高三数学对数函数教案20.doc

高三数学对数函数教案20 210 对数 对数函数一、明确复习目标1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能正确进行运算；2.掌握对数函数的概念、图象和性质，并能运用图象和性质去解决有关问题。二建构知识网络1.对数的定义：如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.易得: 对数恒等式2.指数式与对数式的关系：ab=N logaN=b（a0，a1，N0）.要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。3.对数运算性质:loga（MN）=logaM+logaN. loga =logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）换底公式：logbN= （0 a1，0 b1，N0）.4.对数函数：（1）定义：y=logax（a0，a1）叫对数函数，x是自变量，y是x的函数。对数函数与指数函数是互为反函数;（2）对数函数的图象（3）对数函数的性质:定义域：（0，+）. 值域：R.过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在（0，+）上是减函数.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.三、双基题目练练手1.(2006福建)函数 的反函数是 ( )（A） （B） （C） （D） 2.若 ，则（ ）A 0 B 0 C 0 D 0 3.（2004全国）已知函数f（x）=lg ，若f（a）=b，则f（a）等于 （ ）A.b B.b C. D. 4.已知 ，其中 ，则下列不等式成立的是（ ）A B C D 5计算： = . 6已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是 .7.已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记 .若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 简答.精讲: 1-4.ABBC; 2. 是增函数,x-y; 3.f(x)是奇函数, f（a）=f（a）=b; 4.当0 x 1时, 递减, ,选C; 5.都换成2为底的对数,答案 ；6.只须 能取大于0的所有值,由 图象知 ,答案 ; 7. 记u=logax,g(x)=u(u- ),在 时递减, 时递增.若0 a 1,则 时, ,要使 g(x)递增必,若a 1,同理可知无解.所以,a的取值范围是 四、经典例题做一做【例1】(1)若60a3，60b5.求12 的值.(2)已知315a=55b=153c,求证:5ab-bc-3ac=0解(1) a=log603，blog605，1b1log605log6012，1ab1log603log605log604， log124，12 12 12 2.证(2) 设315a=55b=153c=k 0,则lg315a=lgk, 同理 , 把上述三式代入得5ab-bc-3ac= 点评：注意指数式和对数式的灵活转化;注意对数运算性质的正确运用.【例2】(1)求函数的值域.(2)设m=（log2x）2+（t2）log2x+1t，若t在区间2，2上变化时，m值恒正，求x的取值范围.解： 当 ，即 时， 值域为 ；当 ，即 时， 上单调递减， 值域为 (2) m=（log2x1）t+（log2x）22log2x+1关于变量t的图象是直线，要t2，2时m值恒正，只要t=2和2时m的值恒正，即有log2x3或log2x1.x8或0x .步骤归纳： (1)正确确定定义域; 转化为二次函数值域; 再分类讨论;(2)转化为一次函数在-2,2上恒正问题; 再数形结合列出不等式组求m的范围.【例3】已知函数 ，（1）求f(x)的定义域；（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？（3）当a、b满足什么条件时f(x)恰在 取正值.解:（1） ，又 ，故函数的定义域是 .（2）问题的结论取决于 是否单调，考察单调性有三种方法：求导，运用单调性定义，复合分析，但以方法最好.（解一）任取 ，则 ， 即 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（解二）求导： ， ， ，在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（3） 在 单调递增，命题等价于： ， 思维拓展 题(2)中证单调性的方法有【例4】 设a0，a1，f(x)loga(x+ )(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数的反函数f -1(x)；(3)若方程f(x)loga(2x+ak)有实数解，求k的取值范围。解 x+ x+x0 f(x)定义域为R。设ux + ，则u(0，+)，f(x)值域为R。(1)f(-x)loga(-x+ )loga(x+ )-1-f(x)f(x)是奇函数。(2)设yloga(x+ )，则ayx+ ,a-y -xay-a-y2x x (ay-a-y)反函数f-1(x) (ax-a-x) (xR)(3)由对数性质知loga(x+ )loga(2x+ak) 当k0时，无解，从而原方程无解。当k0时，又a0，由得x 代入得，- 0 0 k0当k0时，原方程有实数解。解题札记：1.定义域优先;求出值域作反函数的定义域;2.变形f(-x)=f(x)的方法分子有理化；3.解对数方程的方法去对数符号。【研讨.欣赏】设函数f(x)=loga(x3a)(a 0且a1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图象上的点 (1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定a的取值范围 解: (1)设点Q的坐标为(x,y),则x=x2a,y=y 即x=x+2a,y=y 点P(x,y)在函数y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga ,g(x)=loga (2)由题意在a+2,a+3上x3a(a+2)3a=2a+2 又a 0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga |=|loga(x24ax+3a2)|而|f(x)g(x)|1, 1loga(x24ax+3a2)1,0a1, 又 a+2 2a.知u(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为增函数，只需 解得0a ,所求a的取值范围是0a 方法提炼 (1).求对称图象的函数解析式的方法;(2).先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a的取值范围.五提炼总结以为师1.对数的概念、运算性质:2.对数函数的定义、图象和性质:3.感悟知识、思想方法在解题 中的运用;同步练习 210对数与对数函数【选择题】1. （2006浙江）已知 ，则 ( )A. B. C. D. 2若 ，则 （ ）A4 B16C256 D813.设函数f（x）=loga|x|在（，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是 ( )A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）f（2）C.f（a+1）f（2）D.不能确定4.设 ，则 与 的大小关系为（ ）A B C D 与 的大小关系不确定【填空题】5.（2006江西）设 的反函数为 ,若,则 _.6.已知 ， ，则 用 a, b 表示为 答案提示: 1-4.ACBB; 3.易得f（x）是偶函数，又在（，0）上递增，f（x）在（0，+）上 单调递减,0a1. 1a+12.f（a+1）f（2）.4. ,选B; 5.2; 6. 由 得 ，又 ， , 【解答题】7. 设不等式2(log x)2+9(log x)+90的解集为M，求当xM时函数f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值 解 2( x)2+9( x)+90(2 x+3)( x+3)0 3 x 即 ( )3 x ( ) ?( ) x( )3,2 x8即M=x|x2 ,8又f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21 2 x8, log2x3当log2x=2,即x=4时ymin=1;当log2x=3,即x=8时，ymax=08. 已知函数f(x)=logax(a 0且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判断 f(x1)+f(x2)与f( )的大小，并加以证明 解 f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2( )2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，当a 1时，有logax1x2loga( )2, logax1x2loga( )， (logax1+logax2)loga ,即 f(x1)+f(x2)f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号)当0a1时，有logax1x2loga( )2, (logax1+logax2)loga ,即 f(x1)+f(x2)f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号） 9已知函数x,y满足x1,y1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a 0且a1),求loga(xy)的取值范围 9 解: 由已知等式得loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v 在直角坐标系uOv内，圆弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论 (1)当u0,v0时，即a 1时，结合判别式法与代点法得1+ k2(1+ );(2)当u0,v0,即0a1时，同理得到2(1 )k1 综上，当a 1时，logaxy的最大值为2+2 ，最小值为1+ ；当0a1时，logaxy的最大值为1 ，最小值为22 10. 已知函数 的反函数 ， （）若 ，求 的取值范围 ；（）设函数 ，当 时，求 的值域解 ， （） 即 ， 解之得 ， （） 令 ，显然在0，1递增，则有 ，即 的值域为 【探索题】在函数 的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为 、 、 ，若ABC的面积为S，求函数 的值域.解:设A、B、C在 轴上的射影分别为A1、B1、C1，令 ， 的值域为 9.已知函数 （1）讨论 的奇偶性与单调性；（2）