2015-2019全国3卷三角函数和数列高考题 汇编（含答案解析）.doc

2020.2.22三角函数和数列全国卷3学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( )A. 16B. 8C. 4D. 22. 若sin=13，则cos2=()A. 89B. 79C. -79D. -893. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24，则C= ( )A. 2B. 3C. 4D. 64. 函数f(x)=2sinx-sin2x在0,2的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 55. 设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为-2B. y=f(x)的图象关于直线x=83对称C. f(x+)的一个零点为x=6D. f(x)在(2,)单调递减6. 若tan=34，则cos2+2sin2=()A. 6425B. 4825C. 1D. 16257. 若tan=-13，则cos2=()A. -45B. -15C. 15D. 458. 在ABC中，B=4，BC边上的高等于13BC，则sinA=()A. 310B. 1010C. 55D. 310109. 已知sin-cos=43，则sin2=()A. -79B. -29C. 29D. 7910. 函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A. 4B. 2C. D. 2二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11. 记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a2=3a1，则S10S5=_12. 记Sn为等差数列an的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=_13. 设等比数列an满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=_14. 函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移_个单位长度得到15. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=6，c=3，则A=_16. 设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为_17. 设函数f(x)=cos(x-6)(0)，若f(x)f(4)对任意的实数x都成立，则的最小值为_18. 已知函数y=sin(2x+)(-20)，根据条件可得a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1，解方程即可【解答】解：设等比数列an的公比为q(q0)，则由前4项和为15，且a5=3a3+4a1，有a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1,a1=1q=2,a3=22=4，故选C25. 若sin=13，则cos2=()A. 89B. 79C. 79D. 89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题根据cos2=12sin2能求出结果【解答】解：sin=13，cos2=12sin2=1219=79故选B26. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2c24，则C= ( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题由SABC=12absinC=a2+b2c24得sinC=a2+b2c22ab=cosC，由此能求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为a2+b2c24，SABC=12absinC=a2+b2c24，sinC=a2+b2c22ab=cosC，0C，C=4故选C27. 函数f(x)=2sinxsin2x在0,2的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题解函数f(x)=2sinxsin2x=0，在0,2的解，即2sinx=sin2x令左右为新函数h(x)和g(x)，作图求两函数在区间的交点即可【解答】解：函数f(x)=2sinxsin2x在0,2的零点个数，即：2sinxsin2x=0在区间0,2的根个数，即2sinx=sin2x，令左右为新函数h(x)和g(x)，h(x)=2sinx和g(x)=sin2x，作图求两函数在区间0,2的图象可知：h(x)=2sinx和g(x)=sin2x，在区间0,2的图象的交点个数为3个故选：B28. 设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图象关于直线x=83对称C. f(x+)的一个零点为x=6D. f(x)在(2,)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：对于A，函数的周期为2k，kZ，当k=1时，周期T=2，故A正确；对于B，当x=83时，cos(x+3)=cos(83+3)=cos=1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=83对称，故B正确；对于C，因为f(x+)=cos(x+3)=cos(x+3)，且，则f(x+)的一个零点为x=6，故C正确；对于D，当2x时，56x+30,0)的图象，属于中档题令f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3)，则f(x)=2sin(x+3)，依题意可得2sin(x+3)=2sin(x3)，由，可得答案【解答】解：y=f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3)，y=sinx3cosx=2sin(x3)，f(x)=2sin(x+3)(0)，令2sin(x+3)=2sin(x3)，则，即，当k=0时，正数min=23，故答案为2338. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=6，c=3，则A=_【答案】75【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解：根据正弦定理可得bsinB=csinC，C=60，b=6，c=3，sinB=6323=22，b0)，若f(x)f(4)对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】23【解析】【分析】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可【解答】解：因为f(x)f(4)对任意的实数x都成立，所以x=4处函数f(x)取得最大值，所以46=2k，kZ，解得=8k+23，kZ，0则的最小值为23故答案为2341. 已知函数y=sin(2x+)(22)的图象关于直线x=3对称，则的值为_【答案】6【解析】解：y=sin(2x+)(22)的图象关于直线x=3对称，23+=k+2，kZ，即=k6，22，当k=0时，=6，故答案为：6根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42. 等比数列an中，a1=1，a5=4a3(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm=63，求m【答案】解：(1)等比数列an中，a1=1，a5=4a31q4=4(1q2)，解得q=2，当q=2时，an=2n1，当q=2时，an=(2)n1，an的通项公式为，an=2n1，或an=(2)n1(2)记Sn为an的前n项和当a1=1，q=2时，Sn=a1(1qn)1q=1(2)n1(2)=1(2)n3，由Sm=63，得Sm=1(2)m3=63，mN，无解；当a1=1，q=2时，Sn=a1(1qn)1q=12n12=2n1，由Sm=63，得Sm=2m1=63，mN，解得m=6【解析】(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=2，由此能求出an的通项公式(2)当a1=1，q=2时，Sn=1(2)n3，由Sm=63，得Sm=1(2)m3=63，mN，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n1，由此能求出m本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题43. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a=27，b=2(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【答案】解：(1)sinA+3cosA=0，tanA=3，0A，A=23由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即28=4+c222c(12)，即c2+2c24=0，解得c=6(舍去)或c=4，故c=4(2)c2=b2+a22abcosC，16=28+42272cosC，cosC=27，CD=ACcosC=227=7，CD=12BC，SABD=12SABC，又SABC=12ABACsinBAC=124232=23，SABD=3【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题(1)先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出；(2)先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到SABD=12SABC，然后求出三角形ABC的面积从而得到三角形ABD的面积44. 已知各项都为正数的数列an满足a1=1，an2(2an+11)an2an+1=0 (1)求a2，a3； (2)求an的通项公式【答案】解：(1)根据题意，an2(2an+11)an2an+1=0，当n=1时，有a12(2a21)a12a2=0，而a1=1，则有1(2a21)2a2=0，解可得a2=12，当n=2时，有a22(2a31)a22a3=0，又由a2=12，解可得a3=14，故a2=12，a3=14；(2)根据题意，an2(2an+11)an2an+1=0，变形可得(an2an+1)(an+1)=0，即有an=2an+1或an=1，又由数列an各项都为正数，则有an=2an+1，故数列an是首项为a1=1，公比为12的等比数列，则an=1(12)n1=(12)n1，故an=(12)n1【解析】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关系(1)根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12(2a21)a12a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22(2a31)a22a3=0，将a2=12代入计算可得a3的值，即可得答案；(2)根据题意，将an2(2an+11)an2an+1=0变形可得(an2an+1)(an+an+1)=0，进而分析可得an=2an+1或an=an+1，结合数列各项为正可得an=2an+1，结合等比数列的性质可得an是首项为a1=1，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案45. 设数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2n(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n+1的前n项和【答案】解：(1)数列an满足a1+3a2+2n1an=2n，n2时，a1+3a2+2n3an1=2n1，两式相减得2n1an=2，an=22n1，当n=1时，a1=2，上式也成立，an=22n1；(2)an2n+1=2(2n1)(2n+1)=12n112n+1数列an2n+1的前项和为：Sn=113+1315+12n112n+1=112n+1=2n2n+1【解析】本题主要考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了计算能力，属于中档题(1)利用数列递推关系即可得出；(2)an2n+1=2(2n1)(2n+1)=12n112n+1，利用裂项求和方法即可得出46. 在ABC中，a=7，b=8，cosB=17(1)求A；(2)求AC边上的高【答案】解：(1)ab，AB，即A是锐角，cosB=17，sinB=1cos2B=1(17)2=437，由正弦定