新知例2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）解：如图，a = 30,= 60， AD120ABCD中国教&%育出版*网ww&w.zz*ste%答：这栋高楼有277.1米ABOP例3:如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30，=45，求大桥的长AB .www.zzstep.#%com&*变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和45 ，求飞机的高度PO .AABOP例4：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30和45，求飞机的高度PO .4530PA200米CBO变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45,测得大楼底部俯角为30，求飞机与大楼之间的水平距离.4530200米POBD总结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题; 画出平面图形,把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.作业：习题28.2第3,4题教学目标1、了解测量中方位角，坡度、坡角的概念；2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。来源:zc&*o教学重点：有关方位角及坡度的计算来#源:中国*&教育出版教学难点：构造直角三角形的思路。教学过程一复习提问什么是仰角，什么是俯角？中&国教育出#版网例如：在山脚C处测得山顶A的仰角为45。沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。ABCD二、新课中国%教&*育出版网方位角： 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.C3045BOA东西北南 如图：点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45（西南方向）例1：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距离为 _www.zzst%e*例2： 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ A例3、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60，航行24海里到C，见岛A在北偏西30，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？CDB坡度，坡角：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。1坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i 坡度通常用l：m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是itana，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。例如: 一个钢球沿坡角31 的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）A. 5cos31 B. 5sin31 C. 5tan31 D. 5cot31 2例题例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28，求路基下底的宽。(精确到 0.1米) 中国*教育出%版网BC=48m,则河宽 米四、小结1.方位角问题关键在于理解认识方位角度数，转化成直角三角形的锐角加以解决2.知道坡度、坡角的概念，并能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。五、作业：习题28.2第7,8题来源:中教网%*&28.2.2 应用举例（1）教学目标：知识与技能：1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。过程与方法：1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力2、注意加强知识间的纵向联系情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯重难点、关键：重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决难点：实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习引入】1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答2、在中RtABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。二、探索新知、分类应用【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o)这时人是否能够安全使用这个梯子。 引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？几分钟后，让一个完成较好的同学示范。【活动二】课本例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，取3.142，结果取整数)？ 分析:从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。【活动三】课本例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果取整数)? 老师分析：1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。2、在中，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决 2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本76页练习1、2（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记 28.2.2 应用举例（2）教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题过程与方法：学会这样分析问题情感态度与价值观：体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决方位角问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线二、探索新知、分类应用【活动一】