2015年中考试题汇编含精讲解析_17.2勾股定理的逆定理.doc

17.2 勾股定理的逆定理一选择题（共5小题）1（2015桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（） A 30，40，50 B 7，12，13 C 5，9，12 D 3，4，62（2015淮安）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A a=1，b=2，c=3 B a=2，b=3，c=4 C a=2，b=4，c=5 D a=3，b=4，c=53（2015广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（） A 1，2，3 B 2，3，4 C 4，5，6 D 1，4（2015毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，45（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（） A 13cm B 2cm C cm D 2cm二填空题（共12小题）6（2015山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位公共自行车车桩的截面示意图如图所示，ABAD，ADDC，点B，C在EF上，EFHG，EHHG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm7（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是8（2015厦门）已知A，B，C三地位置如图所示，C=90，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的方向9（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）10（2015东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为11（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm（结果保留）12（2014东营）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米13（2014河池）如图，小明从A地沿北偏东60方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）14（2014枣庄）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm15（2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺16（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度17（2013阜新）如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=米三解答题（共5小题）18（2015娄底）“为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由（参考数据：1.41，1.73）19（2015永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间20（2014湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量ABD=135，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（1.414，精确到1米）21（2014黄石）小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B设AB=80km，BC=20km，ABC=120请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由（不计候车时间）22（2014凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm17.2 勾股定理的逆定理参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2015桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（） A 30，40，50 B 7，12，13 C 5，9，12 D 3，4，6考点： 勾股定理的逆定理分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可如果有这种关系，这个就是直角三角形解答： 解：A、302+402=502，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、72+122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、52+92122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、32+4262，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断2（2015淮安）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A a=1，b=2，c=3 B a=2，b=3，c=4 C a=2，b=4，c=5 D a=3，b=4，c=5考点： 勾股定理的逆定理分析： 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可解答： 解：A、12+22=532，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、22+32=1342，不能构成直角三角形，故本选项错误；C、22+42=2052，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项正确故选D点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键3（2015广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（） A 1，2，3 B 2，3，4 C 4，5，6 D 1，考点： 勾股定理的逆定理分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可解答： 解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故错误；B、22+3242，不能组成直角三角形，故错误；C、42+5262，不能组成直角三角形，故错误；D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确故选D点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断4（2015毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，4考点： 勾股定理的逆定理分析： 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是解答： 解：A、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误；D、22+3242，不能构成直角三角形，故错误故选：B点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可5（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（） A 13cm B 2cm C cm D 2cm考点： 平面展开-最短路径问题分析： 将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解答： 解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=13（Cm）故选：A点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力二填空题（共12小题）6（2015山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位公共自行车车桩的截面示意图如图所示，ABAD，ADDC，点B，C在EF上，EFHG，EHHG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm考点： 勾股定理的应用分析： 分别过点A作AMBF于点M，过点F作FNAB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可解答： 解：过点A作AMBF于点M，过点F作FNAB于点N，AD=24cm，则BF=24cm，BN=7（cm），AMB=FNB=90，ABM=FBN，BNFBMA，=，=，则：AM=，故点A到地面的距离是：+4=（m）故答案为：点评： 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出BNFBMA是解题关键7（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出AODACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标解答： 解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD和ACB中，AODACB（SAS），CAB=OAD，B、O在一条直线上，C，A，D也在一条直线上，AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，C点坐标为：（400，800）故答案为：（400，800）点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键8（2015厦门）已知A，B，C三地位置如图所示，C=90，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向考点： 勾股定理的应用；方向角分析： 根据勾股定理来求AB的长度由于C=90，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向解答： 解：C=90，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，AB=5（km）又A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向故答案是：5；正北点评： 本题考查了勾股定理的应用和方向角勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题9（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为2.9米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）考点： 勾股定理的应用分析： 首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入数可得答案解答： 解：由题意可得：AM=4米，MAD=45，DM=4m，AM=4米，AB=8米，MB=12米，MBC=30，BC=2MC，MC2+MB2=（2MC）2，MC2+122=（2MC）2，MC=442.9（米），故答案为：2.9点评： 此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方10（2015东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为考点： 平面展开-最短路径问题专题： 计算题分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，BCMACN，=，即=2，即MC=2NC，CN=MN=，在RtACN中，根据勾股定理得：AC=，故答案为：点评： 此题考查了平面展开最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键11（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm（结果保留）考点： 平面展开-最短路径问题分析： 根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可解答： 解：如图所示，无弹性的丝带从A至C，展开后AB=2cm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=cm故答案为：点评： 本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想12（2014东营）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10米考点： 勾股定理的应用专题： 几何图形问题；转化思想分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解答： 解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=6m，EC=8m，AE=ABEB=126=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鸟至少飞行10m故答案为：10点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力13（2014河池）如图，小明从A地沿北偏东60方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）考点： 勾股定理的应用；方向角分析： 根据题意利用锐角三角函数得出BD，AD的长，再利用勾股定理得出AC的长解答： 解：如图所示，由题意可得：AB=2，B=60，则BD=ABcos60=1（km），AD=ABsin60=（km），故DC=2km，则AC=（km）故答案为：点评： 此题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，得出AD，DC的长是解题关键14（2014枣庄）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm考点： 平面展开-最短路径问题；截一个几何体专题： 压轴题；数形结合分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解答： 解：如图所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm故答案为：（3+3）点评： 考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题15（2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺考点： 平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用专题： 压轴题；转化思想分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长53=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）故答案为：25点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解16（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=135度考点： 勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质专题： 压轴题分析： 首先根据旋转的性质得出，EBE是直角三角形，进而得出BEE=BEE=45，即可得出答案解答： 解：连接EEABE绕点B顺时针旋转90到CBEEBE是直角，EBE是直角三角形，ABE与CEB全等BE=BE=2，AEB=BECBEE=BEE=45，EE2=22+22=8，AE=CE=1，EC=3，EC2=EC2+EE2，EEC是直角三角形，EEC=90，AEB=135故答案为：135点评： 此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出EBE是直角三角形是解题关键17（2013阜新）如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=4.7米考点： 勾股定理的应用分析： 先根据题意得出AD的长，在RtACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论解答： 解：由题意，易知CAD=30，CDA=90，AD=3，CEBE，DE=AB=1.7米，tanCAD=，CD=3=3，CE=3+1.7=4.7（米） 即这棵树的高度为4.7米故答案为：4.7点评： 本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，难度适中，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键三解答题（共5小题）18（2015娄底）“为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由（参考数据：1.41，1.73）考点： 勾股定理的应用分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案解答： 解：此车没有超速理由：过C作CHMN，CBN=60，BC=200米，CH=BCsin60=200=100（米），BH=BCcos60=100（米），CAN=45，AH=CH=100米，AB=10010073（m），60千米/小时=m/s，=14.6（m/s）16.7（m/s），此车没有超速点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键19（2015永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间考点： 勾股定理的应用；垂径定理的应用分析： （1）直接利用直角三角形中30所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，ADBC，且BD=CD，AOD=30，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可解答： 解：（1）过点A作ADON于点D，NOM=30，AO=80m，AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，ADBC，BD=CD=BC，OA=80m，在RtAOD中，AOB=30，AD=OA=80=40m，在RtABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=230=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，重型运输卡车经过BD时需要60300=0.2（分钟）=12（秒）答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒点评： 此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响20（2014湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量ABD=135，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（1.414，精确到1米）考点： 勾股定理的应用专题： 几